1、彈性力學簡明教程（第四版）課后習題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？ 【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土?！?-2】一般的混凝土構件和鋼筋混凝土構件能否作為理想彈性體？一般的巖質地基和土質地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土構件和土質地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構件

2、和巖質地基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續性假定：假定物體是連續的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應力、形變和位移等物理量就可以看成是連續的。因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的 連續函數來表示他們的變化規律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應形變的外力被去除后，能夠完全恢復原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關系的，即引用這一假定后，應力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性

3、常數不隨應力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內部各質點的物理性質都是相同的，因而物體的彈性常數不隨位置坐標而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應變和轉角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關系時，它們的二次冪或

4、乘積相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學中的微分方程都簡化為線性的微分方程。方程都簡化為線性的微分方程?！?-4】應力和面力的符號規定有什么區別？試畫出正坐標面和負坐標面上的正的應力和正的面力的方向?！窘獯稹繎Φ姆栆幎ㄊ牵寒斪饔妹娴耐夥ň€方向指向坐標軸方向時（即正面時），這個面上的應力（不論是正應力還是切應力）以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時），該面上的應力以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。面力的符號規定是：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正，沿坐標軸的負方向為負。 由下圖可以看出，正面上應力分量與面力分量同號，負

5、面上應力分量與面力分量符號相反。正的應力正的面力【1-5】試比較 l 彈性力學和材料力學中關于切應力的符號規定?！窘獯稹坎牧狭W中規定切應力符號以使研究對象順時針轉動的切應力為正，反之為負。 彈性力學中規定，作用于正坐標面上的切應力以沿坐標軸的正方向為正，作用于負坐標面上的切應力以沿坐標軸負方向為正，反之為負。【1-6】試舉例說明正的應力對應于正的形變?！窘獯稹空膽Πㄕ恼龖εc正的切應力，正的形變包括正的正應變與正的切應變，本題應從兩方面解答。正的正應力對應于正的正應變：軸向拉伸情況下，產生軸向拉應力為正的應力，引起軸向伸長變形，為正的應變。正的切應力對應于正的切應變：在如圖所示應力狀

6、態情況下，切應力均為正的切應力，引起直角減小，故為正的切應變?！?-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應力的方向。 【解答】正的體力、面力正的體力、應力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。 【解答】x【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應力 yz的合力與z面上切應力 zy的合力是否相等？【解答】切應力為單位面上的力，量綱為L 1MT 2，單位為N/m2。因此，應力的合力應乘以相應的面積，設六面體微元尺寸如dx×dy×dz，則y面上切應力 yz的合力為：yz dx dz (a)z面上切應力 zy的合力為：zy dx dy (b)由式（a

7、）(b)可見，兩個切應力的合力并不相等。【分析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應力的合力不相等，但對某點的合力矩相等，才導出切應力互等性。第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應力狀態接近于平面應力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內所有各點都有 z xz yz 0，只存在平面應力分量 x, y, xy，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數。可以認為此問題是平面應力問題?！?-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片

8、中（2-15），當板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應變狀態接近于平面應變的情況。【解答】板上處處受法向約束時 z 0，且不受切向面力作用，則xz yz 0(相應 zx zy 0)板邊上只受x，y向的面力或約束，所以僅存在 x, y, xy，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數，故其應變狀態接近于平面應變的情況。【2-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件MC試問將導出什么形 0改為對角點的力矩平衡條件，式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件MC改為分別 0，對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在z方向的尺寸取為單位1。MA0xy xdxdydyydx

9、1 ( x dx)dy 1 ( xy dx)dy 1 dx ydy 12 x2 x2(a)y dxdydxyx( y dy)dx 1 ( yx dy)dx 1 dy fxdxdy 1 fxdxdy 1 0y2 y22MB0 ( xxdydxdx)dy 1 ( yx yxdy)dx 1 dy ( y ydy)dx 1 x2 y y2(b)dydxdydxxydy 1 dx xdy 1 ydx 1 fxdxdy 1 fydxdy 1 02222MD0( ydxdyxydy 1 dx xdy 1 yxdx 1 dyy22(c)xdxdydydxxdx 1 ( x dx)dy 1 fxdxdy 1 f

10、ydxdy 1 02 x222dy)dx 1yME0dxdydxxdy 1 yxdx 1 dy ydx 1y222(d)dydydx( x xdx)dy 1 ( xy xydx)dy 1 dx fxdxdy 1 fydxdy 1 0x2 x22 ( ydy)dx 1略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趨于0），并將各式都除以dxd y后合并同類項，分別得到 xy yx?！痉治觥坑杀绢}可得出結論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結果都是驗證了切應力互等定理。【2-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應力分量不是均勻分布的，驗證將導出什么形式的平衡微分

