1、第一章 線性微分方程在講這部分之前，我們先來看一個非常熟悉的物理問題。一個一維粒子，初始時刻處于點，初始速度為，受到阻尼作用，求該粒子的運動軌跡。解：用表示粒子在任意時刻的位置，根據牛頓第二定律，有對于阻尼作用，于是，粒子的運動方程這是關于時間t的常微分方程，非常簡單。求解得結合初始條件，則，代入得粒子的運動軌跡這就是這門課程的第二部分數學物理方程所要討論的內容：將物理問題表述成數學方程，然后用各種方法來求解方程。1.1 常系數齊次線性微分方程方程的階：微分方程中未知函數導數的最高階數。線性方程：微分方程中對于未知函數及其所有導數都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上就稱為非線性方程。齊次方

2、程：微分方程不含有不包含未知函數的項。例如 u = 4 uxx; 二階線性，x2u = uxx; 二階線性，(ux)2 + u2 = 1; 一階非線性。一、二階常系數齊次線性微分方程求解 二階線性微分方程若為齊次，為非齊次。方程y¢¢+py¢+qy=0稱為二階常系數齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數。 能否適當選取r, 使y=erx 滿足二階常系數齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0由此可見, 只要r滿足代數方程r2+pr+q=0, 函數y=erx就是微分方程的解。

3、 特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程。特征方程的兩個根r1、r2為特征方程的根與通解：(1)特征方程的實根r1、r2不相等時, 函數、是方程的兩個線性無關的解，方程的通解為. (2) 特征方程的實根r1=r2時, 函數、是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解，方程的通解為(3) 特征方程有一對共軛復根r1, 2=a±ib時, 函數y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解。函數y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解，方程的通

4、解為y=eax(c1cosbx+c2sinbx ). 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解。例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解。 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解。二、線性微分方程的解的疊加(1)定理1 如果函數y1(x)和y2(x)是方程(1)的兩個解，那么它們的線性疊加也是方程的解，其中和是任意常數。定理2 如果函數y1(x)和y2(x)是方程(1)的兩個線性無關的特解，那么它們的線性疊加是方程的通解。推論 如

5、果函數y1(x), y2(x), , yn(x) 是階線性齊次方程的n個線性無關的解，則是方程的通解，其中c1, c2, , cn為n個任意常數。(2)定理3 如果二階非齊次線性方程（2）的一個特解，y1(x)和y2(x)是對應齊次方程(1)的兩個線性無關的特解，那么它們的線性疊加是方程(2)的通解。定理4 如果和分別是二階非齊次線性方程，的特解，那么是方程的特解。1.2 常系數非齊次線性微分方程二階非齊次方程一、待定系數法對于特殊類型的f(x)，可寫出特解y*(x)的待定表達式：f(x)類型特解y*(x)的待定表達式aemxAemxacosbx + bsinbxAcosbx + Bsinbx

6、a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1emx (acosbx + bsinbx)emx (Acosbx + Bsinbx)emx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)emx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, ±b i, 0, m ±b i, m是特征方程的r重根，則在表達式上再乘以xr。例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一個特解。 例2 求微分方程y¢¢-5

7、y¢+6y=xe2x的通解。二、常數變易法一階非齊次線性微分方程相應齊次方程的通解是設非齊次方程有一個特解由于，代入非齊次方程，可得，解得因此，常數變易法得非齊次方程的通解為類似的方法考察二階非齊次方程相應齊次方程的通解為設非齊次方程有一個特解由于，若附加條件，則代入非齊次方程，可得所以，系數c1(x), c2(x)滿足方程組：例 二階線性微分方程齊次方程的通解常數變易法設特解為其中C1(t)和C2(t)滿足解得則1.3 變系數線性微分方程一、歐拉型常微分方程形如的方程叫歐拉方程。下面是一個后面課程會遇到的一個歐拉型方程的求解。作變量代換，則，即，即則例1. 求歐拉型方程的通解。答案

8、：通解為。二、常點鄰域上的級數解法（證明見李政道物理學中的數學方法P280-284）不失一般性，討論復變函數w(z)的線性二階常微分方程顯然，方程的性質由函數p(z)和q(z)所確定。定義：如果在點z = z0處，函數p(z)和q(z)解析，則z = z0稱為方程的常點，否則，z = z0稱為奇點。定理：若z0為方程的常點，則在z0的鄰域內存在滿足初始條件的唯一解析解w(z)。級數解法：基于以上定理，方程的解w(z)在點z0的鄰域內解析，則可表示成泰勒級數形式：其中，a0, a1, a2, . , ak , .是待定系數。只要能夠確定這些系數，也就得到了方程的解。由于函數p(z)和q(z)都是

9、解析函數，因此也可以表示成泰勒級數：，再將w(z)、p(z)和q(z)的泰勒級數形式代入方程和初始條件，并要求等式兩邊同冪次項的系數相等，就可以確定待定系數a0, a1, a2, . , ak , .。對于實變函數y(x)的線性二階常微分方程y(x0) = C0, y(x0) = C1,該定理完全成立，從而可以應用級數解法。這是因為只要將實變函數p(x)和q(x)在復平面上進行解析延拓，得到p(z)和q(z)，相應的解w(z)在實軸上的值w(x)就是原方程的解。例 在的鄰域上求解常微分方程(是常數)。解：顯然，x0 = 0是方程的常點，應用常點鄰域級數解法求解。設則代入方程，并合并同冪項，得等

