1、第二十一章 一元二次方程一、知識結構：一元二次方程二、考點精析考點一、概念(1)定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達式： 難點：如何理解 “未知數的最高次數是2”：該項系數不為“0”；未知數指數為“2”；若存在某項指數為待定系數，或系數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1下列方程中是關于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當k 時，關于x的方程是一元二次方程。例2方程是關于x的一元二次方程，則m的值為 。針對練習：1、方程的一次項系數是 ，常數項是 。2、若方程是關于x的一元一次方程，求m的值；寫出關于

2、x的一元一次方程。3、若方程是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關于x的一元二次方程的一個根為0，則a的值為 。例3、已知關于x的一元二次方程的系數滿足，則此方程必有一根為 。例4、已知是方程的兩個根，是方程的兩個根，則m的值為 。針對練習：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知關于x的

3、方程的一個解與方程的解相同。求k的值； 方程的另一個解。3、已知m是方程的一個根，則代數式 。4、已知是的根，則 。5、方程的一個根為（ ）A B 1 C D 6、若 。考點三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開方法：對于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、若，則x的值為 。針對練習：下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的

4、值為 。變式3：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.針對練習：1、下列說法中：方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2、以與為根的一元二次方程是（ ）A BC D3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1，且兩根互為倒數： 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數不為1，且兩根互為相反數： 4、若實數x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、 試用配方

5、法說明的值恒大于0。例2、 已知x、y為實數，求代數式的最小值。例3、 已知為實數，求的值。例4、 分解因式：針對練習：1、試用配方法說明的值恒小于0。2、已知，則 .3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程： 例2、在實數范圍內分解因式：（1）； （2）. 說明：對于二次三項式的因式分解，如果在有理數范圍內不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成=.分解結果是否把二次項系數乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去.類型五、 “降次思想”的應用求代數式的值； 解二元二次方程組。典型例題：例1、 已知，

6、求代數式的值。例2、如果，那么代數式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現了一種共同的數學思想化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題.考點四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個數；求待定系數的值；應用于其它。典型例題：例1、若關于的方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 。例2、關于x的方程有實數根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知關于x的方程(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數根；(2)若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩

7、個根，求ABC的周長。例4、已知二次三項式是一個完全平方式，試求的值.例5、為何值時，方程組有兩個不同的實數解？有兩個相同的實數解？針對練習：1、當k 時，關于x的二次三項式是完全平方式。2、當取何值時，多項式是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程有兩個不相等的實數根，則m的值是 .4、為何值時，方程組（1）有兩組相等的實數解，并求此解；（2）有兩組不相等的實數解；（3）沒有實數解. 5、當取何值時，方程的根與均為有理數？考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關于x的方程有兩個實數根，則m為 ,只有一個根，則m為 。 例2、 不解方程，判斷關于x的方程根的情況。例3、

8、如果關于x的方程及方程均有實數根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。考點六、應用解答題“碰面”問題；“復利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產業的迅速發展，某通訊公司開發了一種新型通訊產品投放市場，根據計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少，第三年比第二年減少，該產品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全

9、部收回，還要盈利，要實現這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少？（結果精確到0.1，）4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可

10、能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時出發相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數的關系前提：對于而言，當滿足、時，才能用韋達定理。主要內容：應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ）A. B.3 C.6 D.例2、已知關于x的方程有兩個不相等的實數根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出k

11、的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業，在解一道一元二次方程（二次項系數為1）時，小明因看錯常數項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項系數，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應該是多少？例4、已知，求 。變式：若，則的值為 。例5、已知是方程的兩個根，那么 .針對練習：1、解方程組2已知，求的值。3、已知是方程的兩實數根，求的值。一元二次方應用提高1、已知關于的方程，根據下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實根的積為5；(2) 方程的兩實根滿足2、 若實數，且滿足，則代數式的值為多少？3、若，關于的方程有兩個相等的的正實數根，求的值4、已知關于的方程的兩

12、根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時，方程存在兩個正實數根？(2) 當矩形的對角線長是時，求的值5、已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11求證：關于的方程有實數根6、若是關于的方程的兩個實數根，且都大于1(1) 求實數的取值范圍；(2) 若，求的值7、已知，則= 。8、某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%，經試銷發現，銷售量（件）與銷售單價（元）符合一次函數，且時，；時，（1）求一次函數的表達式；（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價之間的關系式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲

13、得利潤不低于500元，試確定銷售單價的范圍9、合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十·一”國慶節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經市場調查發現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少？10、如圖某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18m），另三邊用木欄圍成，木欄長35m。雞場的面積能達到150m2嗎？雞場的面積能達到180m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由。若墻長為m,另三邊用竹籬笆

14、圍成，題中的墻長度m對題目的解起著怎樣的作11、如圖，在矩形ABCD中，AB=6CM，BC=12CM，點P從點A出發，沿AB邊向點B以1CM/S的速度移動；點Q從點B出發，沿BC邊向點C以2CM/S的速度移動，P，Q兩點同時出發，分別到點B，C后停止移動，設PQD的面積為S，點移動的時間為X（X>0)。 （1）求S關于X的函數解析試及自變量X的取值范圍 （2）經過多少時間，PQD的面積最小 12、某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間據預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全部租出每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每

15、年交各種費用5000元（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益（收益=租金各種費用）為275萬元？13、某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利1250元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？14、已知方程(x1)(x 22xm)0的三個實數根恰好構成ABC的三條邊長（1）求實數m的取值范圍；（2）當ABC為直角三角形時，求m的值和ABC的面積15、已知關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.(1)求證:不論k為何值,方程總有兩不相等實數根.(2)設x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5, 求k的值16、求為何值時，一元二次方程，（1）有兩個異號根，且正根的絕對值較大；（2）一根比3大，另一根比3小。17、已知是方程的兩