1、第九章 曲線積分與曲面積分本章所講的曲線積分于曲面積分都是定積分的推廣91 第一型曲線積分一第一型曲線積分的概念和性質1金屬曲線的質量設有金屬曲線L（如圖91），L上各點的密度為二元連續(xù)函數（，），求這曲線的質量。把L分成n個小弧段：s，s，s，其中s（i=1,2,n）也表示這些小弧段的長度。在s上任取一點（，），由于線密度函數是連續(xù)的，因此當s很小時，s的質量m便可近似地表示為：m（，）s，于是整個金屬曲線地質量近似于M(，)s.記s,令0取上式和式的極限，得M(，)s.2第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）的定義定義：設L為xoy平面內的曲線弧，是L上的有界函數,把L分成n個小弧段: s，s

2、，s，其中s（i=1,2,n）也表示第i個小弧段的弧長. 記s,在每個小弧段s上任取一點（，）,作和式s,如和式極限s存在,且極限值與L的分法和點（，）在s上的取法無關,則稱此極限值為函數(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分或稱為對弧長的線積分,記作,即=s稱為被積函數,L為積分曲線弧.注1:同前面一樣,并非任一個函數在L上的對弧長的曲線積分都是存在的.但若在L上連續(xù),則其積分是存在的.故以后在不作特別說明的情況下,總假定在L上連續(xù).注2:顯然物體M的質量為:M=注3:類似地,我們可定義對于空間曲線弧的曲線積分: =注4:若L為閉曲線,則在L上的對弧長的曲線積分記為性質1.若(i=1,2n)存

3、在,C (i=1,2,n)為常數,則=性質2:如按段光滑曲線L由曲線L,L,L首尾相接而成,且(i=1,2,n)都存在,則=性質3:若,都存在,且在L上,則性質4:若存在,則也存在,且有性質5:若存在,L的弧長為S,則存在常數C,使得=CS二.第一型曲線積分的計算法我們可應用下列定理將第一型曲線積分轉化為定積分來計算:定理:設曲線L的方程為:,其中,在上具有連續(xù)的一階導數,為L上的連續(xù)函數,則有=證:詳細的證明書上有,大家自己看,現在我們從另外一方面來說明這個問題:我們用來表示L上的以為取值區(qū)間所對應部分的弧長,則有=.兩邊求微分,得進而:又當在L上變化時,相應地在上取值,故= . (注:并非

4、嚴格的證明)注1:若L的方程為,則= 若L的方程為,則= 2:若空間曲線的方程為:,.則有= 3:定理.注1.2中的定積分的上下限,一定滿足:下限上限.這是因為,在這里的L(或)是無向曲線弧段,因而單從L的端點看不出上下限究竟是什么.這就要從L(或)的方程的形式來考慮.又>0>0從而當很小時,>0.此時若視為L上某一段弧的弧長,應有>0>0.這說明此時的變化是由小到大的.而這里正是的一般形狀,故下限上限.例1: 設L是半園周: 0. 計算解: =例2: 設為球面被平面所截的圓周,計算.解:根據對稱性知 =的弧長=第二節(jié) 第二型曲線積分一. 第二型曲線積分的概念與性

5、質這里講的是曲線積分的另一種形式.假設一質點受力=i+j的作用沿平面曲線L運動,求當質點從L的一端點A移動到另一端點B時,力所做的功W.(這里假設,在L上連續(xù))首先,對有向曲線L作分割:用點M,M,M與M=A,M=B將L分成n個小段(i=1,2n).以表示其弧長.記該分割的細度為s,當很小時,有向的小弧段可用有向的直線段來代替:=i+j,其中=,=.而,分別為M與M點的坐標.又在上任取一點（，）.當很小時,由于,在L上連續(xù),故可用在（，）點處的力=i+j來近似代替上其它各點的力,因此變力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+所以 W= .且當時,有W=.2.第二型曲線積分(

6、對坐標的曲線積分)的定義定義:設L是面上從點A到點B的有向光滑曲線,在L上有界,把L分成n個小弧段s，s，s，其中s（i=1,2,n）也表示第i個小弧段的弧長.在s(i=1,2,n)上任取一點（，）,做和式,其中和是分別在軸和軸上的投影.記s,如果極限存在,且極限值與L的分法及點（，）在s上的取法無關,則稱此極限值為函數,在有向曲線弧L上的第二型曲線積分或對坐標的曲面積分,記作即有:=,其中,稱為被積函數,L稱為積分曲線弧.同理,當,都在L上連續(xù)時,上述積分才存在.故今后總假定,在L上連續(xù)注1: 完全可以類似地擴到空間曲線上,得2: 當L為封閉曲線時,常記為:3:這兩類線積分,除了形式上不同之

