1、護士工作時間的安排摘 要：本文是在滿足各個時間段護士滿足人員需要的情況下求最值問題，是護士排班的規劃優化問題，因此我們針對題中兩小問建立兩種數學模型。在盡量減少約束條件的情況下，運用線性規劃建立模型，再利用LINGO求解，分別算出所需護士人員總數及加班人員人數總和，接著根據實際情況進行人性化排班，調整工作模式，制定優化方案。在問題一中，我們研究的是，在滿足護士每日工作時間，工作強度和各個時間段人員需求的條件下，求每天最少需要多少護士的最終目的。根據每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時這一條件，以及各個時間段的人員需求量不同的約束條件，假設第i時間段有名護士開始上班，以各時間段

2、護士最少需求量為約束條件，利用LINGO求解得每天該科所需的最少護士數，繼而進行方案優化。在問題二中，考慮到限定醫院護士總人數為80，加班人員每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，滿足各時間段的人員需求且每天安排最少護士加班。分別假設出正常上班人員安排在各時間段開始上班的人數，加班人員安排在各時間段開始上班的人數，再以各時間段護士最少需求量及排班要求為約束條件建立最優化模型，并采用LINGO編程求解。關鍵詞： 護士排班 線性規劃 最優方案 1、 問題的重述某醫院心腦血管科護士的一個工作日分為12個時間段，每個時間段需要護士人數如下表：每個時段的人員需求編號時段

3、需要護士人數10:002:001522:005:001534:006:001546:008:003558:0010:0040610:0012:0040712:0014:0040814:0016:0030916:0018:00311018:0020:00351120:0022:00301222:0024:0020護士排班需滿足的條件：（1）每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時。（2）總護士人數為80人，如果加班，每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息。求解問題：（1）每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時，為滿足需求最少需要多少名

4、護士？如果滿足需求的排班方案不止一種，給出合理的排班方案。（2）只能考慮讓部分護士加班，求解出護士工作時間安排的方案方案，使需要加班的護士數目最少，并給出最合理的排班和加班方案。2、 問題的分析因為醫院護士職業的特殊性以及相關醫院制度的規定，還需考慮護士在上班時的精力合理化安排，所以護士工作時間安排問題是客觀因素較多，較為復雜的優化問題。相對該問題的處理首先應考慮各個時間段的護士需求量，并依據其他條件制定工作時間安排的約束條件，其次，在同時考慮使排班更加人性化的情況下，算出加班護士人數的最優解。具體分析如下：問題一的分析首先由于每個護士每天工作8小時，且在工作4個小時后需要休息1個小時，故劃分

5、24個時段。以下列出了每個時段的人員需求量：編號時段需要護士人數10:001:001521:002:001532:003:001543:004:001554:005:001565:006:001576:007:003587:008:003598:009:0040109:0010:00401110:0011:00401211:0012:00401312:0013:00401413:0014:00401514:0015:00301615:0016:00301716:0017:00311817:0018:00311918:0019:00352019:0020:00352120:0021:003022

6、21:0022:00302322:0023:00202423:0024:0020每位護士每天工作8小時，且在工作4小時后需要休息1小時，例如：在第1時段內工作的護士人數等于第1時段開始工作的護士人數、第24時段開始工作的人數、第23時段開始工作的人數、第22時段開始工作的人數、以及第20個、第19個、第18個和第17個時段開始工作的護士人數之和。即：在第1時段，正在工作的護士分別是在時段17、18、19、20、22、23、24、1開始工作。例如：有個護士在時段2開始工作，則她在時段2、時段3、時段4和時段5中將進行工作，在第6時段休息，然后在時段7、時段8、時段9和時段10繼續工作。為保證在各

7、個時段工作的護士人數滿足該時段的最少人員需求，所以以符合上述條件的最少護士工作人數為目標函數，以護士每天工作8小時，且在連續工作4小時后休息1小時為約束條件，建立整數規劃模型I，求解滿足條件是需要護士工作的最少人數。針對于白天和凌晨的醫院對護士需求不同的情況，及就診病人的人數不同致使護士工作量的不同，故將護士的工作模式分為白班和夜班兩種（白班：若護士由第7個時段至第15個時段開始上班,則工作4小時后休息2小時，再工作4小時;夜班：若護士由第16個時段至第6個時段開始上班,則工作4小時后休息1小時，再工作4小時），使工作時間安排更加人性化，仍以已知各時間段人員需求為約束條件，建立整數規劃模型II

