1、排隊(duì)論在超市收銀臺管理與優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用摘要：排隊(duì)論又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，本文介紹了排隊(duì)論中處理超市收銀服務(wù)的基本理論，并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用M/M/c/排隊(duì)模型對宣威的某一便民超市排隊(duì)現(xiàn)象進(jìn)行研究。通過收集、整理超市收銀系統(tǒng)工作日和周末的接受收銀服務(wù)的數(shù)據(jù)，根據(jù)排隊(duì)論的相關(guān)理論建立模型，研究了該超市收銀臺的最優(yōu)收費(fèi)柜臺數(shù)目。關(guān)鍵詞：排隊(duì)論；M/M/c/模型；超市；收銀臺；優(yōu)化1 引言1.1問題研究的意義隨著市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，超市在中國城鄉(xiāng)各地大量涌現(xiàn)，超市這一零售業(yè)已越來越受人們的歡迎。在激烈的市場競爭中，如何提高經(jīng)濟(jì)效益，吸收更多的顧客是超市經(jīng)營商最關(guān)心的問題。而收銀臺的排隊(duì)系統(tǒng)是超市和顧客接觸的平臺

2、，排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)質(zhì)量將影響到超市整個運(yùn)營的水平和績效，利用排隊(duì)論優(yōu)化超市收銀臺，為顧客提供最佳服務(wù)將是超市競爭的必然選擇。收銀員的形象、服務(wù)態(tài)度、職業(yè)技能固然重要，而超市收銀臺的管理與優(yōu)化也不容忽視。收銀臺前排隊(duì)成龍的超市顯然不是人們希望購物的環(huán)境，多數(shù)人寧愿放棄或稍遠(yuǎn)一點(diǎn)去購物，也不愿在擁擠中排隊(duì)等待。特別是一些成功人士，寧愿多花一點(diǎn)錢也不愿排隊(duì)，對他們來說時間就是金錢。由于顧客的到達(dá)是隨機(jī)的，若開放的服務(wù)窗口過少，排隊(duì)現(xiàn)象就會嚴(yán)重，影響服務(wù)質(zhì)量造成顧客流失；但如果超市開放的收銀臺過多，雖然可以減少顧客等待時間，卻意味著超市增加投資，有時還可能發(fā)生資源空閑浪費(fèi)的現(xiàn)象。因此，如何根據(jù)客流量動態(tài)

3、的、合理的開放收銀臺數(shù)目，縮短顧客等待時間，同時降低超市經(jīng)營成本，提高效益，顯得尤為重要。1.2家樂福超市現(xiàn)狀超市最初于20世紀(jì)30年代以不提供服務(wù)的廉價零售店在美國建立，之后成為美國主要食品市場通道，50年代傳播到歐洲，超市的發(fā)展是發(fā)達(dá)國家降低成本，簡化銷售方式趨勢的一部分。20世紀(jì)60年代超市在歐洲和拉丁美洲的發(fā)展中國家出現(xiàn)，主要受中、上層階級歡迎，顧客以自助式的購買方式挑選商品。隨著超市行業(yè)的迅速發(fā)展，對超市收銀服務(wù)系統(tǒng)的研究已經(jīng)受到人們的關(guān)注。因?yàn)榫统薪?jīng)營者而言，增加收銀臺就意味著增加投資，而收銀臺太少，排隊(duì)現(xiàn)象就會嚴(yán)重影響服務(wù)質(zhì)量，造成客源流失。那么到底設(shè)置多少收銀臺較為合適呢？現(xiàn)

4、階段解決這一問題的方法是將系統(tǒng)中的由于等待所產(chǎn)生的損失費(fèi)用加上超市開放收費(fèi)窗口的費(fèi)用作為總費(fèi)用，使得這個總費(fèi)用最小的收費(fèi)窗口數(shù)即為所。2、排隊(duì)論介紹 排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用到實(shí)際生活中，尤其在通信系統(tǒng)、交通與運(yùn)輸系統(tǒng)、生產(chǎn)與服務(wù)系統(tǒng)、存貯與裝卸系統(tǒng)、管理運(yùn)籌系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)存儲等領(lǐng)域都可用排隊(duì)模型進(jìn)行描述。把相應(yīng)排隊(duì)理論的研究成果應(yīng)用到生產(chǎn)生活中，可以指導(dǎo)各種策略設(shè)計(jì)，給經(jīng)濟(jì)的發(fā)展帶來巨大貢獻(xiàn)，見文獻(xiàn)5,6。而排隊(duì)論理論也廣泛地應(yīng)用于超市收銀系統(tǒng)見文獻(xiàn)79，超市收銀服務(wù)系統(tǒng)是一個動態(tài)的多服務(wù)臺等待制隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，對服務(wù)系統(tǒng)的隊(duì)長、等待時間等指標(biāo)

