1、課時教案授課章節及題目第四章曲線的凹凸性授課時間第15周周二第1、2節課次1學時2教學目標與要求（分掌握、熟悉、了解三個層次）曲線的凹凸性的判定定理，會求曲線的凹凸區間。教學重點與難點教學重點：利用二階導數判斷曲線的凹凸性的方法教學難點：導數/、存在的連續點、也可能是曲線的凹凸區間的分界點。教學用具無教學過程環節、時間授課內容教學方法課程導入（10分鐘）中值定理提問一、曲線的凹凸與拐點1.凹凸性的概念：新課講解 （70分鐘） 新課講解 （70分鐘）鐘）定義f號)f(X(X2)f(X2)OXi"如果恒:OXi設f（向上）凹的（曲K)yX 2 2那么稱f（X在上巾圖您X.X1X22X1

2、X2X 2網點x,x2 .恒有講解講解啟發X1+X2)f(Xi)+f(X2)(2/2-那么稱f(X»EI上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義，設函數y=f(x)在區間I上連續.如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區間I上是凹的；如果函數的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區間I上是凸的2.曲線凹凸性的判定定理設在ab上連續.在(a內具有一階和二階導數.那么若在(a,b)內f(x)a0.則f在a,b上的圖形是凹的；(2)若在(a,b)內f'(X)<0.則f(X)在a,b上的圖形是凸的.證明只證(1)(2)的證明類似).設x1,x2wa,b

3、,(x<X2).記入22.由拉格朗日中值公式,得f(Xi)-f(X0)=fS)(X1-X0)=f(i)2x2.X1<1<X0.f(X2)-f(Xo)=f6)(X2-X0)=f'(J)1.X0<2<X2.兩式相加并應用拉格朗日中值公式得f(X1)+f(X2)-2f(X0)=f&-f仁1)X22X1=fW1)>0.即()2()>f(2).所以f(4在a,b上的圖形是凹的，拐點：連續曲線y=f(X(上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點,確定曲線y=f(R的凹凸區間和拐點的步驟：(1)確定函數y=f(x)的定義域；(2)求出在二階導數f'

4、;(>)；(3)求使二階導數為零的點和使二階導數不存在的點；(4)判斷或列表判斷.確定出曲線凹凸區間和拐點；注：根據具體情況（1）、（3）步有時省略.例1,判斷曲線y=1nx的凹凸性,1.1解：丫-X4一X2，因為在函數y=1nx的定義域（0,十8）內.y”<0.所以曲線y=1nx是凸的3，-1、例2,判斷曲線y=X的凹凸性.解：因為y，=3x2.y"=6x"y"=0得*=0,當X<0時.y*<0.所以曲線在（-8,0內為凸的；當x>0時.y*0,所以曲線在0,+如）內為凹的，例3,求曲線y=2x3+3x212x+14的拐點.解：y&

5、#39;=6x2+6x12.y*=12x+6=6（2x+1），令y*=0.得x=,因為當x<2-時.y*<0；當x>2-時.y'a0.所以點（2.20-2）是曲線的拐點.例4,求曲線y=3x44x3+1的拐點及凹、凸的區間，解:（1）函數y=3/-4x3+1的定義域為（七，十七）；y'=12x312x2.y"=36x2-24x=36x（x-3）;2（3）解萬程y'=0.得為=0.乂2；3（4）列表判斷：0)0(0.2/3)2/3(2/3.收)f”防間(F,0和J產上曲線是凹的.在區同網23上曲線是小的，點(01,1）和（211）是曲線的拐點c11)272327'一、一rr，、4例5向曲線y=x是否有拐點？解y'=4x3.y"=12x2,當x#0時.y"A0.在區間(一g,+8)內曲線是凹的.因此曲線無拐點,例6，求曲線y=3反的拐點,解(1)函數的定義域為(一00,+=0);、,-1M，r-2(2)y3我-V9x3守(3)函數無二階導數為零的點，二階導數不存在的點為X=0；(4)判斷：當X<0時.y*：>0；當X>0時.y“<0,因此.點(0,0)是曲線的拐點，環節、時間授課內容教學方法課后作業(10分鐘)課堂小結：曲線的彎曲方向一一曲線的凹凸性；凹凸