7、外,還有一關鍵性區(qū)別在于:第一類線積分與L的方向無關,而第二類線積分與L的方向有關.(下見性質2)性質1:若L由有限有向曲線弧組成,例如L=L+L,則=+性質2:設L是L的反向曲線弧,則=二. 第二型曲線積分的計算法同前面一樣,我們可以將對坐標的曲線積分轉化為定積分來計算,有下列定理:定理:,在有向曲線弧L上連續(xù),L的方程為:,. 當由變動到時,對應L上的動點從L的起點A變到終點B,在上連續(xù)且不全為零,則= (證明略)注1:若L的方程為,在a ,b之間.且x=a且x=b分別為L的起點和終點,則有=同理,若L的方程為,也有類似的結果.2:設空間曲線的方程為:,且,分別對應于的起點和終點,則有 =

8、3:定理及注1,2中的定積分的上下限分別時參數所對應的參數值,起點對應的值為下限,終點對應的值為上限.例3 計算.其中L為拋物線上的點A(-1,1)到B(4,-2)的一段.解法一:由題知L的方程為 , 從-1到-2,故=解法二: L的方程可寫為, 從1到4=例4 求在力的作用下:(1) 質點由點A(a,0,0)沿螺旋線L到點B(0,0,2b)所作的功. L:, , (2) 質點由A(a,0,0)沿直線L到點B(0,0,2b)所作的功. 解: W=(1) W= (2) L: x=a, y=0,z=t (0t2b) 則W=.三. 兩類線積分之間的關系直到現在為止,我們已學過兩種曲線積分:和.兩者都

9、是轉化為定積分計算.那么兩者有何聯(lián)系呢?這兩種曲線積分來源于不同的物理原型,有著不同的特性,但在一定的條件下,我們可建立它們之間的聯(lián)系.設有向曲線弧L表示成以弧長s為參數的參數方程: x=x(s),y=y(s), 0s,這里L由點A到點B的方向就是s增大的方向.又設,依次為從x軸正向,y軸正向到曲線L的切線的正向的夾角,則(cos,cos也稱為有向曲線L上點(x,y)處的切向量的方向余弦,切向量的指向與曲線L的方向一致).因此,得注1: 上式可推廣到空間曲線的曲線積分上去,有其中cos,cos,cos 是L上點(x,y,z)處的切向量的方向余弦.例5 把第二型曲線積分化為第一型曲線積分,其中L

10、:上從(0,0)到(1,1)的一段弧.解: ,L的切向量T=1,于是 第三節(jié) 格林公式格林(Green)公式是指出了沿閉曲線的第二型曲線積分與二重積分的關系.下面我們來規(guī)定L的正向:設區(qū)域D是由一條或幾條光滑曲線所圍成.邊界曲線L的正向規(guī)定為:當人沿著L行走時,區(qū)域D總在他的左邊.若與L的正向相反,就稱為負方向.記作L.定理1 設閉區(qū)域D由分段光滑的閉曲線L圍成,函數,在D上具有一階連續(xù)偏導數,則 (1) 其中左端的閉曲線積分是沿邊界曲線L的正方向.公式(1)稱為格林公式. 證:(i)首先我們證明一個特殊情況:D既可表示為X-型區(qū)域,也可表示為Y-型區(qū)域.由D可表示為X型區(qū)域,不妨設D=(x,

11、y) : axb, y (如圖) 則 又 =+=+=因此有 =同理,D可表示為Y-型區(qū)域,不難證明:=將上面兩式相加得(ii)對于一般的區(qū)域D,即如果閉區(qū)域不滿足上述條件(既可表示為X-型區(qū)域,也可表示為Y-型區(qū)域),則可以在D內引進若干條輔助線把D分成有限個部分閉區(qū)域,使每個部分滿足上述條件.在每快小區(qū)域上分別運用reen公式,然后相加即成.如圖中D的邊界曲線L,通過作輔助線AE將L分為L,L,同時將區(qū)域D分為D,D,它們都滿足上述條件,于是上面兩式相加,并注意到=+ ,=+, =.又L=L+L, D= D+D, 于是 注:在reen公式中,當, 時,有 =1(1)=2, 代入公式,得= (

12、其中為的面積)于是 . (2)例5 計算橢圓 圍成的面積.解: 橢圓的參數方程為 , , .由式(2) , 得 A= =.例6 求I= , 其中L的為任一不含原點的閉區(qū)域D的邊界.解: , . 不難驗證 ,且P,Q在D上連續(xù),故由Green公式,得 =例7 計算 , 其中L是包圍原點在內的區(qū)域D的正向邊界曲線(如圖) 解: , . 因, 在原點(0,0)處不連續(xù),故不能直接利用格林公式. 選取充分小的半徑>0,在D內部作圓周: .記與之間的區(qū)域為D,D的邊界曲線為,這時D內不含原點, 在D上連續(xù),應用格林公式. 由 , =其中的參數方程為:, , .=.第四節(jié) 平面曲線積分與路徑無關的條