5、進(jìn)行分析研究，合理利用排隊(duì)論來分析超市最佳的收銀臺數(shù)將具有重要的經(jīng)濟(jì)價值和實(shí)際意義。2，1等待制M/M/c/ 模型在M/M/c/ 模型中假設(shè)顧客到達(dá)的時間間隔服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，顧客的服務(wù)時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，到達(dá)時間與服務(wù)時間是相互獨(dú)立的，有c個服務(wù)臺。若顧客到達(dá)時服務(wù)窗全部處于忙的狀態(tài)，則進(jìn)行排隊(duì)等待。等到服務(wù)完畢后才離開，另外規(guī)定各收銀臺工作是相互獨(dú)立且平均服務(wù)率相同，于是整個服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為（當(dāng)）;為（當(dāng)）。令，只有當(dāng)<1時才不會排成無限的隊(duì)列，稱它為這個系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度或稱服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均利用率。其中>0是常數(shù)，為顧客到達(dá)強(qiáng)度，即單位時間內(nèi)的顧客平均到達(dá)量。若

6、表示時刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，設(shè)表示時間內(nèi)有個顧客到達(dá)的概率。當(dāng)<1時，系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且有平穩(wěn)分布其中 ，;3超市收銀臺服務(wù)系統(tǒng)模型假設(shè)及建立3.1分析超市收銀臺系統(tǒng)特征超市顧客交費(fèi)排隊(duì)系統(tǒng)是一個動態(tài)的多服務(wù)臺等待制排隊(duì)系統(tǒng)，它有如下特征：（1）顧客到達(dá)交費(fèi)服務(wù)系統(tǒng)是相互獨(dú)立的，顧客到達(dá)的時間間隔是隨機(jī)的。（2）服務(wù)規(guī)則遵從先到先服務(wù)原則，且為等待制，即當(dāng)所有服務(wù)臺均有人時，則需排隊(duì)等待。（3）收銀員看作系統(tǒng)的服務(wù)員系統(tǒng)由多服務(wù)員組成，且對每個顧客的服務(wù)時間是相互獨(dú)立的。3.2超市收銀臺服務(wù)系統(tǒng)模型的假設(shè)由于可假設(shè)超市收銀臺服務(wù)系統(tǒng)中有c個服務(wù)臺或服務(wù)員，顧客源是無限的，顧客按泊松流來到服

7、務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為，服務(wù)員的服務(wù)能力為，各個服務(wù)臺的服務(wù)時間都是具有相同服務(wù)率的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時，如果每個收銀臺都有人則參加排隊(duì)等待服務(wù)，直到服務(wù)完成為止。所以假設(shè)超市收銀臺服務(wù)系統(tǒng)是一個多服務(wù)臺等待制M/M/c/ 排隊(duì)模型。（1）顧客流量假設(shè)假設(shè)顧客到達(dá)的規(guī)律可用概率來描述，即顧客到達(dá)的時間間隔符合泊松分布。泊松分布的函數(shù)為（為常數(shù)，k=0,1,2,）即在時間T內(nèi)有k位顧客到達(dá)的概率為：，其中是時間T內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)，為平均到達(dá)率。（2）服務(wù)時間收銀臺對顧客是一個一個進(jìn)行服務(wù)的，而且每一位顧客服務(wù)時間長短不一，將服務(wù)時間看做相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布。其