8、求解該條件下所需護士工作的最少人數。在凌晨時段（時段1到時段5）開始上班和下班的護士在生活上會有很多的不便，比如乘車問題、安全問題等等。為最大限度方便護士上下夜班，現對模型進行改進。以滿足上述條件并需在凌晨時段開始上下班的總護士人數最少為目標函數，建立模型，得出更加合理，更為人性化的工作時間安排表。問題二的分析目前該科室僅有80名護士，在此種情況下不能滿足各時間段對護士的最少人員需求，故需要安排部分護士加班。如果護士加班，則每天加班的時間為2小時，且緊隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，同問題一類似分析。所以以滿足條件時加班人數最少為目標函數，確定第i時段以加班狀態下的工作模式為約束條

9、件，建立模型，求解滿足需求時需要加班的護士最少人數。最后，設計更人性化的加班制度，規定只讓加白班的護士加班，優化加班安排。3、 模型的假設1. 假設護士對工作時間安排沒有異議；2. 假設不考慮法定假期對工作時間安排的影響；3. 假設不存在護士在上班時遲到和早退；4. 假設不考慮護士因請假或其他特殊情況而導致換班；5. 假設所給數據符合真實情況且每個約束條件醫院排班均必須考慮；6. 假設計算所得人數為小數時可忽略小數點向上進一；7. 假設每天的工作量是固定的，無特殊情況增加人員；4、 符號說明1. ：第i個時間段所需人員數。2. ：安排在第i個時間段開始上班的人數。3. MIN：滿足需求最少需要

10、的護士人員總數。4. ： 第i個時段開始工作的護士人數中不需要加班的人數。5. ：第i個時段開始工作的護士人數中需要加班的人數。（注：i=1，2·····24）5、 模型的建立與求解從所需解決的問題及對問題所做的分析假設出發，我們對本題問題一所涉及的問題建立了模型，以求出滿足該醫院心腦血管科需求，最少需要安排多少名護士。因護士上班時間內工作量不同，為使工作時間安排更人性化，故建立模型。考慮到凌晨時段上下班，會對護士的生活、人身安全等造成不便，故對模型進行優化，得到模型。對問題二，建立模型，以求取在只有80名護士時，工作時間的安排方案，使得所需加

11、班的護士數目最少。之后，按照更人性化的要求，再次對模型進行優化。5.1 問題一的求解模型的建立： 已知在該醫院里，一個工作日內的12個兩小時長的時段的人員要求，選取一個小時為時間間隔，將每天劃分24個時段。為滿足每個時間段都有足夠的護士在工作，且每名護士每天工作8小時，且連續工作4小時后需休息一小時。由此可以列出約束條件，在滿足需求的前提下，以所需的最少護士人數為目標函數的整數規劃模型。 模型如下： 5.1.1.2模型I的求解利用LINGO軟件編程可對該模型求解，得到結果如下（代碼詳見附錄-代碼1）。圖1 . 代碼1運行結果結論：在將一天劃分24個時段的情況及護士每天工作8小時，且每連續工作4

12、小時需獲得1小時休息時間的條件下，醫院該科室為滿足每日每時段工作量的需求，至少需要91名護士。表1 . 模型的工作時間排班表時段號時間段開始工作的人數總工作人數 100-010 15201-02415302-03215403-04815504-05715605-06815706-07835807-08635908-094401009-101401110-115401211-120401312-136401413-144401514-157301615-162301716-178311817-182311918-198352019-201352120-210302221-220302322-23

13、0202423-240205.1.2.1模型II的建立針對醫院在白天和凌晨對護士需求、就診病人的人數不同，致使護士的工作量不同，為了護士能得到充分休息，故將護士的工作模式分為白班和夜班兩種。在白班工作的護士，將得到2小時休息時間而夜班仍為休息1小時。（注：白班是從時間段7至時間段15開始上班的班次，其他為夜班班次）根據上述條件，建立整數規劃模型以求解該條件下所需護士的最少人數。模型II如下： 5.1.2.2模型II的求解利用LINGO軟件編程可對該模型求解，得到結果如下（代碼詳見附錄-代碼2）。圖2 . 代碼2運行結果結論：將一天劃分24個時段，護士每天工作8小時，在工作時間分為白班和夜班的情

14、況下，醫院該科室為滿足每日每時段工作量的需求，至少需要90名護士。表2 . 模型的工作時間排班表時段號時間段開始工作的人數總工作人數 100-010 15201-02315302-03015403-04715504-05815605-06815706-07935807-08735908-096401009-100401110-115401211-127401312-133401413-142401514-150301615-166301716-177311817-180311918-197352019-205352120-210302221-220302322-230202423-24020.

