1、231雙曲線及其標準方程預習課本P5255，思考并完成以下問題1平面內滿足什么條件的點的軌跡是雙曲線？雙曲線的焦點、焦距分別是什么？2什么是雙曲線的標準方程？1雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距點睛平面內到兩定點F1，F2的距離的差的絕對值為非零常數，即|MF1|MF2|2a，關鍵詞“平面內”當2a<|F1F2|時，軌跡是雙曲線；當2a|F1F2|時，軌跡是分別以F1，F2為端點的兩條射線；當2a>|F1F2|時，軌跡不存在2雙曲線的標準方程焦點在x

2、軸上焦點在y軸上標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)焦點坐標F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的關系c2a2b2 點睛(1)標準方程的代數特征：方程右邊是1，左邊是關于x，y的平方差，并且分母大小關系不確定(2)a，b，c三個量的關系：標準方程中的兩個參數a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a2c2相區別，且橢圓中a>b>0，而雙曲線中，a，b大小不確定1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內到兩定點的距離的差等于常數(小于兩定

3、點間距離)的點的軌跡是雙曲線()(2)在雙曲線標準方程1中，a>0，b>0且ab()(3)雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是a>b()答案：(1)×(2)×(3)×2已知F1(3,3)，F2(3,3)，動點P滿足|PF1|PF2|4，則P點的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C不存在 D一條射線答案：B3已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標準方程為_答案：1或1雙曲線標準方程的認識典例已知方程1對應的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()Ak>5Bk>5或2<k<2Ck>2或k<2 D2<k<2解析

4、方程對應的圖形是雙曲線，(k5)(|k|2)>0即或解得k>5或2<k<2答案B將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當mn<0時，方程表示雙曲線若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線活學活用若k>1，則關于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓B焦點在y軸上的橢圓C焦點在y軸上的雙曲線D焦點在x軸上的雙曲線解析：選C原方程化為1，k>1，k21>0，k1>0方程所表示的曲線為焦點在y軸上的雙曲線求雙曲線的標準方程典例求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)a4

5、，經過點A；(2)經過點(3,0)，(6，3)解(1)當焦點在x軸上時，設所求標準方程為1(b>0)，把A點的坐標代入，得b2×<0，不符合題意；當焦點在y軸上時，設所求標準方程為1(b>0)，把A點的坐標代入，得b29，所求雙曲線的標準方程為1(2)設雙曲線的方程為mx2ny21(mn<0)，雙曲線經過點(3,0)，(6，3)，解得所求雙曲線的標準方程為11雙曲線標準方程的兩種求法(1)定義法：根據雙曲線的定義得到相應的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程(2)待定系數法：先設出雙曲線的標準方程1或1(a，b均為正數)，然后根據條件求出待定的系數代入方程即可2

6、求雙曲線標準方程的兩個關注點(1)定位：“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在“標準方程”的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；(2)定量：“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程求解活學活用根據下列條件，求雙曲線的標準方程(1)與橢圓1有共同的焦點，且過點(，4)；(2)c，經過點(5,2)，焦點在x軸上解：(1)橢圓1的焦點坐標為F1(0，3)，F2(0,3)，故可設雙曲線的方程為1由題意，知解得故雙曲線的方程為1(2)焦點在x軸上，c，設所求雙曲線方程為1(其中0<<6)雙曲線經過點(5,2)，1，5或30(舍去)所求雙曲線方程是y21雙曲線定義

7、的應用典例已知F1，F2分別是雙曲線1的左、右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|32試求F1PF2的面積解因為P是雙曲線左支上的點，所以|PF2|PF1|6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|362×32100在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290°，所以SF1PF2|PF1|·|PF2|×3216一題多變1變條件，變設問若本例中雙曲線的標準方程不變，且其上一點P到焦點F1的距離為10求點P

8、到F2的距離解：由雙曲線的標準方程1，得a3，b4，c5由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|162變條件若本例條件“|PF1|·|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它條件不變，求F1PF2的面積解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2×4×48在解決雙曲線中與焦點有關的問題時，要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應用；與三角形有關的問題要考慮正、余弦定理、勾股定理等另外在運算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應用 層級一學業水平達標1已

