1、精選優質文檔-傾情為你奉上人教版數學必修5 §1.1.2余弦定理的教學設計一、 教學目標解析1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學生的發散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。二、 教學問題診斷分析1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：已知三角形的任意兩個角與

2、邊，求其他兩邊和另一角；已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，

3、特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。三、 教學支持條件分析為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。四、 教學過程設計1、教學基本流程：從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。余弦定理的證明：啟發學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲

4、得定理的證明。應用余弦定理解斜三角形。2、教學情景：創設情境，提出問題問題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）?！驹O計意圖】：來源于生活中的問題能激發學生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體會到數學來源于生活，數學服務于生活。師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗試解決。學生1方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出ACB的大小，那么ABC的大小就可以確定了。感覺似乎在ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。其

5、他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？學生2方案2：在島對岸可以取C、D 兩點（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出圖中1、2、3、4的大小。在ACD中，已知ACD、ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在BCD中，用正弦定理求出BC。那么在ABC中，已知AC、BC及ACB，似乎可以求AB的長了。教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發揮學生的主體地位。求異探新，證明定理問題2：在ABC中，C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。【設計意圖】

6、：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。學生3：在ABC中，如圖4，過C作CDAB，垂足為D。在RtACD中，AD=bsin1,CD= bcos1;在RtBCD中，BD=asin2, CD=acos2; 學生4：如圖5，過A作ADBC，垂足為D。學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，c2 =（bsinC）2+（a- bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC類似地可以證明b2 = a2 +c2-2accosB，c2 = a2 +

7、b2-2abcosC。教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點余弦定理。【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成

8、功的樂趣。學生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發？【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。學生7：如圖7，建立直角坐標系，在ABC中，AC = b，BC = a . 且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。運用定理，解決問題

9、讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。例1：在ABC中，已知a = 2，b = 3，C = 60°，求邊c。在ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；已知三角形三邊，求三內角。小結本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調?！驹O計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。作業第1題：用正弦定理證明余弦定理。【設計意圖】：繼續要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、