1、常微分方程自學(xué)習(xí)題及答案一 填空題:1 一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.2 二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 y1(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是_.3 方程的基本解組是_.4 一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是_區(qū)間.5 方程的常數(shù)解是_.6 方程一個(gè)非零解為x1(t) ,經(jīng)過(guò)變換_7 若4(t)是線性方程組的基解矩陣,則此方程組的任一解4(t)=_.8 一曲線上每一占切線的斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍,則此曲線方程為_.9 滿足_條件的解,稱為微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)我們稱這種微分方程為_.11 一階線性方程有積分因子( ).12 求解方

2、程的解是( ).13已知(為恰當(dāng)方程,則=_.14 ,由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是( ).15方程的通解是( ).16方程的階數(shù)為_.17若向量函數(shù)在區(qū)間D上線性相關(guān),則它們的伏朗斯基行列式w (x)=_.18若P(X)是方程組的基本解方陣則該方程組的通解可表示為_.19、一般而言，弦振動(dòng)方程有三類邊界條件，分別為：第一類邊界條件u(0,t)=g1(t),；第二類邊界條件，；第三類邊界條件F， T，其中k0,k1,T都是大于零的常數(shù)，u(t),v(t)為給定的函數(shù)。20、在偏微分方程組中，如果方程個(gè)數(shù)未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，則方程組為不定的。反之，如果方程的個(gè)數(shù)未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，則方程組稱為超定的。

3、（選填“多于”、“少于”或“等于”）21、一般2個(gè)自變量2階線性偏微分方程有如下形式：，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的連續(xù)可微函數(shù)，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同時(shí)為0。方程中稱為方程的2階主部。若其2階主部的系數(shù)a,b,c作成的判別式=b2-ac在區(qū)域中的某點(diǎn)（x0,y0）大于零，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是型的；如果=0，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是型的；如果<0，則稱方程在點(diǎn)（x0,y0）是型的。（選填“橢圓”、“雙曲”、“拋物”）二 單項(xiàng)選擇:1 方程滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理

4、條件的區(qū)域是( ).(A)上半平面 (B)平面 (C)下半平面 (D)除y軸外的全平面2 方程( )奇解. (A) 有一個(gè) (B) 有兩個(gè) (C) 無(wú) (D) 有無(wú)數(shù)個(gè)3 在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是( ).(A) (B) (C) (D)4 方程的一個(gè)特解形如( ). (A) (B) (C) (D)5 連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的( )條件（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二階線性非齊次微分方程的所有解( ). (A)構(gòu)成一個(gè)2維線性空間 (B)構(gòu)成一個(gè)3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間 (D)構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間7 方程過(guò)點(diǎn)(0,0)有( ). (

5、A) 無(wú)數(shù)個(gè)解 (B)只有一個(gè)解 (C)只有兩個(gè)解 (D)只有三個(gè)解 8 初值問(wèn)題x ,在區(qū)間,上的解是( ). (A) (B) (C) (D) 9 方程是( ). (A)一階非線性方程 (B)一階線性方程 （C)超越方程(D)二階線性方程10 方程的通解是( ). (A) (B) (C) (D)11 方程的一個(gè)基本解組是( ). (A) (B) (C) (D)12 若y1和y2是方程的兩個(gè)解,則 （e1,e2為任意常數(shù)）(A)是該方程的通解(B)是該方程的解(C)不一定是該方程的通解(D)是該方程的特解13 方程過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為,此解存在( ). (A) (B) (C) (D)14 方程

6、是( ) . (A) 可分離變量方程 (B) 齊次方程 (C)全微分方程 (D) 線性非齊次方程15 微分方程的通解是( ).(A)(B) (C)(D)16 在下列函數(shù)中是微分方程的解的函數(shù)是( ).(A)(B)(C)(D)17 方程的一個(gè)數(shù)解形如( ). (A)(B)(C)(D)18 初值問(wèn)題 在區(qū)間上的解是( ).(A) (B) (C) (D) 三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通積分: (1) (2) (3) (4) (5)2 求方程的解 3 解方程:并求出滿足初始條件:當(dāng)x=0時(shí),y=2的特解4 求方程: 5求方程: 的通解6 求的通解.7 求解方程:8 求方程:的解9 求方程

