1、56平面向量的數量積及運算律一、內容及其解析1、內容：平面向量數量積的坐標表示、平面內兩點間的距離公式、兩個平面向量的夾角的坐標公式及用平面向量數量積的坐標公式判斷兩個平面向量的垂直關系。2、解析：平面向量的數量積是兩向量之間的一種運算，前面我們已經做了充分研究，這次課通過建立直角坐標系，給出了向量的另一種表示式-坐標表示式后，這樣就使得向量與它的坐標建立起了一一對應的關系，而平面向量的坐標表示把向量之間的運算轉化為數之間的運算, 這就為用“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。本節內容是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數量積及其運算律的基礎上，介紹了平面向量數量積的坐標表示，平面兩點間的距

2、離公式，和向量垂直的坐標表示的充要條件。由于向量的數量積體現了向量的長度和三角函數之間的一種關系，特別用向量的數量積能有效地解決線段垂直的問題。把向量的數量積應用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關問題。所以向量的數量積的坐標表示為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關問題提供了很好的辦法，本節內容也是全章重要內容之一。二、目標及解析1、目標1）、掌握平面向量數量積的坐標表示2）、了解用平面向量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題3）、掌握向量垂直的條件2、解析：1）、通過建立直角坐標系，用坐標表示出平面向量的數量積；2）、引入數量積的坐標表示后,可以用坐標將距離、角度及垂直關系用坐標表示出來

3、,從而解決有關這些方面的幾何問題.3）、兩個向量的數量積是否為零，是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐標表示x1x2+ y1y2 =0 , 共線的坐標表示x1y2x2y1=0)三、教學問題診斷 本節課是在學生充分理解向量的概念，掌握向量的坐標表示，并已經掌握了向量的數量積的概念和運算律的基礎上進行學習的，應該說，從知識的接受上學生并不困難，也能理解各個公式的坐標表示。本節課的重點是掌握平面向量數量積的坐標表示，并能用坐標形式處理有關長度、角度和垂直的問題，難點是向量垂直的條件的理解與掌握，解決問題的關鍵是在掌握向量數量積概念的基礎上，通過建立直角坐標系，將向量的數量積

4、運算轉化為坐標的運算，即數之間的運算。四、教學支持條件分析 本節內容是全章重點內容之一，學生學習時容易混淆，在指導學生認真預習的前提下，教學中從向量的幾何意義上突破難點，在通過適當的練習加以鞏固。可把重要性質、運算律、例題做成幻燈片，提高課堂效率。五、教學設計過程（一）、教學基本流程情景創設新課講授例題解析目標檢測小結與作業 （二）情景創設平面向量的表示方法有幾何法和坐標法，向量的表示形式不同，對其運算的表示方式也會改變. 向量的坐標表示，為我們解決有關向量的加、減、數乘向量帶來了極大的方便.上一節，我們學習了平面向量的數量積，那么向量的坐標表示，對平面向量的數量積的表示方式又會帶來哪些變化呢

5、？設計意圖：設置情境，引出課題，設下問題懸念，引發學生認知沖突，引起注意，喚起學生追求探索新知識的欲望.問題1：設單位向量分別與平面直角坐標系中的軸、軸方向相同，O為坐標原點，若向量，則向量的坐標是 ，若向量，則向量可用表示為 ；已知，且，則 ；設計意圖：由舊知識入手，引導學生復習已學過的知識，以便向新知識進行探索。（三）新課講授1、平面向量數量積的坐標表示問題2：已知兩個非零向量，怎樣用與的坐標來表示呢？（讓學生自主推導）設計意圖：先讓學生自主推導平面向量數量積的坐標表示形式，讓學生能快速將所學的向量的坐標表示知識用到剛學的向量的數量積的問題上，體會知識的形成過程。設向量分別為平面直角坐標系

6、的軸、軸上的單位向量，則有， x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y1j2 兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。練習：若，則 ，；若表示向量的起點和終點的坐標分別為和，則 ；若，則，與的夾角是；設計意圖：學生通過做練習，及時鞏固所學新知識，加深理解2、學生活動問題3：設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，則 設計意圖：鞏固向量數量積的概念，并為下面的問題做鋪墊3、建構數學，則，讓學生用自己的語言表達，教師歸納得：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。問題4：向量的數量積的性質如何用坐標表示？（1），則怎么表示？（2）若則又如何表示？（1） （2）問題5：你能寫出向量夾角公式的

7、坐標表示式以及向量平行和垂直的坐標表示式嗎？設計意圖：仍然在幫助學生回憶有關知識點的過程中，引導他們用坐標的形式表示，通過兩向量的兩種特殊位置關系，體會向量的坐標表示，感受向量的數量積的作用。并幫助學生記住這些結論（1） （2）（3）4、例題解析例1已知，求，與的夾角。可以接著問：的夾角怎么求？ 解： 先讓學生嘗試解答，體會自主應用新知識解決問題的過程，然后給出詳細解答.例2已知，試判斷的形狀，并給出證明.解：是直角三角形. 證明如下： ， 是直角三角形先讓學生畫出簡圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導學生分析解答.注重培養學生由觀察猜測證明的思維方法.例題引伸：在直角中，求實數的值；解：若，則

8、 若，則而 若，則而 5、課堂小結掌握平面向量數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算；掌握平面向量的模的坐標公式以及平面內兩點間的距離公式；掌握兩個平面向量的夾角的坐標公式；能用平面向量數量積的坐標公式判斷兩個平面向量的垂直關系；目標檢測1.若，則 ；2.若，且，則實數 ；3.若，則的形狀是 ；4.若，則在方向上的投影是 ；5.若，則與垂直的單位向量的坐標是 ；設計意圖：充分做到以本為本，根據學情，能讓學生把握公式特點，能利用公式進行計算。配餐作業一基礎題（A組題）1.在已知a=(x，y），b=(y，x)，則a，b之間的關系為 （ ）CA.平行B.不平行不垂直 C.abD.以上均不對2

9、.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且ab,坐標滿足條件（ ） C A.x1x2-y1y2=0 B.x1y1-x2y2=0 C.x1x2+y1y2=0 D.x1y2+x2y1=03.a=(2,3),b=(-2,4),則(a+b)(a-b)= . -7 4.已知a=(2,3),b=(3,2)，求：ab、（a+b）（ab）、（a+b）2、a(a+b)、b(a+b)設計意圖：在目標檢測的基礎上進一步鞏固所學公式，達到夯實基礎的目的。二鞏固題（B組題）5.給定兩個向量a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)(a-b),則x等于（ ）CA.23 B. C. D.6.若a=(-4,3),b=

10、(5,6),則3|a|ab等于（ ）D.A.23 B.57 C.63 D.837.已知a=(，)，b=(-3,5)且a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）AA. B. C. D.8.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=,b=,則a與b的夾角為 。459.證明：以A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6)為頂點的三角形是直角三角形。10. 在ABC中，(1，1)，(2，k)，若ABC中有一個角為直角，求實數k的值。設計意圖：使學生熟悉公式的變形，對所學知識有一個完整的印象，使知識系統化、條理化。三提高題（C組題）11.已知a=(4,3),向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ）DA.或 B.或 C.或 D.或12.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為（ ） C B. C. D.13.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，則ABC為（ ）AA.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.不等邊三角形14.已知A(