1、第一講平面向量的概念與幾何運算（1）【考點梳理】1平面向量的有關概念：（1）向量的定義：_（2）表示方法：代數表示：_幾何表示：_坐標表示_;圖象表示_（3）模：_（4）零向量：_（5）單位向量：_（6）共線向量：_;平行向量_（7）相等的向量：_2向量的加法與減法 求兩個向量的和的運算，叫向量的加法向量加法按法則或法則進行加法滿足律和律 求兩個向量差的運算，叫向量的減法作法是將兩向量的重合，連結兩向量的，方向指向3實數與向量的積 實數與向量的積是一個向量，記作它的長度與方向規定如下：| | 當0時，的方向與的方向；當0時，的方向與的方向；當0時， () ()() 共線定理：向量與非零向量共線

2、的充要條件是有且只有一個實數使得4平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數、，使得稱1+2為，的線性組合。5.向量的三種線性運算（幾何運算）。運 算圖形語言幾何運算加法與減法實數與向量的乘積兩個向量的數量積問題1: 相等向量與平行向量的區別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。問題3：對于兩個向量平行的充要條件：aba=b，只有b0才是正確的.而當b=0時，ab是a=b的必要不充分條件.問題4；向量與有向線段的區別：

3、（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段考點一： 向量及與向量相關的基本概念題型1. 概念判析例1判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9) 的充要條件是且；同步練習 1、是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；任一

4、向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是模為0是一個向量方向不確定的充要條件；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.考點二: 向量的加、減法題型1:考查加加、減法運算及相關運算律例2化簡同步練習2、化簡=_題型2: 結合圖型考查向量加、減法例3在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于一點O,則;同步練習3、所在的平面上有一點，滿足，則與的面積之比是( )ABCD考點三: 向量數乘運算及其幾何意義題型1: 三點共線問題例4設是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值例5已知A、B、C、P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對

5、實數m、n，使=m+n，且m+n=1基礎鞏固訓練1.判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定在同一條直線上。（）（2）所有的單位向量都相等。（）（3）向量共線，共線，則共線。（）（4）向量共線，則（）（5）向量，則。（）（6）平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。（）2. (四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條D、既不充分也不必要條件3D、E、F分別是ABC的BC、CA、AB上的中點，且， ，給出下列命題，其中正確命題的個數是（ ）A、1 B、2 C、3 D、44則向量的關系是（ ）A平行 B重合

6、C垂直 D不確定5 已知分別是的邊上的中線,且,則為（ ）A. B. C. D.6已知,則是三點構成三角形的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7下列說法中錯誤的是（ ）A.向量的長度與向量的長度相等 B.任一非零向量都可以平行移動C.長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量 D.兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同.8已知正方形ABCD的邊長為1，則的模等于（ ）A.0 B.3 C. D.29下面給出四個命題：對于實數m和向量，恒有對于實數m、n和向量，恒有若若，則m=n 其中正確的命題個數是（ ） A.1 B.2 C.3 D.410已知，

7、則的取值范圍是（ ）A.3，8 B.（3，8） C.3，13 D.（3，13）11、計算：（1） （2）（3）（4）第二講 平面向量的基本定理與坐標表示知 識 梳理1平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個_向量，那么對于這一平面內的_向量，_一對實數1，2使=1+2(1)我們把不共線向量叫做表示這一平面內所有向量的一組_；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一1，2是被，唯一確定的數量2平面向量的坐標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個_單位向量_、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，

8、有且只有一對實數、，使得，我們把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示與相等的向量的坐標也為特別地，特別提醒：設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示3平面向量的坐標運算（1） 若，則=_，=_兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差（2） 若，則_一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標（3）若和實數，則_實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標4向量平行的充要條件的坐標表示：設=(x1, y1) ，=(x

9、2, y2) 其中¹ (¹)的充要條件是_5、 中點坐標公式：設點的中點，則（向量形式）的坐標：（坐標形式）問題1：和= (3,4)平行的單位向量是_；1若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( )A與 B3與2 C與 D與2二、典型例題1. 平面向量的坐標運算例1 已知向量.(1) 求. (2) 求滿足的實數.例2 已知梯形OABC中，OA/BC, 且OA=2CB. 若A（4，1），B(1，3)，(1)求向量及點B的坐標.(2)求對角線OB和AC的交點M的坐標.考點二: 平面向量的坐標表示與運算題型1:向量加、減、數乘的坐標運算例3已知A（2,