7、的通解10 求下列方程組的通解11求初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1) (2) (3) (三種方法)(4)13 計(jì)算方程 的通解14計(jì)算方程 15 求下列常系數(shù)線性微分方程: 16 試求x的基解矩陣17 試求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.18 試求矩陣的特征值和特征向量19 解方程組20、21、求解初值問(wèn)題 （提示：使DAlembert 公式）22、求解初值問(wèn)題23、求解第一初邊值問(wèn)題四 名詞解釋1微分方程2常微分方程、偏微分方程3變量分離方程4伯努利方程5條件6 線性相關(guān)五 證明題1在方程中已知p(x);q(x)在上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不

8、能與x軸相切.2 設(shè)x1(t)、x2(t)分別是非齊次性線方程證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。3設(shè)f (x)在0；+上連續(xù)且f (x)=0求證：方程的一切解y(x)；均有y (x)=04 在方程中p(x)、q(x)在（）上連續(xù)；求證：若p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w（x）是（）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。5證明：x1(t)+x2(t)是方程的解。6證明：函數(shù)組（其中當(dāng)時(shí)）在任意區(qū)間（a ,b）上線性無(wú)關(guān)。7試證：習(xí)題答案一 填空題:1、 22、 線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 開5、 6、 7、 ,c為常數(shù)列向量8、 y=x2+c9

9、、 初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c ; c為任意正常數(shù)13、/14、15、16、417、018、；其中c是確定的n維常數(shù)列向量19、u(l,t)=g2(t) , 20、多于，少于21、雙曲，拋物，橢圓二 單項(xiàng)選擇 1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D三 求下列方程的解1 (1）解：當(dāng)時(shí)，分離變量取不定積分，得 通積分為 1ny= Cex（2）解：令y= xu , 則代入原方程，得 分離變量，取不定積分，得 （） 通積分為：（3） 解： 方程兩

10、端同乘以y-5,得 令y -4= z ，則代入上式，得 通解為 原方程通解為 （4） 解： 因?yàn)?， 所以原方程是全微分方程。 取（x0,y0）=（0，0）原方程的通積分為 即 （5） 解：原方程是克萊洛方程，通解為： y = cx+2c32 解：設(shè)則方程化為 ，積分后得y = ct 即 于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5 其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5為任意常數(shù)= = f1(t) + f2(t)故x1(t)+x2(t)為方程=f1(t)+f2 (t)的解。 3 解： 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里c是任意常數(shù)。以x=0,y=1代入通解

11、中以決定任意常數(shù)c，得到 c = -1 因而，所求特解為 4 解：以 及 代入，則原方程變?yōu)?即 將上式分離變量,即有 兩邊積分,得到 這里是任意函數(shù),整理后,得到 令,得到 sinu = cx 5 解: 令z = y-1得 代入原方程得到 這是線性方程,求得它的通解為 代回原來(lái)的變量y , 得到 這就是原方程的通解。此外，方程還有解 y=0 。 6 解： 這里M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ，這時(shí) 因此方程是恰當(dāng)方程。現(xiàn)在求u ，使它同時(shí)滿足如下兩個(gè)方程由（1）對(duì)x 積分，得到 為了確定，將（3）對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足（2），即得 于是 = 4y4 積分后可得 =y4 將

12、代入（3），得到 u=x3+3x2y2+y4 因此，方程的通解為 x3 + 3x2y2 + y4=c 這里c是任意常數(shù) 7 解： 特征方程即特征根i是重根，因此方程有四個(gè)實(shí)值解cost、tcost 、sint 、tsint 故通解為x = (c1+c2t)cost + (c3+c4t)sin 其中c1 ; c2 ; c3 ; c4為任意常數(shù) 8 解： 令 則方程化為： 積分后得y=ct 即于是 x=c1t5 + c2t3 + c3t2 + c4t1 + c5 其中c1 ; c2 c5 為任意常數(shù) ，這就是原方程的通解。 9 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為， 特征根為 齊次方程的通解為 y=C1+