8、分布函數(shù)為：，。其中為常數(shù)，代表單位時間內(nèi)的平均服務(wù)率。則平均服務(wù)時間可表示為：。（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)設(shè)超市有c個相互獨(dú)立的服務(wù)臺，且假定每個服務(wù)臺的服務(wù)能力相同，每個服務(wù)臺每次只能服務(wù)一個顧客。服務(wù)時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。（4）排隊(duì)規(guī)則按先到先服務(wù)排隊(duì)，當(dāng)各服務(wù)臺都有人時則需要排隊(duì)，通常顧客到達(dá)后總是排在最短的隊(duì)列后面，所以我們可以認(rèn)為每個服務(wù)臺的隊(duì)列是一樣長的。3.3模型變量及參數(shù)的含義在超市購物中，顧客與超市為了照顧自己的利益，從而對排隊(duì)中的幾個指標(biāo)：隊(duì)長、等待時間、服務(wù)臺的忙期都是很關(guān)心的。因此，這幾個指標(biāo)就成了排隊(duì)論的主要研究內(nèi)容。（1）為顧客到達(dá)強(qiáng)度，即單位時間內(nèi)的顧客平均到達(dá)量。（

9、2）為各個服務(wù)臺的平均服務(wù)速率（設(shè)每個服務(wù)臺速率都為），即服務(wù)員的服務(wù)能力。（3）為服務(wù)強(qiáng)度，即平均每單位時間中系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時間比例，。（4）為排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中沒有顧客的概率。（5）表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包括排隊(duì)等候的和正在接受服務(wù)的所有顧客）稱平均隊(duì)長。（6）表示系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)，稱為平均隊(duì)列長。（7）表示顧客在系統(tǒng)中平均逗留時間（包括等待時間和服務(wù)時間）。（8）表示顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間，稱平均排隊(duì)等待時間。如果設(shè)顧客接受服務(wù)的時間均值為，則有：=+說明：后四項(xiàng)指標(biāo)的值越小，說明系統(tǒng)中排隊(duì)的越少，等待時間越少，因而系統(tǒng)的性能就越好。3.4模型中系統(tǒng)的相應(yīng)運(yùn)行指標(biāo)（1）平均排隊(duì)

10、等待隊(duì)長（2）系統(tǒng)隊(duì)長（系統(tǒng)中平均顧客數(shù)）（3）平均等待時間（4）平均逗留時間其中： ， ， ;4 模型應(yīng)用實(shí)例及結(jié)果分析4.1超市實(shí)際數(shù)據(jù)的收集我所選定的便民超市有500多平方米，工作日有2個收銀臺對顧客進(jìn)行服務(wù)，周末有3個收銀臺對顧客進(jìn)行服務(wù)。有時在收銀臺付款時需要等待幾分鐘才能得到服務(wù)，據(jù)了解在中午和周末排隊(duì)現(xiàn)象相對更嚴(yán)重。所以決定選此建模分析得出最優(yōu)收銀臺數(shù)。因此我對該超市進(jìn)行了為期一周（7月20日7月26日）的數(shù)據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)。對工作日和周末分別分十三個時段進(jìn)行調(diào)查研究。采用人工統(tǒng)計(jì)的方法，每1個小時記錄一次通過所有收銀臺接受收銀服務(wù)的客流量，對顧客的到達(dá)情況統(tǒng)計(jì)整理如下：表4.1工作日

11、等待接受收銀服務(wù)的顧客數(shù)人數(shù) 時間 星期一二三四五各時間段總?cè)藬?shù)9:0010:00_694832598229010:0011:008899814211242211:0012:007765941036140112:0013:0014712816214419978013:0014:00817459913033514:0015:00623119484120115:0016:00487156832828616:0017:00706179516432517:0018:0016818220114621290918:0019:001511381596018217080019:0020:00142128108

12、1026154120:0021:0012914115318820081121:0022:003752916297339表4.2周末等待接受收銀服務(wù)的顧客數(shù)人數(shù)時間 星期星期六星期日各時間段總?cè)藬?shù)9:0010:001127819010:0011:0017322840111:0012:0018420538912:0013:009711321013:0014:0010811822614:0015:0014716230915:0016:0022324246516:0017:0020619640217:0018:0017114731818:0019:0013213827019:0020:00144154

13、30820:0021:0011810422221:0022:002733604.2超市實(shí)際數(shù)據(jù)的整理下面分別用表示工作日顧客的到達(dá)均值，表示周末顧客的到達(dá)均值。其中，通過對上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，我們得到顧客的平均到達(dá)率如表4.3所示。 表4.3工作日與周末顧客平均到達(dá)率時間段（人/小時）(人/小時)9:0010:00589510:0011:0084200.511:0012:0080194.512:0013:0015610513:0014:006711314:0015:0040154.515:0016:0057232.516:0017:006520117:0018:0018215918:0019:

