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文檔簡介
1、第二章 極限與連續§數列的極限與無窮大量一 數列極限的定義 寫出數列的定義 舉幾個數列的例子(1) (2) (3)2、什么是數列極限簡述為什么學習數列的極限 2.數列極限的定義寫出數列極限定義 表述沒有極限 。用定義來驗證數列極限(1) 證明. (2) 證明.(3) 證明.(4) 證明.(5) 證明,其中. 敘述關于數列的極限的定義的幾點注意事項(1) 關于: (2) 關于: (3) 數列極限的幾何理解: (4) 給出數列極限的等價定義(鄰域定義): (5) 證明都是發散數列.二 無窮小數列給出無窮小數列的定義 證明數列收斂于的充要條件是為無窮小數列。三 證明收斂數列的性質性質1(保
2、不等式性)設數列與均收斂,若存在正數,使得當時有,則。性質2(保號性)若(或),則對任何(或),存在正數,使得當時有(或)。性質3(極限唯一性)若數列收斂,則它只有一個極限。性質4(迫斂性)設收斂數列、都以a為極限,數列滿足:存在正數,當時有,則數列收斂,且.求:求數列的極限。性質5(有界性)若數列收斂,則為有界數列。注:數列收斂則必有界,反之未必。試舉一例四 證明數列極限的運算法則性質(極限的四則運算法則)若、為收斂數列,則也都收斂,且有;.若再做假設及,則數列也收斂,且有.使用極限的四則運算法則:(1)求,其中.(2)求五 單調有界數列在研究比較復雜的極限問題時,通常分兩步來解決:先判斷該
3、數列是否有極限(極限的存在性問題);若有極限,再考慮如何計算些極限(極限值的計算問題)。這是極限理論的兩基本問題。下面將重點討論極限的存在性問題。定義若數列的各項滿足不等式,則稱為遞增(遞減)數列。遞增和遞減數列統稱為單調數列例如:為遞減數列;為遞增數列。定理(單調有界定理)在實數系中,有界且單調數列必有極限。(1) 設其中,證明數列收斂。(2) 證明下列數列收斂,并求其極限:(3) 證明存在六 無窮大量的定義1.無窮大量的定義定義:2.無窮大量的定義幾何解釋:3. 證明是無窮大量4.給出正無窮大量和負無窮大量的定義七 無窮大量的性質和運算1、 無窮大量和無窮小量的關系證明:為無窮大量,當且僅當,為無窮小量,這里要求有意義。2、 無窮大量的一些運算法則(1) 證明:正無窮大量的和仍是正無窮大量,負無窮大量的
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