13、C2e5x因?yàn)閍=0 是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 y1(x)=x（Ax2 + Bx + C） 代入原方程，比較系數(shù)確定出 A=， B= ，C= 原方程的通解為10 解： 先解出齊次方程的通解=C1+C2令非齊次方程特解為 =C1(t)+C2(t)滿足= 解得 積分，得 通解為 11 解： M=max=4 故解的存在區(qū)間為 2) q0(x)=0 q1(x)=0 q2(x)=0+ = 12 求方程的通解: 1) 解: 變形(1),將y看作自變量, x為未知函數(shù) 解齊線性方程, 通解為x = cy 令x = c (y)y. (2)微分得, 由(1)(2)知,積分得故(是任意常數(shù)) 2) 解

14、: 令則, 于是 則原方程變?yōu)?即 將上式分離變量有 積分得為任意常數(shù)。整理令得 方程還有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解為 sinu = cx (c為任意常數(shù)) 3）(三種方法) 解：法一，這里M=y-3x2 , N= - (4y-x )= 4-4y 因此此方程是恰當(dāng)方程 現(xiàn)求 u使（1）， （2） 對(duì)（1）中x積分得 （3） 對(duì)（3）中y求導(dǎo) 積分得，代入（3）得 故通解為，c為任意常數(shù) 法二，重新組合得，即 于是通解為其中c是任意常數(shù)。 4） 解： 令則 對(duì)x求導(dǎo)得 積分得 于是方程通解為 （p=0）13 方程的通解 解： 齊次方程是 由于2i是特征方程單根 故所求特解應(yīng)具形式

15、 代入原方程 故通解為，其中c1c2為任意常數(shù)14 解：特征方程有重根 因此對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為，其中c1,c2為任意常數(shù)。 因?yàn)椴皇翘卣鞲F(xiàn)求形如的特征解， 代入原方程化簡(jiǎn) 于是 故 故通解為其中c1,c2為任意常數(shù) 15 求下列常系數(shù)線性微分方程 對(duì)應(yīng)的齊次方程為 特征方程為 特征根為 a不是特征根， 故原方程有形如y*=(ax+b) e 2x的特解代入原方程得 故原方程通解為，（為任意常數(shù)） 16 解：因?yàn)?= + 而且后面的兩個(gè)矩陣是可交換的 得到t = E + t +但是，= 所以，級(jí)數(shù)只有兩項(xiàng)。因此，基解矩陣就是 17 解： 特征方程為 因此，是A的二重特征值.為了尋求對(duì)應(yīng)于的

16、特征向量,考慮方程組 因此, 向量 是對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,其中是任意常數(shù). 18 解A特征方程為 特征根為 對(duì)應(yīng)于1=3+5i的特征向量滿足 解得u = a 為任意常數(shù) 對(duì)應(yīng)于特征向量滿足 解得為任意常數(shù) 19 解:的特征方程為1=1,2=4為特征根,為方程組解a為任意常數(shù).為方程組解. 這樣為方程的解20、解：21、解：由DAlembert 公式公式為則=22、解：由令 則已知誤差函數(shù)定義，故23、解：第一步對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其不包括b2u項(xiàng)。令u=veat，代入方程，有令a=-b2,則u=,v為定解問(wèn)題的解。由分離變量法，得四 名詞解釋 1 聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，稱

17、之為微分方程。 2 如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，稱這種微分方程的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上 的微分方程稱為偏微分方程。 3 形如 的方程，稱為變量分離方程，這里分別是x , y的連續(xù)函數(shù)。 4 形如 的方程，稱為伯努利方程，這里為x的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù) 5 函數(shù)f (x , y)稱為在R上關(guān)于y滿足條件，如果存在常數(shù)L>0,使得不等式對(duì)于所有都成立, L稱為常數(shù). 6 定義在區(qū)間上的函數(shù), 如果存在不全為零的常數(shù)c1 , c2 , . ck 使得恒等式對(duì)于所有都成立,稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的. 五 1在方程中,已知p (x),q (x)在上連續(xù),求證:該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切.證明：方程，設(shè)是它的任一非零解。 若p (x),q (x)在上連續(xù)，假設(shè)在平面上與軸相切。 則與方程有非零解矛盾。 故與x軸不相切。 2 由已知得把x1