13、件從第二節(jié)的討論,我們看到第二型曲線積分當積分路徑起點,終點固定時,它的數值一般與積分曲線有關.如:中,當L的端點固定在(1,1)點和(4,2)點時,若L取不同的路徑,所得到的積分值不一樣.這說明積分值與所取的積分路徑有關.然而,存在著另一種情況,即積分值與積分路徑無關,只與起點和終點有關.亦即對任意兩條以A為起點,B為終點的曲線和,有=.本段將討論曲線積分在什么條件下,其值與路徑無關.首先,介紹單連通區(qū)域的概念:若對于平面開區(qū)域D內任一條封閉曲線L,均可以D以外的點而連續(xù)收縮于D中某一點,即L所圍的點全屬于D,那么就稱D為單連通區(qū)域,通俗地說D是沒有“洞”的區(qū)域.否則,稱為復(多)連通區(qū)域.

14、(如圖).定理: 設是一個單連通的開區(qū)域,函數,在內具有一階連續(xù)偏導數,則下述命題是等價的 1) 在D內恒成立; 2) 對G內任意閉曲線L成立; 3) 在G內與積分路徑無關; 4) 存在可微函數,使得在G內恒成立. 證 1)2). 已知在G內恒成立,對G內任意閉曲線L,設其所包圍的閉區(qū)域為D,由格林公式 2)3). 已知對G內任一條閉曲線L,對G內任意兩點A和B,設和是G內從點A到點B的任意兩條曲線(如圖),則是G內一條封閉曲線,從而有=+。于是 即曲線積分與路徑無關,其中L位于G內. 3)4). 已知起點為,終點為的曲線積分在區(qū)域G內與路徑無關,故可記此積分為. 當固定時,積分值僅取決于動點

15、,因此上式是的函數,極為,即 下面證明在G內可微,且 由于都是連續(xù)函數,故只需證, .不難證明 = (詳細過程見P157)故的全微分存在,且. 4)1). 已知存在一個函數,使得 從而 , , 由于具有一階連續(xù)偏導數,所以混合偏導數,連續(xù),故=,即例8 證明 與路徑無關. 證: = 與路徑無關., , , 在整個平面上連續(xù),且,由定理,得 與路徑無關.例9 討論的原函數.解: , , , 在整個平面上連續(xù),且有, 即定理中的1)成立,所以4)成立.即為某個函數的全微分.且 , 由于曲線積分與路徑無關,可取先從點O(0,0)到點A(,0)的直線段OA: ,再沿從點A到點M的平行于軸的直線段AM,

16、所以有 所求原函數為 (為任意常數).第五節(jié) 第一型曲面積分一 第一型曲面積分的概念和性質考慮這樣一個實際問題:設某一物體占有空間曲面,其面密度函數為,求該物體的質量.我們仍用以前慣用的方法,先分割為若干小塊,再作和式:.最后取極限,得 M=其中 為各小塊面直徑的最大值.這就是曲面積分的思想.下面我們給出定義: 定義 設函數在曲面上有界,把分成n個小片,其中(i=1,2,n)也表示第i小片的面積,在上任取一點,作和式,若當此n個小曲面片的直徑的最大值時,上述和式極限存在,且此極限值與的分法及點在上的取法無關,則稱此極限值為函數在曲面上的第一型曲面積分或稱為對面積的曲面積分,記作,即= (1)其

17、中稱為被積函數,稱為積分曲面.注1: 同以前一樣,今后總假定在曲面上連續(xù). 2: 由定義知, 物體的質量M=, 其中為面密度函數. 3: 對面積的曲面積分,同樣具有被積函數的可加性與積分曲面的可加性,即=+=+二 第一型曲面積分的計算法設曲面的方程為,在平面上的投影區(qū)域為,在上具有連續(xù)的偏導數,在上連續(xù).下面來求.由定義, = ,將往平面上投影,其投影區(qū)域為=利用二重積分的中值定理:, 得 =又為上任一點,故不妨令, , =事實上,由 也很快能得到上式.例1 設為圓錐面介于與之間得部分,求解: , , 又在平面上的投影區(qū)域為.例2 是與圍成的閉曲面.解: 在面的投影區(qū)域為 =+ =+ =+ =