10、式右邊為零，因此冪級數各項系數為零，即從而有如下遞推公式：遞推得，。，于是，方程的解為上述解的收斂區域為。一般的收斂區域判斷補充：對于正項級數，通常用如下兩個方法比值判別法 設正項級數，若極限，則當時，級數收斂；當時，級數發散。根值判別法 設正項級數，若極限，則當時，級數收斂；當時，級數發散。應用正項級數收斂判別法，可得到如下冪級數收斂范圍： 比值判別法 根據正項級數收斂的比值判別法，若極限，則當時，級數收斂；當時，級數發散。引入記號，若存在，則當 根式判別法 若極限，則收斂。若存在，則當例1 在的鄰域上求解常微分方程(是常數)。方程的解為記，對于應用比值判別法，得收斂區域為。對于應用比值判別

11、法，得收斂區域為。例2 在的鄰域上求解。答案：，。收斂無限大。作業：1. 求歐拉方程的通解。答案：。2. 用常數變易法求方程的通解。答案：。3. 用冪級數法求方程的通解。答案：。1.4 二階常系數線性差分方程一、齊次差分方程方程： (p ,q是常數).若為齊次，為非齊次。對于齊次方程的通解，與微分方程類似地有：定理 方程的解為，其中r滿足特征方程。(1)特征方程的實根r1、r2不相等時，方程的通解為 (2) 特征方程的實根r1=r2時，方程的通解為(3) 特征方程有一對共軛復根r1, 2=a±ib時, 記，即方程的解為，則方程的通解為。例1 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1,

12、-3 . 原方程有通解 (是任意常數) 例2 求的通解.解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . ，則原方程有通解, (是任意常數).例3 求差分方程的通解.解 其通解為 (C為任意常數).二、非齊次差分方程對于非齊次方程的通解，與微分方程類似地，可以用待定系數法求解。f(x)類型特解y*(x)的待定表達式amxAmxa1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1mx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)mx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, 1

13、是特征方程的r重根，則在表達式上再乘以xr。例4 求的通解.解 前例已知其齊次的通解,故只需求一個特解.令,代入的,所以它的通解為, (是任意常數).例5 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常數).例6 求 的通解.解 顯然其齊次方程的通解為(C為任意常數). 設其特解為, 所以有, 從而得.因此,原方程的通解為.例7 求 的通解.解 其齊次方程的通解為(C為任意常數). 設其特解為, 所以有, 從而得，因此,原方程的通解為.三、差分方程的應用例8 某家庭從現在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計劃20 年后開始從投資帳戶中每月支取1000 元，

14、直到10 年后子女大學畢業用完全部資金。要實現這個投資目標，20 年內共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設投資的月利率為0.5%。解：設第n個月投資帳戶資金為Sn元，每月存入資金為a元。于是，20 年后關于Sn的差分方程模型為Sn+1 = 1.005Sn 1 000并且S120 = 0, S0 = x。解得x = 90 073.45。從現在到20年內，Sn滿足的差分方程為Sn+1 = 1.005Sn + a且S0 = 0, S240 = 90 073.45。解得a = 194.95。例9 動態供需均衡模型(蛛網定理) 設Dt表示t期的需求量,St表示t期的供給量,Pt表示商品t期價格

15、,則傳統的動態供需均衡模型為： 其中a,b,a1,b1均為已知常數。(1)式表示t期(現期)需求依賴于同期價格；(2)式表示t期(現期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格；(3)式為供需均衡條件。解：若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即。靜態均衡價格。動態供需均衡模型的等價差分方程 齊次方程通解，非齊次方程特解，方程的通解為。若初始價格已知時，將其代入通解可求得任意常數，則通解為 如果初始價格，那么。這表明沒有外部干擾發生，價格將固定為常數值，即靜態均衡。如果初始價格，那么價格將隨t的變化而變化。如果，則表明動態價格隨著t的無限增大逐漸地振蕩趨近于靜態均衡價格。例10 凱恩斯(Keynes.J.M)乘數動力學模型 設Yt表示t期國民收入，Ct為t期消費，It為t期投資，I0為自發(固定)投資，DI為周期固定投資增量.凱恩斯國民經濟收支動態均衡模型為：(1)式為均衡條件，即國民收入等于同期消費與同期投資之和；(2)式為消費函數,即現期消費水平依賴于前期國民收入(消費滯后于收入一個周期)，a(0)為基本消費水平，b為邊際消費傾向(0b1)；(3)式為投資函數,這里僅考慮為固定投資。在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一階常系數非齊次線性差分方程：方程的一個特解，則方程的通解為 其中A為任意常數。稱系數為凱恩斯乘數。例11 在種群生態學中，考慮像蠶、蟬這種