14、0016013519:0020:0010815420:0021:0016211121:0022:006830合計(jì)12871885由表4.3的數(shù)據(jù)可以作出該超市工作日和周末顧客平均到達(dá)率的變化趨勢圖4.1，其中，工作日顧客到達(dá)均值用實(shí)線表示，周末顧客到達(dá)均值用虛線表示。并且從下面的圖4.1中看出，在周末時，顧客到達(dá)情況在10：0011：00到達(dá)第一個高峰期，在15：0016：00到達(dá)一天的最高峰。而工作日，在17：0018：00到達(dá)一天的最高峰。這是由于在工作日顧客購物都比較集中在下班之后。由上面的統(tǒng)計(jì)圖超市的決策者可以根據(jù)不同時段顧客的到達(dá)情況來大概決定開放的收銀臺數(shù)。204060801001

15、20140160180200220240 9-10 10-11 11-12 12-13 13-14 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 時間 工作日顧客到達(dá)均值人數(shù)周末顧客到達(dá)均值圖4.1工作日和周末顧客平均到達(dá)率的變化趨勢圖4.3超市收銀臺各服務(wù)指標(biāo)的比較計(jì)算根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，工作日和周末到服務(wù)臺接受收銀服務(wù)的顧客的平均到達(dá)率分別是：一般情況下，該超市在工作日會開2個收銀臺，在周末會開3個收銀臺，對每一個收銀臺而言，則通過對超市收銀臺的實(shí)際觀察和了解，得知該超市的每個收銀臺的收銀員的平均服務(wù)率為：60人/小時。根據(jù)3.2等待制M/

16、M/c/ 模型中介紹的計(jì)算公式，計(jì)算出相關(guān)的服務(wù)指標(biāo)如表4.4所示。其中服務(wù)強(qiáng)度，c為收銀臺數(shù)目。系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)：，且。系統(tǒng)中排隊(duì)等候的平均顧客數(shù)：，且 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間：顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間：表4.4相關(guān)服務(wù)指標(biāo)服務(wù)指標(biāo)工作日周末服務(wù)強(qiáng)度0.830.80系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（人）5.303.98系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)（人）4.473.18顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間（分鐘）6.304.98顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間（分鐘）5.303.98如：在工作日 從上面的數(shù)據(jù)可以看出，在工作日時系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)每分鐘超過了5人，而周末時系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)每分鐘超過了3人，從而有的顧客可

17、能在工作日購物時，排隊(duì)長度超過了容忍度，以后可能會放棄在該超市購物，所以超市應(yīng)該加以改進(jìn)，以避免引起顧客的不滿，甚至是放棄購買，影響到超市的效益。4.4超市收銀臺數(shù)目優(yōu)化方案為了既排除當(dāng)排隊(duì)過長時，引起顧客的不滿，甚至放棄購買，而且又可以使超市開放收銀臺的費(fèi)用最省。用3.4模型中系統(tǒng)的相應(yīng)運(yùn)行指標(biāo)分別計(jì)算出在收銀臺數(shù)不同下的各指標(biāo)，進(jìn)而通過比較得出工作日與周末，開放收銀臺的最優(yōu)數(shù)目。工作日和周末在不同的收銀臺數(shù)目下的各服務(wù)指標(biāo)分別如表4.5與表4.6所示。(只研究的情形，因?yàn)楫?dāng)是，系統(tǒng)不穩(wěn)定，會使越來越多的人排隊(duì)等候)表4.5不同收銀臺數(shù)目下的各服務(wù)指標(biāo)（工作日）收銀臺數(shù)服務(wù)指標(biāo)c=1c=2c

18、=3c=4c=5服務(wù)強(qiáng)度1.650.830.550.41250.33（人）5.301.200.5820.37348（人）4.470.650.1690.043486（分鐘）6.302.201.5821.37348（分鐘）5.301.200.5820.37348表4.6不同收銀臺數(shù)目下的各服務(wù)指標(biāo)（周末） 收銀臺數(shù)服務(wù)指標(biāo)c=1c=2c=3c=4c=5服務(wù)強(qiáng)度2.4171.2080.800.604250.4834（人）3.981.34330.708（人）3.180.7390560.225（分鐘）4.982.34331.708（分鐘）3.981.34330.708由上面表4.5可以看出，在工作日時當(dāng)