15、1模型的建立在對模型的求解過程中發現，在凌晨12點至5點上下班的護士，人數過多。為最大限度方便護士上下夜班，現對模型進行優化。以滿足上述條件并需在凌晨時段開始上下班的總護士人數最少為目標函數，建立模型，得出更加合理，更為人性化的工作時間安排表。模型如下：5.1.3.2模型的求解利用LINGO軟件編程可對該模型求解，得到結果如下（代碼詳見附錄-代碼3）。圖3 . 代碼3運行結果結論：由表3可以看出，對模型進行改進后，護士在凌晨時段（時段1到時段5） 開始上下班的護士人數，從18人下降至14人，總人數減少了4人。比較改進后的模型，能在很大程度上降低護士對時間安排的不滿意度，使護士在生活上享受更大便

16、利，人身安全得到更大保障。表3 . 模型的工作時間排班表時段號時間段開始工作的人數總工作人數 100-010 15201-02115302-03015403-04615504-05715605-06815706-071335807-08635908-096401009-101401110-116401211-126401312-131401413-140401514-150301615-166301716-176311817-180311918-199352019-207352120-211302221-220302322-230202423-240205 . 2 問題二的求解5.2.1.1模

17、型的建立在該科室僅有80名護士的情況下，由于上述方案所需人數多于80人，故需在正常排班的基礎上，在連續工作4小時休息1小時再工作4小時之后，無休息地安排2小時的加班時間。在總人數80人的約束下，為求解滿足需求時需要加班的護士最少人數。最后，在此基礎上，設計更人性化的加班制度，以對該模型進行更深一步優化。模型詳見附錄-代碼4。5.2.1.2模型的求解利用LINGO軟件編程可對該模型求解，得到結果如下。（代碼詳見附錄-代碼4）。結論：在僅有80名護士，按照上述條件，對正常排班時間外所需加班的護士，最少需要30人。表4 . 模型的工作時間排班表時段號時間段需要加班的人數不加班的人數開始工作的人數總工

18、作人數 100-01000 15201-0290915302-0303315403-0406615504-0501115605-0601115706-070131335807-0803335908-09000401009-10000401110-11808401211-12202401312141784015141604430171618011311918-19000352019-20000352120-21000302221-22000302322-23000202423-24505205.2.2.1模型的建立 對

19、排班方案進行優化，上班時間分為白班和夜班。白班上4小時，休息2小時，再接著上班4小時，加班2小時；夜班上4小時，休息1小時，再接著上班4小時，加班2小時。模型詳見附錄-代碼5。5.2.2.2模型的求解利用LINGO軟件編程可對該模型求解，得到結果如下。（代碼詳見附錄-代碼4）。結論：在僅有80名護士，對正常排班時間外所需加班的護士，最少為27人。表5 . 模型的工作時間排班表時段號時間段需要加班的人數不加班的人數開始工作的人數總工作人數 100-01101 15201-0280815302-0300015403-0415615504-0501115605-0607715706-07012123

20、5807-0806635908-09000401009-10606401110-11505401211-12527401312140114015141601130171618000311918-19066352019-20000352120-21000302221-22000302322-23000202423-24000205.2.2.3對模型的優化在模型的基礎上，出于更人性化考慮，僅讓白天工作的護士加班，建立模型（代碼詳見附錄-代碼6）以進行求解。求解結果：表6 . 模型的優化工作時間排班表時段號時間段需要加班的

21、人數不加班的人數開始工作的人數總工作人數 100-01000 15201-0205515302-0300015403-0405515504-0505515605-060101015706-07191035807-0850535908-09505401009-10505401110-11505401211-12505401312145054015141600030171618000311918-19055352019-20000352120-21055302221-22000302322-23000202423-240

22、0020六、模型的評價與推廣6.1模型的優點文中將所需數據及最后結果均以表格的形式給出，使其更為清晰直觀；在各個問題下所建立的整數規劃模型通俗易懂，緊扣題目要求，結合實際情況進行分析求解，使模型具有較強的通用性和可執行性；在對模型進行優化時，我們最大程度上從護士方便工作角度考慮，建立了新的工作模式，并使工作時間安排更加人性化，具有較強的實用性；在求解模型時使用軟件，算法簡明易懂，易于推廣且有較高可信度。6.2模型的缺點在該問題中我們的各個模型，均是在假設一些理想情況的基礎上建立的，未全面考慮各種客觀因素的影響，難以避免地會存在一些不當之處。例如，在對模型進行優化時，我們為減輕白天護士工作負擔，

23、定義了新的工作模式，其中白班為護士連續工作4小時后休息2小時，然后繼續工作4小時，夜班為休息1小時，但在實際情況中，護士連續工作4小時后可休息不止1或2小時。因此我們的模型在此顯示了一定的局限性。6.3模型的改進與推廣模型的改進在該問題下，我們所建立的模型對于護士休息時間的考慮較為局限。在實際情況下，工作時間內護士會出現因特殊情況而請假；護士上班不連續工作4小時；醫院發生突發狀況護士需求量增加；法定假期換休對工作時間安排的影響等。綜合以上不確定因素，可建立工作時間不連續的整數規劃模型，并利用枚舉法求得工作時間安排的最優解。模型的推廣在該問題下建立的整數規劃模型不僅可解決護士的工作時間安排，在改