11、方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長dx,dy都是微量，因此可以假設在各面上所受的應力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個單位。yy各點正應力：CyC(a) (b)( x)A x；( x)B x( y)A y ( y)B yxdy； yy ydy( x)D xdx； x( y)D ydx x( x)C x各點切應力：xdx x y； x y( y)C yy xdxy yy( xy)A xy； ( xy)B xy( yx)A yx ( yx)A yxyx y yx xxy ydy；dy( xy)D xyxy xdx；

12、( yx)D yxdx( xy)C xyxy xdxxy ydy；( yx)C yxyx xdxyx ydy由微分單元體的平衡條件 Fx 0, Fy 0,得1 x x x x 1dy dy x dx x dx dy dy x x2 y2 x x yyx yyx yx yx 1 1dx dx yx dy yx dx dy dx fxdxdy 0 yx yx+2 x2 y x y1 y y y y dx dx y dy y dx dy dx y y2 x2 y x y xy xy xy xy 1 1dy dy xy+dx xy+dy dx dy fydxdy 0 xy xy+ y x y

13、 x 2 2以上二式分別展開并約簡，再分別除以dxdy，就得到平面問題中的平衡微分方程：x yxfx 0;y xy fy 0 x y y x【分析】由本題可以得出結論：彈性力學中的平衡微分方程適用于任意的應力分布形式。 【2-5】在導出平面問題的三套基本方程時，分別應用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應用的基本假設是：物體的連續性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。(2)在導出平面問題的物理方程時應用的基本假定是：連續性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個假定也是物理方程的使

14、用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導過程中都用到了哪個假定？【2-6】在工地上技術人員發現，當直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環（接近平面應力問題）總比鋼圓筒（接近平面應變問題）的變形大。試根據相應的物理方程來解釋這種現象?！窘獯稹矿w力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區別在于方程中含彈性常數的系數。由于E為GPa級別的量，而泊松比 取值一般在（0，0.5），故主要控制參數為含有彈性模量的系數項，比較兩類平面問題的系數項，不難看出平面應力問題的系數1/E要大于平面應變問題的系數1 /E。因此，

15、平面應力問題情況下應變要大，故鋼圓環變形大。2【2-7】在常體力，全部為應力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應力分量 x， y和 xy均相同。試問其余的應力，應變和位移 是否相同？【解答】(1)應力分量：兩類平面問題的應力分量 x， y和 xy均相同，但平面應力問題z yz xz 0，而平面應變問題的 xz yz 0, z x y 。（2）應變分量：已知應力分量求應變分量需要應用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應變分量 xz yz 0, xy相同，而 x, y, z不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不

16、同?！?-8】在圖2-16中，試導出無面力作用時AB邊界上的 x, y, xy之間的關系式【解答】由題可得：l cos ,m cos 90 sin x AB 0,y AB 0將以上條件代入公式（2-15），得：圖2-16x ABcos yx ABsin 0, y ABsin ( xy)ABcos 0( x)AB yx tanyABABtan2【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。xM圖2-17圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應精確滿足公

17、式（2-15）。【解答】圖2-17：上（y=0）0 -1左(x=0) -1 0右（x=b）1 0l mfx s g y h1g y h1fy s代入公式（2-15）得gh1在主要邊界上x=0，x=b上精 確滿足應力邊界條件：x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;在小邊界y 0上，能精確滿足下列應力邊界條件：yy 0gh, xyy 00在小邊界y h2上，能精確滿足下列位移邊界條件：u y h時，可求得固定端約束反力分別為：20, v y h 02這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚 =1Fs

18、0,FN ghb1,M 0由于y h2為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：b dx gh1b 0yy h2 b0 y y h2xdx 0bdx 0 0xyy h2圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）l0 0m-1 1fx(s)0 -q1fy(s)qyh 2hy2( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1在x=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有h/2( )dx FSh/2xyx 0 h/2h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx

19、 M h/2xx 0在x=l的小邊界 上，可應用位移邊界條件ux l 0,vx l 0這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：F Fyxq1l FN q1l FN 0,FN FNM0,FS FS ql 0 FS ql FSq1lh121ql2MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故h/2( )dy F ql FN1Nh/2xx l q1lhql2 h/2M FSl h/2( x)x lydy M 22h/2( )dy F ql Fxyx lSSh/2【2-10】試應