1、2.5 拉氏變換與反變換 機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數(shù)學(xué)方法。 拉普拉斯變換的定義如果有一個以時間t為自變量的實(shí)變函數(shù) ，它的定義域是 ，那么的的拉普拉斯變換定義為 (2.10) 是復(fù)變數(shù)， （、均為實(shí)數(shù)）， 稱為拉普拉斯積分； 是函數(shù) 的拉普拉斯變換，它是一個復(fù)變函數(shù)，通常也稱 為 的象函數(shù)，而稱 為 的原函數(shù)；L是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號。 式（2.10）表明：拉氏變換是這樣一

2、種變換，即在一定條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價的復(fù)變函數(shù) 。1.單位階躍函數(shù) 的拉氏變換單位階躍函數(shù)是機(jī)電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為單位階躍函數(shù)如圖2.7所示，它表示在 時刻突然作用于系統(tǒng)一個幅值為1的不變量。單位階躍函數(shù)的拉氏變換式為當(dāng) ，則 。所以： （2.11）2.指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中 是常數(shù)。令 則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得 （2.12）3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換 設(shè)，則由歐拉公式，有所以 (2.13）同理 (2.14）4.單位脈沖函數(shù) (t) 的拉氏

3、變換單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時間期間幅值為的矩形波。其幅值和作用時間的乘積等于1，即。如圖2.8所示。單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換式為 此處因?yàn)闀r，故積分限變?yōu)椤?(2.15) 拉氏變換的主要定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數(shù)可以使運(yùn)算簡化。1.疊加定理拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。（1）齊次性 設(shè)，則 （2.18）式中常數(shù)。（2）疊加性 設(shè),，則 （2.19）兩者結(jié)合起來，就有 這說明拉氏變換是線性變換。2.微分定理 設(shè)則式中函數(shù)在 時刻的值，即初始值。 同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是 （2.20）式中,，原函數(shù)

4、各階導(dǎo)數(shù)在時刻的值。 如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為零初始條件），則各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為 （2.21）3.復(fù)微分定理若可以進(jìn)行拉氏變換，則除了在 的極點(diǎn)以外， （2.22）式中， 。同樣有一般地，有 （2.23）4.積分定理設(shè) ，則 （2.24）式中積分 在 時刻的值。 當(dāng)初始條件為零時， （2.25） 對多重積分是（2.26） 當(dāng)初始條件為零時，則 （2.27）5.延遲定理設(shè) ，且 時， ，則 （2.28）函數(shù)為原函數(shù)沿時間軸延遲了，如圖2.11所示。6.位移定理在控制理論中，經(jīng)常遇到 一類的函數(shù)，它的象函數(shù)只需把 用代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)坐標(biāo)中，有一位移。 設(shè)，則 （2.29）

5、 例如 的象函數(shù)，則的象函數(shù)為7.初值定理它表明原函數(shù)在 時的數(shù)值。 （2.30）即原函數(shù)的初值等于 乘以象函數(shù)的終值。8.終值定理設(shè)，并且 存在，則 （2.31）即原函數(shù)的終值等于乘以象函數(shù)的初值。 這一定理對于求瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。 9.卷積定理設(shè)，則有 （2.32）即兩個原函數(shù)的卷積分的拉氏變換等于它們象函數(shù)的乘積。 式（2.32）中， 為卷積分的數(shù)學(xué)表示，定義為10.時間比例尺的改變 （2.33）式中 比例系數(shù)例如,的象函數(shù) ,則 的象函數(shù)為11.拉氏變換的積分下限在某些情況下,在 處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確拉普拉斯積分的下限是 還是 ，因?yàn)閷τ谶@兩種下限， 的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號予以區(qū)分：若在 處 包含一個脈沖函數(shù)，則因?yàn)樵谶@種情況下顯然，如果 在處沒有脈沖函數(shù)，則有 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的公式為 （2.36）式中 表示拉普拉斯反變換的符號通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù) 。1. 部分分式展開法在控制