10、4）、B（3,1）、C（3,4）且,求點M、N的坐標及向量的坐標.2、若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 則-2=3、若M(3, -2) N(-5, -1) 且, 求P點的坐標；考點三:向量平行的充要條件題型1: 平行、共線問題例4（廣東省高三月考）已知向量，若，則銳角等于（ ）A BC D4、若向量=(-1,x)與=(-x, 2)共線且方向相同，求x題型2. 平面向量基本定理的應用例5 若向量，則等于（ ）A. B. C. D.同步練習5、平面向量，則（ ）ABCD 6、中，若點滿足，則( )ABCD7、已知a=（1，2），b=（3，2），當ka+b與a3b平行，k為何值（

11、 ）A B C D 8、如圖,線段與互相平分,則可以表示為 ( )A . B. C. D. 第三講平面向量的數量積知 識 梳理 1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則_AB（）叫與的夾角.特別提醒：向量與向量要同起點。2平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|cosq_叫與的數量積，記作×，即有× = |cosq特別提醒：（1） （）.并規定與任何向量的數量積為0（2） 兩個向量的數量積的性質：設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量1) × = × =|cosq；2) Û× = 03) 當與同向

12、時，× = |；當與反向時，× = -| 特別的× = |2或4) cosq = ；5) |×| |3“投影”的概念：如圖定義： _|b|cosq_叫做向量b在a方向上的投影特別提醒：投影也是一個數量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為-|b|4平面向量數量積的運算律交換律：× = ×數乘結合律： ()× =(×) = ×()分配律：( + )× = × + &#

13、215;5平面兩向量數量積的坐標表示已知兩個非零向量，設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么， 所以6.平面內兩點間的距離公式如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么：7.向量垂直的判定：設，則8.兩向量夾角的余弦（） cosq =(1) 向量數量積與向量加、減、數乘運算的區別問題1: 兩個向量的數量積是一個實數，向量加、減、數乘運算的運算結果是向量。 若a、b為實數，且 a·b=0，則有a=0或b=0，但·=0卻不能得出=或=因為只要就有·=0，而不必=或=考點一：平面向量數量積的運算題型1. 求數量積、求模、求夾角例1；例2在ABC中，=(2

14、, 3)，=(1, k)，且ABC的一個內角為直角，求k值題型2。利用數量積解決垂直問題例2已知，按下列條件求實數的值。（1）；（2）；。同步練習【10朝陽二模2】（2）已知向量，如果與垂直，那么實數的值為（A） （B） （C） （D）3. 平面向量的模長問題例1 已知，求例2 已知,求：(1) 的單位向量； （2）與垂直的單位向量； （3）與平行的單位向量；4. 平面向量的垂直問題例 （1）已知，當=_時，向量與垂直.（2）（2007·北京）已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，則實數的值是.5. 平面向量的夾角問題例1 （1）已知，求與的夾角.（2）已知非零

15、向量和滿足，求與的夾角.例2（2005北京）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）A30°B60°C120°D150°例3 （2007陜西）如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，求的值。AOBC6. 與三角形相關的問題例1（09寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的（A）重心 外心 垂心（B）重心 外心 內心（C）外心 重心 垂心（D）外心 重心 內心例2已知是所在平面內一點，且滿足，判斷的形狀.基礎練習1已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大

16、小是。2（09浙江卷文）已知向量，若向量滿足，則（ ）A B C D1. 若向量，滿足，則向量，的夾角的大小為.2. 若向量的夾角為，則.3. 對于向量和實數，下列命題中真命題是（ ）A若，則或B若，則或C若，則或D若，則4. 在ABC中，C=90°，則k的值是_5. 在中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則的最小值是_6. 已知，向量與垂直，則實數的值為 （ ）（A） （B） （C） （D）7. 已知向量，若向量滿足，則（ ）A B C D8.平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |（ ）（A） （B）2 （C）4 （D）129. 已知向量（ ）A30°B60°C120°D150°10. 設非零向量、滿足，則 （ ）（A）150° (B）120° （C）60° （D）30°11. 已知向量a = (2,1)，a