1、彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？ 【分析】均勻的各項(xiàng)異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項(xiàng)異形體如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個(gè)假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件

2、和巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的 連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對(duì)應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性

3、常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個(gè)物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時(shí)，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時(shí)，它們的二次冪或

4、乘積相對(duì)于其本身都可以略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程。方程都簡(jiǎn)化為線性的微分方程。【1-4】應(yīng)力和面力的符號(hào)規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向。【解答】應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時(shí)（即正面時(shí)），這個(gè)面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)面時(shí)），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。面力的符號(hào)規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，負(fù)

5、面上應(yīng)力分量與面力分量符號(hào)相反。正的應(yīng)力正的面力【1-5】試比較 l 彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定。【解答】材料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號(hào)以使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。 彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎饔糜谪?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。【1-6】試舉例說明正的應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的形變。【解答】正的應(yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長(zhǎng)變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀

6、態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變。【1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向。 【解答】正的體力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。 【解答】x【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力 yz的合力與z面上切應(yīng)力 zy的合力是否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為L(zhǎng) 1MT 2，單位為N/m2。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dx×dy×dz，則y面上切應(yīng)力 yz的合力為：yz dx dz (a)z面上切應(yīng)力 zy的合力為：zy dx dy (b)由式（a

7、）(b)可見，兩個(gè)切應(yīng)力的合力并不相等。【分析】作用在兩個(gè)相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等，但對(duì)某點(diǎn)的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點(diǎn)都有 z xz yz 0，只存在平面應(yīng)力分量 x, y, xy，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)。可以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題。【2-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片

8、中（2-15），當(dāng)板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時(shí)，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【解答】板上處處受法向約束時(shí) z 0，且不受切向面力作用，則xz yz 0(相應(yīng) zx zy 0)板邊上只受x，y向的面力或約束，所以僅存在 x, y, xy，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【2-3】在圖2-3的微分體中，若將對(duì)形心的力矩平很條件MC試問將導(dǎo)出什么形 0改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件，式的方程？【解答】將對(duì)形心的力矩平衡條件MC改為分別 0，對(duì)四個(gè)角點(diǎn)A、B、D、E的平衡條件，為計(jì)算方便，在z方向的尺寸取為單位1。MA0xy xdxdydyydx

9、1 ( x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx ydy 12 x2 x2(a)y dxdydxyx( y dy)dx 1 ( yx dy)dx 1 dy fxdxdy 1 fxdxdy 1 0y2 y22MB0 ( xxdydxdx)dy 1 ( yx yxdy)dx 1 dy ( y ydy)dx 1 x2 y y2(b)dydxdydxxydy 1 dx xdy 1 ydx 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 02222MD0( ydxdyxydy 1 dx xdy 1 yxdx 1 dyy22(c)xdxdydydxxdx 1 ( x dx)dy 1 fxdxdy 1 f

10、ydxdy 1 02 x222dy)dx 1yME0dxdydxxdy 1 yxdx 1 dy ydx 1y222(d)dydydx( x xdx)dy 1 ( xy xydx)dy 1 dx fxdxdy 1 fydxdy 1 0x2 x22 ( ydy)dx 1略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趨于0），并將各式都除以dxd y后合并同類項(xiàng)，分別得到 xy yx。【分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對(duì)任一點(diǎn)取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗(yàn)證了切應(yīng)力互等定理。【2-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗(yàn)證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分

11、方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長(zhǎng)dx,dy都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計(jì)算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個(gè)單位。yy各點(diǎn)正應(yīng)力：CyC(a) (b)( x)A x；( x)B x( y)A y ( y)B yxdy； yy ydy( x)D xdx； x( y)D ydx x( x)C x各點(diǎn)切應(yīng)力：xdx x y； x y( y)C yy xdxy yy( xy)A xy； ( xy)B xy( yx)A yx ( yx)A yxyx y yx xxy ydy；dy( xy)D xyxy xdx；

12、( yx)D yxdx( xy)C xyxy xdxxy ydy；( yx)C yxyx xdxyx ydy由微分單元體的平衡條件 Fx 0, Fy 0,得1 x x x x 1dy dy x dx x dx dy dy x x2 y2 x x yyx yyx yx yx 1 1dx dx yx dy yx dx dy dx fxdxdy 0 yx yx+2 x2 y x y1 y y y y dx dx y dy y dx dy dx y y2 x2 y x y xy xy xy xy 1 1dy dy xy+dx xy+dy dx dy fydxdy 0 xy xy+ y x y

13、 x 2 2以上二式分別展開并約簡(jiǎn)，再分別除以dxdy，就得到平面問題中的平衡微分方程：x yxfx 0;y xy fy 0 x y y x【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式。 【2-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個(gè)條件同時(shí)也是這兩套方程的適用條件。(2)在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個(gè)假定也是物理方程的使

14、用條件。【思考題】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個(gè)假定？【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象。【解答】體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級(jí)別的量，而泊松比 取值一般在（0，0.5），故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項(xiàng)，比較兩類平面問題的系數(shù)項(xiàng)，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1/E要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)1 /E。因此，

15、平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大。2【2-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對(duì)于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量 x， y和 xy均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移 是否相同？【解答】(1)應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量 x， y和 xy均相同，但平面應(yīng)力問題z yz xz 0，而平面應(yīng)變問題的 xz yz 0, z x y 。（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量 xz yz 0, xy相同，而 x, y, z不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對(duì)于兩類平面問題也不

16、同。【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時(shí)AB邊界上的 x, y, xy之間的關(guān)系式【解答】由題可得：l cos ,m cos 90 sin x AB 0,y AB 0將以上條件代入公式（2-15），得：圖2-16x ABcos yx ABsin 0, y ABsin ( xy)ABcos 0( x)AB yx tanyABABtan2【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。xM圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個(gè)積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公

17、式（2-15）。【解答】圖2-17：上（y=0）0 -1左(x=0) -1 0右（x=b）1 0l mfx s g y h1g y h1fy s代入公式（2-15）得gh1在主要邊界上x=0，x=b上精 確滿足應(yīng)力邊界條件：x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;在小邊界y 0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：yy 0gh, xyy 00在小邊界y h2上，能精確滿足下列位移邊界條件：u y h時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：20, v y h 02這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚 =1Fs

18、0,FN ghb1,M 0由于y h2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：b dx gh1b 0yy h2 b0 y y h2xdx 0bdx 0 0xyy h2圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）l0 0m-1 1fx(s)0 -q1fy(s)qyh 2hy2( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有h/2( )dx FSh/2xyx 0 h/2h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx

19、 M h/2xx 0在x=l的小邊界 上，可應(yīng)用位移邊界條件ux l 0,vx l 0這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：F Fyxq1l FN q1l FN 0,FN FNM0,FS FS ql 0 FS ql FSq1lh121ql2MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故h/2( )dy F ql FN1Nh/2xx l q1lhql2 h/2M FSl h/2( x)x lydy M 22h/2( )dy F ql Fxyx lSSh/2【2-10】試應(yīng)