9、知F1(8,3)，F2(2,3)，動點P滿足|PF1|PF2|10，則P點的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C直線 D一條射線解析：選DF1，F2是定點，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點P的軌跡應為一條射線2在方程mx2my2n中，若mn<0，則方程表示的曲線是()A焦點在x軸上的橢圓 B焦點在x軸上的雙曲線C焦點在y軸上的橢圓 D焦點在y軸上的雙曲線解析：選D將方程化為1，由mn<0，知>0，所以方程表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線3已知定點A，B且|AB|4，動點P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為()A BC D5解析：選C如圖所示，點

10、P是以A，B為焦點的雙曲線的右支上的點，當P在M處時，|PA|最小，最小值為ac24橢圓1與雙曲線1有相同的焦點，則a的值是()A B1或2C1或 D1解析：選D依題意知解得a15焦點分別為(2,0)，(2,0)且經過點(2,3)的雙曲線的標準方程為()Ax21 By21Cy21 D1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標準方程為x216設m是常數，若點F(0,5)是雙曲線1的一個焦點，則m_解析：由點F(0,5)可知該雙曲線1的焦點落在y軸上，所以m>0，且m952，解得m16答案：167經過點P(3,2)和Q(6，7)，且焦點在y軸上

11、的雙曲線的標準方程是_解析：設雙曲線的方程為mx2ny21(mn<0)，則解得故雙曲線的標準方程為1答案：18已知雙曲線的兩個焦點F1(，0)，F2(，0)，P是雙曲線上一點，且·0，|PF1|·|PF2|2，則雙曲線的標準方程為_解析：由題意可設雙曲線方程為1(a>0，b>0)由·0，得PF1PF2根據勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220根據雙曲線定義有|PF1|PF2|±2a兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|2得202×24a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程

12、為y21答案：y219已知與雙曲線1共焦點的雙曲線過點P，求該雙曲線的標準方程解：已知雙曲線1，由c2a2b2，得c216925，c5設所求雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)依題意，c5，b2c2a225a2，故雙曲線方程可寫為1點P在雙曲線上，1化簡，得4a4129a21250，解得a21或a2又當a2時，b225a225<0，不合題意，舍去，故a21，b224所求雙曲線的標準方程為x2110已知ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x25y25的左焦點和右焦點，且三個內角A，B，C滿足關系式sin Bsin Asin C(1)求線段AB的長度；(2)求頂點C的軌跡方程解：(

13、1)將橢圓方程化為標準形式為y21a25，b21，c2a2b24，則A(2,0)，B(2,0)，|AB|4(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2<|AB|4，即動點C到兩定點A，B的距離之差為定值動點C的軌跡是雙曲線的右支，并且c2，a1，所求的點C的軌跡方程為x21(x>1)層級二應試能力達標1設，則關于x，y的方程1所表示的曲線是()A焦點在y軸上的雙曲線B焦點在x軸上的雙曲線C焦點在y軸上的橢圓D焦點在x軸上的橢圓解析：選B由題意，知1，因為，所以sin >0，cos >0，則方程表示焦點在x軸上的雙曲線故選B2若雙曲線y21(n

14、>1)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A1BC2 D4解析：選A設點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|2，已知|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|·|PF2|2又|F1F2|2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，所以PF1F2為直角三角形，且F1PF290°，于是SPF1F2|PF1|·|PF2|×21故選A3若雙曲線8kx2ky28的一個焦點坐標是(3,0)，則k()A1 B1C D解析：選A依題意，知雙曲線的焦點在x軸上，方程可化為1，則k&

15、gt;0，且a2，b2，所以9，解得k14已知雙曲線1(a>0，b>0)，F1，F2為其兩個焦點，若過焦點F1的直線與雙曲線的一支相交的弦長|AB|m，則ABF2的周長為()A4a B4amC4a2m D4a2m解析：選C由雙曲線的定義，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周長l|AF2|BF2|AB|4a2m故選C5已知雙曲線1的兩個焦點分別為F1，F2，雙曲線上的點P到F1的距離為12，則點P到F2的距離為_解析：設F1為左焦點，F2為右焦點，當點P在雙曲線的左支上時，|PF2|PF1|10，所

16、以|PF2|22；當點P在雙曲線的右支上時，|PF1|PF2|10，所以|PF2|2答案：22或26過雙曲線1的一個焦點作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為_解析：因為雙曲線方程為1，所以c13，設F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，則F1(13,0)，F2(13,0)設過F1且垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(13，y)(y>0)，則1，所以y，即|AF1|又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24即所求距離分別為，答案：，7已知OFQ的面積為2，且·m，其中O為坐標原點(1)設<m<4，求與的夾角的正切值的取值范圍；(2)設以O為中心，

