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1、常微分方程小結姓名:邱俊銘 學號:2010104506姓名:李林 學號:2010104404姓名:曾治云 學號: 2010104509初等積分法:變量分離形式一、一階微分程:dy/dx=h(x)g(y) ,其中函數h(x)在區間(a,b)上連續,g(y)在區間(c,d)上連續且不等于0.經過分離變量得: dy/g(y)=h(x)dx 兩端積分得: G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常數且G(y)= Ùdy/g(y),H(x)= Ùh(x)âx,所以G(y)=1/g(y)不為0,故G存在逆函數,從而得到:y= (H(x)+c).例 1. dy /dx=2xy解:

2、當y ¹0時,分離變量后得:dy/ y =2xdx ,兩邊積分得:ln|y|=x2+c1 ,此外y=0也是方程的解,從而方程的解為y=Ce(x2),g(y)=0,則y=是方程的解,其中C為任意的常數。初值問題的解,即y取任意一個數得到的結果,代入通解中,求出具體y值。例2.y(1+x2)dy=x(1+y2)dx,y(0)=1; 解:這是變量分離的方程,分離變量后得:y/(1+y2)dy=x/(1+x2),兩邊積分得其通解為:1+y2=C(1+x2),其中C為任意常數,代入初值條件得:C=2.。故所給的初值問題的解為y=.二、常數變易法一階非線性方程:dy/dx=a(x)y+f(x).

3、(1)當f(x)=0時,方程為齊次線性方程,解法和上述的一樣,通解為y=C ,C為任意的常數。現在求齊次線性方程的通解,常數C換成x的函數c(x),得到:y= c(x) ,對x求導,然后代入(1)中化簡,兩端積分,得:y=C + .例3. dy/dx-2xy=x.解:dy/dx=2xy+x,這里a(x)=2x,f(x).從而可求出原方程的通解為:Y=exp(2 Ùxâx)(c+ Ùxexp(-2Ùxâx)âx)=-1/2+ce(x2),即-1/2+ce(x2),其中c為任意的常數。三、Bernoulli方程, 非線性方程轉變為一階線性

4、方程dy/dx=a(x)y+f(x)ya (2)當a=0和1時是上述討論過的線性方程,當a ¹0和1時(2)方程是非線性方程,令z=y(1-a),兩邊除ya,令,由,由:dz/dx=(1-a)y(-a)dy/dx,得dz/dx=(1-a)a(x)z+(1-a)f(x).把z=y(1-a)代入可得通解為:y(1-a)= +C,其中C為任意的常數,顯然y=0也為方程的解。例4. dy/dx=6y/x-xy2.解:當y ¹0時,令z=,原方程變為dz/dx=-6/xz+x,這是一個一階線性微分方程,其通解為:z=1/x6(C+1/8x8),從而原方程的通解為x6/y-x8/8=C

5、,其中C為任意的常數,此外,顯然y=0也是方程的解。恰當方程形式一、當dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。(3)則是恰當方程。判斷一個方程是否是恰當方程的充要條件是:dM/dy=dN /dx。則其通解為,或,其中C是任意的常數而且(,)為區域G內任意取定的一點。例5. dy/dx=-(6x+y+2)/(x+8y-3); 解:將原方程改寫為(6x+y+2)dx+(x+8y-3)dy=0.這里M(x,y)= 6x+y+2,N(x,y)= x+8y-3,由于:dM/dy=1=dN /dx,所以這是一個恰當方程,取=0,=0,可計算出:U(x,

6、y)=3x2+xy+2x+4y2-3y故該方程的通解為3x2+xy+2x+4y2-3y=C,其中C為任意的常數。二、積分因子法:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,不是恰當方程,但乘上一個適當的非零函數U=U(x,y)后,使得U(x,y)M(x,y)dx+ U(x,y)N(x,y)dy=0,(4),成為恰當方程。函數U(x,y)是(3)的積分因子,存在g=W(x,y),使dW(x,y)= U(x,y)M(x,y)dx+ U(x,y)N(x,y)dy,W(x,y)是(4)的通解,也是(3)的通解。例6.2xylnydx+(x2+y2)dy=0. 解; M(x,y)= 2xylny, N(x,

7、y)= x2+y2,由于:E=dM/dy-dN /dx=2xlny,所以他不是恰當方程。由于-E/M=-1/y與x無關,所以方程只與y的積分因子有關,U(y)n=1/y,因此方程;2xlnxdx+(x2/y+y)dy=0,為恰當方程。取,=0, =1,可計算出;U(x,y)= = x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.故該方程的通解為; x2lny+1/3(1+y2)3/2-2/3.=C,其中C為任意的常數。隱式方程一階隱式方程,其一般式為:F(x,y,dy/dx)=0., (5) 即令p=dy/dx,,變成:F(x,y, p)=0,然后用分離變量法來求解。例7.y=(dy/dx)2-

8、xdy/dx+x2/2; 解:令p=dy/dx,則原方程變為;y=p2-xp+x2/2,兩邊關于x 求導,得p=2pdp/dx-p-xdp/dx+x,即(2p-x)dp/dx=(2p-x),若2p-x¹0,則dp/dx=1,從而p=x+C,其中C為任意的常數,因而方程的通解為y=x2+Cx+C2;若2p-x=0,原方程的解為;y=x2/4.初等積分法的一些應用一、 奇解一條曲線y=f(x)不屬于曲線族y=g(x,c),但在y=f(x)上每一點都有曲線族y=g(x,c)中的某條曲線與他相切,我們稱y=f(x)是y=g(x,c)的包絡,y=f(x)為奇解后特解。y=g(x,c)是方程的通

9、解。定理:設函數F(x,y, p)連續且對x,y,p連續可微,則方程F(x,y,dy/dx)=0的奇解y= f( x)應滿足關系式:F(x,y, p)=0,(x,y, p)=0,其中p=dy/dx,或滿足從中消去p而得到的關系式:D( x,y)=0.例8.x(dy/dx)2-ydy/dx+1=0;解:令p=dy/dx,由方程知p¹0.因此可以解出:y=xp+1/p,兩邊對x求導得:P=p+pdp/dx-1/p2dp/dx,即(x-1/p2)dp/dx=0.若x-1/p2¹0,則dp/dx=0.從而p=C,其中C為任意常數,因而原方程的通解為:y=Cx+1/C;若x-1/p2

10、=0,則容求原方程的通解為:y2=4x。積分曲線族y=Cx+1/C的C的判別曲線滿足方程:y-Cx+1/C=0,-x+1/C2=0.從中消去C得y2=4x,容證它是原方程的奇解。二、高階微分方程高階微分方程,其一般式為:F(x,y,dy/dx,º / )=0。思路為:可通過變量變換的方法把高階降階為一階來求解。例9.4 ;解:令p= ,則原方程變為:4p2=p,用pdx乘以兩邊得:2d(p)2=pdp,故4(p)2=p2+A1,其中A1為任意的常數。從而:2dp/dx=+- ??紤]方程:2dp/dx=,分離變量法可得:P+=A2ex/2,A2為任意的常數。線性方程一、矩陣A(t)=( (t))是連續的(或可微的),如果其每一個元素 (t)(其中i,j=1,2, º n)都是實變量t的連續函數(或可微的),在可微的情況下,dA(t)/dt=(d (t).例10.設A=,試計算并比較其導數的行列式和其行列式的導數。解:由dA(t)/dt=(d (t).易知dA(t)/dt=,因此其導數的行列式為48-2t.另一方面,可求出;de

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