19、收銀臺數(shù)增加到3個時，顧客幾乎不用排隊(duì)即可享受服務(wù)，但是超市的成本將會增加。如果只開2個收銀臺，超市固然可以減少成本，而有些顧客由于在工作日的時間比較急，可能下次會放棄在該超市購物，為了既排除當(dāng)排隊(duì)過長時，引起顧客的不滿，甚至放棄購買，影響到超市的收益。結(jié)合圖4.1，可得在工作日的12：0013：00、17：0019：00、20：0021：00安排3個收銀臺，其他時段安排2個收銀臺是比較合理的。同樣，由表4.6可得，在周末時當(dāng)收銀臺數(shù)增加到4個時，顧客幾乎不用排隊(duì)即可享受服務(wù)，但是超市的成本將會增加。如果只開3個收銀臺，在購物高峰時段可能引起顧客的不滿，影響到超市的收益。結(jié)合圖4.1，所以在周

20、末的10：0012：00、15：0017：00、19：0020：00安排4個收銀臺，其他時段安排3個收銀臺是比較合理的。這樣就避免了超市收銀臺太少，會出現(xiàn)嚴(yán)重的排隊(duì)現(xiàn)象，造成顧客流失；收銀臺太多還有可能發(fā)生空閑浪費(fèi)，造成超市成本的增加。5 結(jié)論及展望本文用排隊(duì)論中的M/M/c/ 模型的知識來研究超市收銀臺的優(yōu)化問題。通過利用排隊(duì)論的知識建立數(shù)學(xué)模型，收集一個超市的實(shí)際數(shù)據(jù)，用該模型對此進(jìn)行研究，得出在滿足顧客需求的情況下，對其開放的收銀臺數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化，在該論文中把表4.5與圖4.1、表4.6與圖4.1結(jié)合起來進(jìn)行分析，就可以對超市收銀臺的數(shù)目實(shí)施動態(tài)管理，將有效提高工作效率，為超市節(jié)約成本。本

21、論文研究可以為超市、醫(yī)院、學(xué)校食堂等類似的排隊(duì)模型提供一定的理論依據(jù)。該模型在解決超市接受收銀服務(wù)的排隊(duì)問題是有效的，它可以為服務(wù)窗口的設(shè)置提供一定的理論依據(jù)。但在實(shí)際的運(yùn)營中由于工作日、雙休日及節(jié)假日客流量會有很大差異，各超市可以實(shí)際情況進(jìn)行個別分析，使之更具針對性，為實(shí)際決策提供更合理的有效的依據(jù)。參考文獻(xiàn)：1宋衛(wèi)斌. 虛擬顧客服務(wù)系統(tǒng)排隊(duì)模型J. 管理科學(xué)學(xué)報，2001，4（3）：5257.2王興貴，焦?fàn)幉? 基于排隊(duì)論的銀行排隊(duì)問題研究J. 湘潭師范學(xué)院學(xué)報，2008，30（1）：5860.3彭緒亞，劉長瑋等. 排隊(duì)論在垃圾轉(zhuǎn)運(yùn)站設(shè)備優(yōu)化配置中的應(yīng)用J. 重慶大學(xué)學(xué)報，2008，31（

22、3）.4Suresh Rzdhakrishana, Kashi R. Balachandran. Service Capacity Decision and Incentive Compatible Cost Allocation for Reporting Usage Forecasts J . European Journal of Operational Research, 2004, 157: 180195.5麥宇雄，盧永昌，覃杰. 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)（排隊(duì)論）在集裝箱碼頭大門設(shè)計(jì)中的應(yīng)用J. 水運(yùn)工程，2007，5（402）.6曹偉，郭秀英. 基于排隊(duì)論的火車站客運(yùn)售票系統(tǒng)問題研究J. 遼東學(xué)院學(xué)報，2007，14（4）.7鄭歡，古福文. 大型超市顧客交費(fèi)排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化分析J. 管理學(xué)報，2005，2（2）：171173.8蔣淑華，伏小良. 基于排隊(duì)論的超市收費(fèi)服務(wù)模型的探討J. 物流科技，2008（10）.9彭志捌，張鳳. 超市服務(wù)臺與人員配備模型設(shè)計(jì)J. 長沙大學(xué)學(xué)報，2004，18（4）.10陸鳳山. 排隊(duì)論及其應(yīng)用M. 湖南：湖南科學(xué)技術(shù)出版社