1、第7章 RLS算法Chap.7 The RLS AlgorithmRLS：Recursive Least Square遞歸最小二乘算法遞歸最小二乘算法用于自適應橫向濾波器設計用于自適應橫向濾波器設計LS算法的一個遞歸實現，在線性自適應濾波器中應用算法的一個遞歸實現，在線性自適應濾波器中應用非常廣非常廣 思路：思路：給定給定k-1次迭代濾波器上的權向量，利用新接次迭代濾波器上的權向量，利用新接收的數據，由該向量估計出第收的數據，由該向量估計出第k次迭代上的權次迭代上的權向量向量.均方誤差均方誤差觀測數據的長度是變化的，均方誤差是觀測數據的長度是變化的，均方誤差是 k 的函數的函數knnnkk12

2、)(),()(0( , )1,1,2,.,k nnk也稱作也稱作遺忘因子遺忘因子其中其中 是加權因子，滿足是加權因子，滿足( , )k n 作用：作用：使很多次迭代之前的數據被遺忘掉。使很多次迭代之前的數據被遺忘掉。 當濾波器工作在非平穩環境中時，觀測當濾波器工作在非平穩環境中時，觀測數據仍可能服從統計變化的一些特性。數據仍可能服從統計變化的一些特性。 常用形式：常用形式：指數加權因子（遺忘因子）指數加權因子（遺忘因子）knnknk,.,2 , 1,),(的數。但小于是一個接近式中，11.1“遺忘”無限記憶，沒有數據被時 均方誤差均方誤差knnknk12)()( )k*( )( )( )kkk

3、Rwp達到最小時，存在關系：達到最小時，存在關系：( ), ( )kkRp1*1( )( )( )( )( )( )kk nHnkk nnknnkn d nRxxpx.平均不同，與通常意義上的時間使用了的新定義的新定義把當前的瞬時估計分離出來把當前的瞬時估計分離出來111( )( )( )( )( )(1)( )( )kknHHnHknnknkkn RxxxxRxx相關矩陣的一個值相關矩陣的一個值在更新過程中起修正項的作用在更新過程中起修正項的作用類似地，有：類似地，有：( )(1)( )( )kkkd kppx*1( )( )( )( ), ( )kkkkkRwpwR由確定需要用到實際中：實

4、際中： 要避免求逆操作，特別是當要避免求逆操作，特別是當 L 較大時。較大時。矩陣逆定理矩陣逆定理(Matrix Inversion Lemma)令令A和和B是兩個是兩個MM 的正定矩陣，存在關系：的正定矩陣，存在關系：11HABC DC其中：其中： C是一個是一個MN 的的矩陣矩陣D是一個是一個NN 的正定矩陣的正定矩陣11()HABB C DCB C則有：則有：很容易證明：很容易證明：MIL1A AIMIL可以用來得到一個計算權向量的可以用來得到一個計算權向量的LS解的遞歸公式。解的遞歸公式。RLS算法算法以以R為例對照為例對照MIL( )(1)( )( )HkkkkRRxx111( )(

5、1)(1)( )1kkkkARBRBRCxD代入代入式得到：式得到：11111111(1)( )( )(1)( )(1)1( )(1)( )HHkkkkkkkkk RxxRRRxRx如果記：如果記：11(1)( )( )1( )(1)( )HkkkkkkQxrxQx逆相關矩陣逆相關矩陣增益向量增益向量1( )( )kkQR則有：則有：11( )(1)( )( )(1)HkkkkkQQrxQ由由式，還可以得到如下關系：式，還可以得到如下關系：1111( )(1)( )( )( )(1)( )(1)( )( )(1)( )( )( )HHkkkkkkkkkkkkkkrQxrxQxQrxQxQx式式

6、1(k)( )( )kkrRx所以有：所以有：權向量的更新（迭代關系）權向量的更新（迭代關系）1*( )( )( )( )( )( )(1)( )( )( )kkkkkkkkkdkwRpQpQpQx將將式代入式代入式右端的第一項，整理可得：式右端的第一項，整理可得：*( )(1)( )( )kkkkwwr( )( )(1)( )Hkd kkkwx先驗估計誤差先驗估計誤差用用k-1時刻的權向量，對當前的期望做一個估計時刻的權向量，對當前的期望做一個估計( )( )( )( )Hkd kkkwx后驗估計誤差后驗估計誤差式中式中( ), ( )kk一般是不相同的。一般是不相同的。11*111(1)( )( )1( )(1)( )( )( )(1)( )( )(1)(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )HHHkkkkkkkd kkkkkkkkkkkkkk