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1、第二章 極限與連續(xù)§數(shù)列的極限與無(wú)窮大量一 數(shù)列極限的定義 寫(xiě)出數(shù)列的定義 舉幾個(gè)數(shù)列的例子(1) (2) (3)2、什么是數(shù)列極限簡(jiǎn)述為什么學(xué)習(xí)數(shù)列的極限 2.數(shù)列極限的定義寫(xiě)出數(shù)列極限定義 表述沒(méi)有極限 。用定義來(lái)驗(yàn)證數(shù)列極限(1) 證明. (2) 證明.(3) 證明.(4) 證明.(5) 證明,其中. 敘述關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)(1) 關(guān)于: (2) 關(guān)于: (3) 數(shù)列極限的幾何理解: (4) 給出數(shù)列極限的等價(jià)定義(鄰域定義): (5) 證明都是發(fā)散數(shù)列.二 無(wú)窮小數(shù)列給出無(wú)窮小數(shù)列的定義 證明數(shù)列收斂于的充要條件是為無(wú)窮小數(shù)列。三 證明收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1(保
2、不等式性)設(shè)數(shù)列與均收斂,若存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則。性質(zhì)2(保號(hào)性)若(或),則對(duì)任何(或),存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有(或)。性質(zhì)3(極限唯一性)若數(shù)列收斂,則它只有一個(gè)極限。性質(zhì)4(迫斂性)設(shè)收斂數(shù)列、都以a為極限,數(shù)列滿足:存在正數(shù),當(dāng)時(shí)有,則數(shù)列收斂,且.求:求數(shù)列的極限。性質(zhì)5(有界性)若數(shù)列收斂,則為有界數(shù)列。注:數(shù)列收斂則必有界,反之未必。試舉一例四 證明數(shù)列極限的運(yùn)算法則性質(zhì)(極限的四則運(yùn)算法則)若、為收斂數(shù)列,則也都收斂,且有;.若再做假設(shè)及,則數(shù)列也收斂,且有.使用極限的四則運(yùn)算法則:(1)求,其中.(2)求五 單調(diào)有界數(shù)列在研究比較復(fù)雜的極限問(wèn)題時(shí),通常分兩步來(lái)解決:先判斷該
3、數(shù)列是否有極限(極限的存在性問(wèn)題);若有極限,再考慮如何計(jì)算些極限(極限值的計(jì)算問(wèn)題)。這是極限理論的兩基本問(wèn)題。下面將重點(diǎn)討論極限的存在性問(wèn)題。定義若數(shù)列的各項(xiàng)滿足不等式,則稱為遞增(遞減)數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列例如:為遞減數(shù)列;為遞增數(shù)列。定理(單調(diào)有界定理)在實(shí)數(shù)系中,有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。(1) 設(shè)其中,證明數(shù)列收斂。(2) 證明下列數(shù)列收斂,并求其極限:(3) 證明存在六 無(wú)窮大量的定義1.無(wú)窮大量的定義定義:2.無(wú)窮大量的定義幾何解釋:3. 證明是無(wú)窮大量4.給出正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)窮大量的定義七 無(wú)窮大量的性質(zhì)和運(yùn)算1、 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系證明:為無(wú)窮大量,當(dāng)且僅當(dāng),為無(wú)窮小量,這里要求有意義。2、 無(wú)窮大量的一些運(yùn)算法則(1) 證明:正無(wú)窮大量的和仍是正無(wú)窮大量,負(fù)無(wú)窮大量的
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