1、精選優質文檔-傾情為你奉上二次函數綜合問題之拋物線與直線交點個數1（2014北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經過點A（0，2），B（3，4）（1）求拋物線的表達式及對稱軸；（2）設點B關于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點）若直線CD 與圖象G有公共點，結合函數圖象，求點D縱坐標t的取值范圍考點：待定系數法求二次函數解析式；待定系數法求一次函數解析式；二次函數的最值菁優網版權所有專題：計算題分析：（1）將A與B坐標代入拋物線解析式求出m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；（2）由題意確定出C坐標，

2、以及二次函數的最小值，確定出D縱坐標的最小值，求出直線BC解析式，令x=1求出y的值，即可確定出t的范圍解答：解：（1）拋物線y=2x2+mx+n經過點A（0，2），B（3，4），代入得：，解得：，拋物線解析式為y=2x24x2，對稱軸為直線x=1；（2）由題意得：C（3，4），二次函數y=2x24x2的最小值為4，由函數圖象得出D縱坐標最小值為4，設直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入得：，解得：k=，b=0，直線BC解析式為y=x，當x=1時，y=，則t的范圍為4t點評：此題考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，以及函數的最值，熟練掌握待定系數法是解本題的

3、關鍵2（2011石景山區二模）已知：拋物線與x軸交于A（2，0）、B（4，0），與y軸交于C（0，4）（1）求拋物線頂點D的坐標；（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？考點：二次函數圖象與幾何變換；二次函數的性質；待定系數法求二次函數解析式菁優網版權所有專題：探究型分析：（1）先設出過A（2，0）、B（4，0）兩點的拋物線的解析式為y=a（x+2）（x4），再根據拋物線與y軸的交點坐標即可求出a的值，進而得出此拋物線的解析式；（2）

4、先用待定系數法求出直線CD解析式，再根據拋物線平移的法則得到（1）中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯立，根據兩函數圖象有交點即可求出m的取值范圍，進而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x4），C點坐標為（0，4），a=，（1分）解析式為y=x2+x+4，頂點D坐標為（1，）；（2分）（2）直線CD解析式為y=kx+b則，直線CD解析式為y=x+4，（3分）E（8，0），F（4，6），若拋物線向下移m個單位，其解析式y=x2+x+4m（m0），由消去y，得x2+

5、xm=0，=2m0，0m，向下最多可平移個單位（5分）若拋物線向上移m個單位，其解析式y=x2+x+4+m（m0），方法一：當x=8時，y=36+m，當x=4時，y=m，要使拋物線與EF有公共點，則36+m0或m6，0m36；（7分）方法二：當平移后的拋物線過點E（8，0）時，解得m=36，當平移后的拋物線過點F（4，6）時，m=6，由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，（7分）綜上，要使拋物線與EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移個單位點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、二次函數與一次函數的交點問題，有一定的

6、難度3（2013豐臺區一模）二次函數y=x2+bx+c的圖象如圖所示，其頂點坐標為M（1，4）（1）求二次函數的解析式；（2）將二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合新圖象回答：當直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍考點：待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象與幾何變換菁優網版權所有分析：（1）確定二次函數的頂點式，即可得出二次函數的解析式（2）求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值范圍解答：解：（1）因為M（1，4）是二次函數y=（x+m）2+k的頂點坐標，所以y=（x1）24=x22x3，（2）令x22x3=0，解之得

7、：x1=1，x2=3，故A，B兩點的坐標分別為A（1，0），B（3，0）如圖，當直線y=x+n（n1），經過A點時，可得n=1，當直線y=x+n經過B點時，可得n=3，n的取值范圍為3n1，翻折后的二次函數解析式為二次函數y=x2+2x+3當直線y=x+n與二次函數y=x2+2x+3的圖象只有一個交點時，x+n=x2+2x+3，整理得：x2x+n3=0，=b24ac=14（n3）=134n=0，解得：n=，n的取值范圍為：n，由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n或3n1點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式的知識，難點在第二問，關鍵是求出邊界點時n的值4（2009北京）已知關于x的一元二

