1、數值計算方法實驗實驗2 用雅克比迭代法解方程組一、 實驗目的1、 學習使用雅克比迭代法求解方程組，加深對雅克比迭代法的認識。2、 在誤差允許的范圍內，在循環次數較少的情況下，求解方程組的穩定解。3、 進一步加深對Matlab的學習。二、 實驗題目用雅克比迭代法解方程組：5x1+2x2+x3=8 , 2x1+8-3x3=21 , x1-3x2-6x3=1 ,三、 實驗原理 設有n元線性方程組AX=b, 其中系數矩陣A的對角元素aii0（i=1,2,3,n） 從方程組的第i個方程中可以解出 xi ,可得到以下等價方程組：x1= 1a11(b1-a12x2-a13x3-a1nxn) ,1 / 5x2

2、= 1a22(b2-a21x1-a23x3-a2nxn) ,，xn= 1ann(bn-an1x1-an3x3-an,n-1xn-1) .記D為A的對角線矩陣，L為A的下三角陣，U為A的上三角陣，即 則有：X=-D-1(L+U)X+D-1b;令 B=-D-1(L+U)， d=D-1b;則有：X=BX+d;其中B成為迭代矩陣上式即為雅克比迭代法的迭代公式。取定一個x(0)以后，便可得 x(1)=B*x(0)+d,再往下迭代得到：x(2)=B*x(1)+d,如此反復迭代，一般的有：x(k+1)=B*x(k)+d, k=0,1,2,由此便得到一個向量序列 X(k).若limkX(k)=X*,則X*就是

3、方程組的解。反之：若limkX(k)不存在，即 X(k)不收斂，就不能用雅克比迭代法計算?？蓪⑸鲜龅^程改為如下形式：xi(k+1)= 1aii (bi-j=1i-1aijxjk-j=i+1naijxjk) = xi(k)+1aii(bi-j=1naijxjk), (i=1,2,3,n)四、 實驗內容按照上述迭代法可得到如下的算法：設方程組為：AX=b, 其中系數矩陣A的對角元素aii0（i=1,2,3,n）max_iter為迭代數容許的最大值，eps為容許誤差：1. 取初始向量,令k=0;2. 對i=1,2,n,計算： .3. 如果,則輸出,結束。否則，執行下一步；4. 如果max_ite

4、r>=50,則該迭代法不收斂，終止程序；否則轉2.建立一個M文件，程序如下：function x,iter=jacobi1(A,b,x_0)A=5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;b=8 21 1;eps=10e-6;x_0=0 0 0;n=3;x=x_0;max_iter=100;y=0 0 0;for k=1:n if(A(k,k)=0) return endend iter=1;while iter<max_itertemp=0; for i=1:n for j=1:n temp=temp+A(i,j)*x(j); end temp=(b(i)-temp)/A(i,i); y(i)=x(i)+temp; end x=y; iter=iter+1; if abs(temp)<eps returnendend五、 實驗結果 ans = 1.0000 2.0000 -