17、F為其中一個焦點的雙曲線經過點Q，如圖所示，|c，mc2，當|取得最小值時，求此雙曲線的標準方程解：(1)因為所以tan 又<m<4，所以1<tan <4即tan 的取值范圍為(1,4)(2)設雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，則|(x1c，y1)，所以SOFQ|·|y1|2，則y1±又·m，即(c,0)·(x1c，y1)c2，解得x1c，所以| 2，當且僅當c4時，|最小，這時Q的坐標為(，)或(，)因為所以于是雙曲線的標準方程為18設圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個內切，另一

18、個外切(1)求C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點M，F(，0)，且P為L上動點求|MP|FP|的最大值解：(1)兩圓的圓心分別為A(，0)，B(，0)，半徑為2，設圓C的半徑為r由題意得|CA|r2，|CB|r2或|CA|r2，|CB|r2，兩式相減得|CA|CB|4或|CA|CB|4，即|CA|CB|4則圓C的圓心軌跡為雙曲線，其中2a4，c，b21，圓C的圓心軌跡L的方程為y21(2)由(1)知F為雙曲線L的一個焦點，如圖，連接MF并延長交雙曲線于一點P，此時|PM|PF|MF|為|PM|FP|的最大值又|MF|2，|MP|FP|的最大值為2232雙曲線的簡單幾何性質預習課本P5660，思

19、考并完成以下問題1雙曲線有哪些幾何性質？2雙曲線的頂點、實軸、虛軸分別是什么？3雙曲線的漸近線、等軸雙曲線的定義分別是什么？1雙曲線的幾何性質標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)性質圖形焦點F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范圍xa或 xa，yRya或 ya，xR對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心、原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)性質軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b；半實軸長：a，半虛軸長：b離心率e(1，)漸近線y±xy±x2等軸雙

20、曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y±x，離心率為e點睛對雙曲線的簡單幾何性質的幾點認識(1)雙曲線的焦點決定雙曲線的位置；(2)雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)雙曲線1的焦點在y軸上()(2)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊()(3)以y±2x為漸近線的雙曲線有2條()答案：(1)×(2)(3)×2雙曲線2x2y28的實軸長是()A2B2C4 D4答案：C3雙曲線1的漸近線方程為()A3x±4y0

21、B4x±3y0C9x±16y0 D16x±9y0答案：A4雙曲線的漸近線方程為y±x，則離心率為_答案：或雙曲線的幾何性質典例求雙曲線9y24x236的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程解雙曲線的方程化為標準形式是1，a29，b24，a3，b2，c又雙曲線的焦點在x軸上，頂點坐標為(3,0)，(3,0)，焦點坐標為(，0)，(，0)，實軸長2a6，虛軸長2b4，離心率e，漸近線方程為y±x已知雙曲線方程求其幾何性質時，若不是標準方程的先化成標準方程，確定方程中a，b的對應值，利用c2a2b2得到c，然后確定雙曲線的焦點位置，

22、從而寫出雙曲線的幾何性質活學活用求雙曲線9x2y281的實軸長、虛軸長、頂點坐標、焦點坐標、離心率和漸近線方程解：將9x2y281變形為1，即1實軸長2a6，虛軸長2b18；頂點坐標為(3,0)，(3,0)；焦點坐標為(3，0)，(3，0)；離心率e，漸近線方程為y±3x由雙曲線的幾何性質求標準方程典例求過點(2，2)且與y21有相同漸近線的雙曲線的標準方程解法一：當焦點在x軸上時，由于故可設方程為1，代入點(2，2)得b22(舍去)；當焦點在y軸上時，可知，故可設方程為1，代入點(2，2)得a22所以所求雙曲線方程為1法二：因為所求雙曲線與已知雙曲線y21有相同的漸近線，故可設雙曲

23、線方程為y2(0)，代入點(2，2)得2，所以所求雙曲線的方程為y22，即1(1)一般情況下，求雙曲線的標準方程關鍵是確定a，b的值和焦點所在的坐標軸，若給出雙曲線的頂點坐標或焦點坐標，則焦點所在的坐標軸易得再結合c2a2b2及e列關于a，b的方程(組)，解方程(組)可得標準方程(2)如果已知雙曲線的漸近線方程為y±x，那么此雙曲線方程可設為(0)活學活用求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為12，離心率為；(2)頂點間距離為6，漸近線方程為y±x解：(1)設雙曲線的標準方程為1或1(a>0，b>0)由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8