8、次方程2x2+4x+k1=0有實數根，k為正整數（1）求k的值；（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=2x2+4x+k1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b（bk）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數綜合題菁優網版權所有專題：綜合題分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；（2）對k的取值進行一一驗證，求出符合要求的k值，再結合拋物線平移的規律寫出其平移后的解析式；（3）求出新拋物線與

9、x軸的交點坐標，再分別求出直線y=x+b經過點A、B時的b的取值，進而求出其取值范圍本題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值解答：解：（1）由題意得，=168（k1）0k3k為正整數，k=1，2，3；（2）設方程2x2+4x+k1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=當k=1時，方程2x2+4x+k1=0有一個根為零；當k=2時，x1x2=，方程2x2+4x+k1=0沒有兩個不同的非零整數根；當k=3時，方程2x2+4x+k1=0有兩個相同的非零實數根1綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意當k=3時，二次函數為y=2x2+4x+2，把它的圖象向下平

10、移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x2+4x6；（3）設二次函數y=2x2+4x6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（3，0），B（1，0）依題意翻折后的圖象如圖所示當直線y=x+b經過A點時，可得b=；當直線y=x+b經過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的b（b3）的取值范圍為b（3）依圖象得，要圖象y=x+b（b小于k）與二次函數圖象有兩個公共點時，顯然有兩段而因式分解得y=2x2+4x6=2（x1）（x+3），第一段，當y=x+b過（1，0）時，有一個交點，此時b=當y=x+b過（3，0）時，有三個交點，此時b=而在此中間即為兩個交點，此時b第二段，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方

11、的部分沿x軸翻折后，開口向下的部分的函數解析式為y=2（x1）（x+3） 顯然，當y=x+b與y=2（x1）（x+3）（3x1）相切時，y=x+b與這個二次函數圖象有三個交點，若直線再向上移，則只有兩個交點因為b3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以當b=3時，將y=x+3代入二次函數y=2（x1）（x+3）整理得，4x2+9x6=0，0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結合的二次函數圖象相交只有兩個公共點這種情況故舍去綜上，b點評：考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數及函數圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數的結合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強，考查面廣，似乎是

12、一個趨勢或熱點5（2012東城區二模）已知關于x的方程（1m）x2+（4m）x+3=0（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；（2）若正整數m滿足82m2，設二次函數y=（1m）x2+（4m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）考點：二次函數綜合題菁優網版權所有分析：（1）根據方程有兩個不相等的實數根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值范圍；（2）先求出正整數m的值，從而確定二次函數的

13、解析式，得到解析式與x軸交點的坐標，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經過點A、B從而求出k的值解答：解：（1）=（4m）212（1m）=（m+2）2，由題意得，（m+2）20且1m0故符合題意的m的取值范圍是m2且m1的一切實數 （2）正整數m滿足82m2，m可取的值為1和2又二次函數y=（1m）x2+（4m）x+3，m=2（4分）二次函數為y=x2+2x+3A點、B點的坐標分別為（1，0）、（3，0）依題意翻折后的圖象如圖所示由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經過點A、B可求出此時k的值分別為3或1（7分）注：若學生利用直線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案點評：本題考查了二次函

14、數綜合題（1）考查了一元二次方程根的情況與判別式的關系：0方程有兩個不相等的實數根（2）得到符合題意的直線y=kx+3經過點A、B是解題的關鍵6在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+m23m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（4，n）在這條拋物線上（1）求B點的坐標；（2）將此拋物線的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數綜合題菁優網版權所有專題：壓軸題分析：（1）把原點坐

15、標代入拋物線，解關于m的一元二次方程得到m的值，再根據二次項系數不等于0確定出函數解析式，再把點B坐標代入函數解析式求出n的值，即可得解；（2）根據向上平移縱坐標加解答即可；（3）把直線解析式與拋物線解析式聯立，消掉y得到關于x的一元二次方程，根據=0求出b的值，然后令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標，再求出直線經過拋物線與x軸左邊交點的b值，然后根據圖形寫出b的取值范圍即可解答：解：（1）拋物線經過原點O，m23m+2=0，解得m1=1，m2=2，當m=1時，=0，m=2，拋物線的解析式為y=x2+3x，點B（4，n）在這條拋物線上，n=×42+3×4=8+12=4，點B

