1、離心率的專題復習橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率一、直接求出、，求解已知圓錐曲線的標準方程或、易求時，可利用率心率公式來解決。例1：已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 解1：變式練習1：若橢圓經過原點，且焦點為、，則其離心率為（ ）A. B. C. D. 解：由、知 ，又橢圓過原點，所以離心率.故選C.變式練習2： 點 在橢圓（）的左準線上，過點且方向為 的光線，經直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：由題意知，入射光線為，關于的反射光線（對稱關系）為，則解得，則

2、，故選A變式練習3：2016·全國卷 已知O為坐標原點，F是橢圓C （）的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A. B. C. D. 12A解析 設M(c，y0)，則AM所在直線方程為y(xa)，令x0，得E（0，）.BM所在直線方程為y(xa)，令x0，得y.由題意得×，解得a3c，即e.2、 構造、的齊次式，解出根據題設條件，借助、之間的關系，構造、的關系（特別是齊二次式），進而得到關于的一元方程，從而解得離心率。例2：設雙曲線（）的半焦距為，直線過，兩點

3、.已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 解：由已知，直線的方程為，由點到直線的距離公式，得，又, ,兩邊平方，得，整理得，得或，又 ，故選A變式練習1：雙曲線虛軸的一個端點為，兩個焦點為、，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D 解：如圖所示，不妨設，則，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故選B變式練習2：【2017課標3，文11】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）A B CD【答案】A變式練習3：2016·全國卷文 直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若

4、橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 解析 不妨設直線l經過橢圓的焦點F(c，0)和頂點(0，b)，則直線l的方程為1，橢圓中心到直線l的距離為×2b.又a2b2c2，所以離心率e. B三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：變式練習1已知長方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為 . 變式練習2已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的

5、離心率是 . 變式練習3如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 . 四、根據圓錐曲線的統一定義求解例4：設橢圓（）的右焦點為，右準線為，若過且垂直于軸的弦的長等于點到的距離，則橢圓的離心率是.解：如圖所示，是過且垂直于軸的弦，于，為到準線的距離，根據橢圓的第二定義， 變式練習1：在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為，則該橢圓的離心率為（ ）A B C D 解：變式練習2：已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為 . 變式練習3：已知橢圓C：（a>b>0

6、）的離心率為，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點，若，則k = . 五、構建關于的不等式，求的取值范圍：一般來說，求橢圓或雙曲線的離心率的取值范圍，通常可以從兩個方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長度、角的大小等；二是通過設橢圓（或雙曲線）點的坐標，利用橢圓或雙曲線本身的范圍，列出不等式（一）基本問題例橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是 Ex1設，則雙曲線的離心率的取值范圍是 Ex2【2017課標II，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意，因為，所以，則，故選C.【考點】雙曲線離心率【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.（二）數形結合例已知橢