24、，雙曲線的標準方程為1或1(2)設以y±x為漸近線的雙曲線方程為(0)，當>0時，a24，2a26當<0時，a29，2a261雙曲線的標準方程為1或1雙曲線的離心率典例(山東高考)過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為_解析如圖所示，不妨設與漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過右焦點F(c,0)，則直線l的方程為y(xc)因為點P的橫坐標為2a，代入雙曲線方程得1，化簡得yb或yb(點P在x軸下方，故舍去)，故點P的坐標為(2a，b)，代入直線方程得b(2ac)，化簡可得離心率e2答

25、案2求雙曲線離心率的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解，若已知a，b，可利用e 求解(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據條件可確定a，b，c之間的關系，可通過b2c2a2，將關系式轉化為關于a，c的齊次方程，借助于e，轉化為關于e的n次方程求解活學活用1如果雙曲線1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，因為AOAF，F(c,0)，所以xA，因為A在右支上且不在頂點處，所以>a，所以e>2答案：(2，)2設F1，F2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|

26、PF2|6a，且PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為_解析：不妨設|PF1|>|PF2|，則|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，得|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，則在PF1F2中，PF1F230°，由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)22×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e)20，所以e答案：層級一學業水平達標1下列雙曲線中離心率為的是()A1B1C1 D1解析：選B由e得e2，則，即a22b2因此可知B正確2中心在原點，實軸在x軸上，一個焦點在直線3x4y120上的等軸雙

27、曲線方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24解析：選A令y0得，x4，等軸雙曲線的一個焦點坐標為(4,0)，c4，a2c2×168，故選A3雙曲線1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是()A(10,0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：選B由題意知k<0，a24，b2ke21又e(1,2)，1<1<4，12<k<04已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A1 B1C1 D1解析：選B設雙曲線的標準方程為1(a>0，

28、b>0)，由題意知c3，a2b29，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則有兩式作差得，又AB的斜率是1，所以4b25a2，代入a2b29得a24，b25，所以雙曲線標準方程是15(全國卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A B2C D解析：選D不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M點的坐標為M點在雙曲線上，1，ab，ca，e故選D6(全國卷)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y&

29、#177;x，則該雙曲線的標準方程為_解析：法一：雙曲線的漸近線方程為y±x，可設雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(4，)，164×()24，雙曲線的標準方程為y21法二：漸近線yx過點(4,2)，而<2，點(4，)在漸近線yx的下方，在yx的上方(如圖)雙曲線的焦點在x軸上，故可設雙曲線方程為1(a>0，b>0)由已知條件可得解得雙曲線的標準方程為y21答案：y217過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率為_解析：由題意知，ac，即a2ac

30、c2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28雙曲線1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_解析：雙曲線1的右頂點A(3,0)，右焦點F(5,0)，漸近線方程為y±x不妨設直線FB的方程為y(x5)，代入雙曲線方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B所以SAFB|AF|yB|(ca)·|yB|×(53)×答案：9(全國卷)已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)當APF周長最小時，求該三角形的面積解：設雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線方程

31、x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3,0)當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，從而APF的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|因為|AF|15為定值，所以當(|AP|PF1|)最小時，APF的周長最小，由圖象可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)由題意可知直線AF1的方程為y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×21210已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，且(1)求雙曲線C的方程；(

32、2)已知直線xym0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2y25上，求m的值解：(1)由題意得解得所以b2c2a22所以雙曲線C的方程為x21(2)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)由得x22mxm220(判別式>0)所以x0m，y0x0m2m因為點M(x0，y0)在圓x2y25上，所以m2(2m)25故m±1層級二應試能力達標1雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()A2B2C D1解析：選A不妨取焦點(4,0)和漸近線yx，則所求距離d2故選A2若雙曲線與橢圓1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的方程為()Ay2x296 By2x2160Cy2x280 Dy2x224解析：選D設雙曲線方程為x2y2(0)，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，且焦點為(0，±4)，所以<0，且2(4)2，得24故選D3若中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經過點(4，2)，則它的離心率為()A BC D解析：選D設雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)由題意，知過點(4，2)的漸近線方程為yx，所以2