16、（4，4）；（2）拋物線的圖象向上平移個單位，平移后的圖象的解析式y=x2+3x+；（3）聯立，消掉y得，x2+3x+=x+b，整理得，x25x+2b7=0，=（5）24×1×（2b7）=0，解得b=，令y=0，則x2+3x+=0，整理得，x26x7=0，解得x1=1，x2=7，拋物線與x軸左邊的交點為（1，0），當直線y=x+b經過點（1，0）時，×（1）+b=0，解得b=，當直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍為b或b點評：本題是二次函數綜合題，主要利用了解一元二次方程，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與幾何變換，難點在于（3）求出直線與

17、拋物線有三個交點時的b值，作出圖形更形象直觀7關于x的二次函數y=x2+2x+k1的圖象與x軸有交點，k為正整數（1）求k的值；（2）當關于x的二次函數y=x2+2x+k1與x軸的交點的橫坐標均是負整數時，將關于x的二次函數y=x2+2x+k1的圖象向下平移4個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當直線y=（b3）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數綜合題菁優網版權所有分析：（1）綜合根的判別式及k的要求，求出k的取值；（2）對k的取值進行一一驗

18、證，求出符合要求的k值，再結合拋物線平移的規律寫出其平移后的解析式；（3）求出新拋物線與x軸的交點坐標，再分別求出直線y=x+b經過點A、B時的b的取值，進而求出其取值范圍解答：解：（1）由題意得，=44（k1）0k2k為正整數，k=1，2；（2）設方程x2+2x+k1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=k1當k=1時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為（0，0），不合題意；當k=2時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為（1，0），符合題意；綜上所述，k=2符合題意當k=2時，二次函數為y=x2+2x+1，把它的圖象向下平移4個單位得到的圖象的解析式為：y=x2

19、+2x3；（3）設二次函數y=x2+2x3的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（3，0），B（1，0）依題意翻折后的圖象如圖所示當直線y=x+b經過A點時，可得b=；當直線y=x+b經過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的b（b3）的取值范圍為：b點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式、二次函數及函數圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數的結合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強8（2014東城區一模）已知：關于x的一元二次方程mx2（4m+1）x+3m+3=0 （m1）（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1x2），若y是關于m的函數，且y

20、=x13x2，求這個函數的解析式；（3）將（2）中所得的函數的圖象在直線m=2的左側部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結合這個新的圖象回答：當關于m的函數y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：一次函數綜合題菁優網版權所有專題：壓軸題分析：（1）列式表示出根的判別式，再根據0，方程有兩個不相等的實數根證明；（2）利用求根公式法求出x1、x2，然后代入關系式整理即可得解；（3）作出函數圖象，然后求出m=2時的函數值與以及m=1時的翻折圖象的對應點的坐標，再代入直線解析式求出b值，然后結合圖形寫出b的取值范圍即可解答：（1）證明：=（4m+1）2

21、4m（3m+3）=4m24m+1=（2m1）2，m1，（2m1）20，方程有兩個不等實根；（2）解：x=，兩根分別為=3，=1+，m1，01，11+2，x1x2，x1=3，x2=1+，y=x13x2，=33（1+），=，所以，這個函數解析式為y=（m1）；（3）解：作出函數y=（m1）的圖象，并將圖象在直線m=2左側部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖所示，m=2時，y=，m=1時，y=3，函數圖象直線m=2左側部分翻折后的兩端點坐標為（3，3），（2，），當m=3時，2×3+b=3，解得b=9，當m=2時，2×2+b=，解得b=，所以，此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍9b點評：本題是一次函數綜合題型，主要利用了根的判別式，求根公式法解一元二次方程，一次函數與反比例函數交點問題，難點在于（3）確定出翻折部分的兩個端點的坐標以及有兩個交點時的b的取值范圍，作出圖形更形象直觀9（2013門頭溝區一模）已知關于x的一元二次方程（1）求證：無論m取任何實數，方程都有兩個實數根；（2）當m3時，關于x的二次函數的圖象與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的條件下，過點C作直線lx軸，將二次函數圖象在y軸左側的部分沿直線l翻折，二次函數圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，記為G請你結合圖象回答：當直線