24、變限定條件后，也可在其他領域有所應用，例如解決公司保安執勤問題、酒店服務人員的值班問題等等。附錄附錄-代碼1：model:MIN=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24;X1+X24+X23+X22+X20+X19+X18+X17>=15;X2+X1+X24+X23+X21+X20+X19+X18>=15;X3+X2+X1+X24+X22+X21+X20+X19>=15;X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20>=15;X5

25、+X4+X3+X2+X24+X23+X22+X21>=15;X6+X5+X4+X3+X1+X24+X23+X22>=15;X7+X6+X5+X4+X2+X1+X24+X23>=35;X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X24>=35;X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1>=40;X10+X9+X8+X7+X5+X4+X3+X2>=40;X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3>=40;X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4>=40;X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5>=40;X14

26、+X13+X12+X11+X9+X8+X7+X6>=40;X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7>=30;X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8>=30;X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9>=31;X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10>=31;X19+X18+X17+X16+X14+X13+X12+X11>=35;X20+X19+X18+X17+X15+X14+X13+x12>=35;X21+X20+X19+X18+X16+X15+X14+X13>=30;X

27、22+X21+X20+X19+X17+X16+X15+X14>=30;X23+X22+X21+X20+X18+X17+X16+X15>=20;X24+X23+X22+X21+X19+X18+X17+X16>=20;gin(X1);gin(X2);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);gin(X9);gin(X10);gin(X11);gin(X12);gin(X13);gin(X14);gin(15);gin(16);gin(X17);gin(X18);gin(X19);gin(X20);gin(X21);gin(X22);gin(X

28、23);gin(X24);End運行結果如下： 附錄-代碼2：MIN=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24;X17+X18+X19+X20+X22+X23+X24+X1>=15;X18+X19+X20+X21+X23+X24+X1+X2>=15;X19+X20+X21+X22+X24+X1+X2+X3>=15;X20+X21+X22+X23+X1+X2+X3+X4>=15;X21+X22+X23+X24+X2+X3+X4+X5>=

29、15;X22+X23+X24+X1+X3+X4+X5+X6>=15;X23+X24+X1+X2+X4+X5+X6+X7>=35;X24+X1+X2+X3+X5+X6+X7+X8>=35;X1+X2+X3+X4+X6+X7+X8+X9>=40;X2+X3+X4+X5+X7+X8+X9+X10>=40;X3+X4+X5+X6+X8+X9+X10+X11>=40;X4+X5+X6+ X9+X10+X11+X12>=40;X5+X6+X7+X10+X11+X12+X13>=40;X6+X7+X8+X11+X12+X13+X14>=40;X7+X8+

30、X9+X12+X13+X14+X15>=30;X7+X8+X9+X10+X13+X14+X15+X16>=30;X8+X9+X10+X11+X14+X15+X16+X17>=31;X9+X10+X11+X12+X15+X16+X17+X18>=31;X10+X11+X12+X13+X16+X17+X18+X19>=35;X11+X12+X13+X14+X17+X18+X19+X20>=35;X12+X13+X14+X15+X16+X18+X19+X20+X21>=30;X13+X14+X15+X16+X17+X19+X20+X21+X22>=30

31、;X14+X15+X16+X17+X18+X20+X21+X22+X23>=20;X15+X16+X17+X18+X19+X21+X22+X23+X24>=20;gin(X1);gin(X2);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);gin(X9);gin(X10);gin(X11);gin(X12);gin(X13);gin(X14);gin(15);gin(16);gin(X17);gin(X18);gin(X19);gin(X20);gin(X21);gin(X22);gin(X23);gin(X24);End附錄-代碼3：MIN=X1

32、+X2+X3+X4+X5;X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24=90;X17+X18+X19+X20+X22+X23+X24+X1>=15;X18+X19+X20+X21+X23+X24+X1+X2>=15;X19+X20+X21+X22+X24+X1+X2X+X3>=15;X20+X21+X22+X23+X1+X2+X3+X4>=15;X21+X22+X23+X24+X2+X3+X4+X5>=15;X22+X23+X24+X1+

33、X3+X4+X5+X6>=15;X23+X24+X1+X2+X4+X5+X6+X7>=35;X24+X1+X2+X3+X5+X6+X7+X8>=35;X1+X2+X3+X4+X6+X7+X8+X9>=40;X2+X3+X4+X5+X7+X8+X9+X10>=40;X3+X4+X5+X6+X8+X9+X10+X11>=40;X4+X5+X6+ X9+X10+X11+X12>=40;X5+X6+X7+X10+X11+X12+X13>=40;X6+X7+X8+X11+X12+X13+X14>=40;X7+X8+X9+X12+X13+X14+X15

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