18、例3 是被 所截下的一塊曲面.解: 由于關于面對稱,而是的奇函數, 故.從而原式=在面的投影區(qū)域為 關于軸對稱. 原式= (被積函數是關于的偶函數,且關于軸對稱)= (為對稱區(qū)域的一半)=.第六節(jié) 第二型曲面積分一 第二型曲面積分的概念和性質首先介紹雙側曲面和有向曲面的概念.我們通常遇到的曲面都是雙側的,如果規(guī)定某側為正側,則另一側為負側.對簡單閉曲面如球面有內側和外側之分;對曲面有上、下側之分;曲面有左、右之分；曲面有前、后側之分。在討論第二型曲面積分時，我們需要選定曲面的側。所謂側的選定，就是曲面上每點的法線方向的選定。具體的說，對于簡單閉曲面，如果它的法向量指向朝外，我們認定曲面為外側；

19、對曲面，如果它的法向量指向朝上，我們就認定曲面為上側.因此我們稱規(guī)定了側的曲面為有向曲面.習慣上對簡單閉曲面,規(guī)定外側為正側,內側為負側,對規(guī)定上側為正側,即法向量與軸正向夾角小于的一側為正側.類似地,對規(guī)定右側為正側;對規(guī)定前側為正側.設為一有向曲面,在上取一小塊曲面,將投影到平面上,得一投影區(qū)域.記投影區(qū)域得面積為.假設上各點得法向量與軸的夾角的余弦具有相同的符號.規(guī)定在平面上的投影為: 可見,總為正,可正可負.事實上,定義: 設為光滑的有向曲面,函數在上有界.將分成若干個小塊(也表示其面積),.在面的投影為,又在上任取一點,如果當小曲面的直徑的最大值時,極限存在,則稱該極限值為函數在有向

20、曲面上對坐標的曲面積分,記作 ,即=.其中稱為被積函數,稱為積分曲面.類似地,我們可定義在有向曲面上對的曲面積分:;在有向曲面上對的曲面積分:.即=注1: 前面我們所規(guī)定的的正側時就而言的,對于,中的正側,我們分別規(guī)定:前正后負,右正左負.事實上,是分別用與軸正向,正向夾角為銳角的法向量的指向為正側.2: 中的與中的不同.前者可正可負,是的象征,后者恒正,是的象征.3: 一般地都假定,在上都連續(xù),使得積分存在.這時可定義:為一般的第二型曲面積分或對坐標的曲面積分.其中左邊的為指定的一側,而右邊的三個的正向視情況不同而依各自的規(guī)定設定,此條須特別注意.物理意義 某物體的速度從曲面的一側;流向另一

21、側時的總流量為:曲面積分的性質:性質!:若曲面=+, 則 性質2:若表示的負側曲面,則 .二、第二型曲線積分的計算法設積分曲面是由所決定的曲面的上側,在平面上的投影區(qū)域為.在上具有連續(xù)的一階偏導數,被積函數在上連續(xù).下面來求. 由定義知:=又此處取上側,故= = 轉化為上面這個二重積分來計算. 若取下側,則有 , 故有=.同理, 若的方程為,則有當取前側時,右邊取“+”,當取后側時,右邊取“”.其中為在平面上的投影區(qū)域. 若為,則有其中為在平面上的投影區(qū)域. 當取右側時,右邊取“+”,當取左側時,右邊取“”.例1 計算.其中由球面在部分的外側.解: 在面的投影為 : 又曲面為由公式得, =例3

22、 求,其中由平面與三個坐標面所圍成得四面體得表面.取其外側.解: 由可分為,和四個小塊(如圖),它們的方程分別為:,:,:,:.當取外側時,取下側,取后側,取左側,取正側. 不難驗證 ,同理 .下求上的積分.此時 =+ =+=.三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設為有向曲面,方程為.在平面上的投影區(qū)域為,在上具有連續(xù)的一階偏導數.在上連續(xù).若取上側,則=.又當取上側時,上任一點處的法線向量的方向余弦為 , , 由公式,得 = =.即 =. 當取上側時成立.又若取下側,右端的也要改變符號.故此時,上式仍然成立.因此,不管取哪一側,上式均成立.又由積分曲面的可加性,對任一有向曲面上式成立.同理,對于為任一

23、有向曲面,下列等式也成立:=合起來,即得: . 這就是兩類曲面積分的聯(lián)系.其中,為上任一點處的指向的側的法線向量的方向余弦.第七節(jié) 高斯公式與斯托克斯公式一、 高斯公式高斯(Gauss)公式表達的是空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系,這是格林公式的推廣.高斯(Gauss)公式: 設空間有界閉曲面V是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數,在V上具有連續(xù)偏導數,則有: =其中左端的曲面積分是沿邊界曲面的外側.證 先假定穿過V內部且平行于坐標軸的直線與有兩個交點(如圖),設分成上、下兩塊和,和的方程分別為和,則由曲面積分的計算公式,有=+=又由三重積分法,有=從而得=類似可證=, =把

24、以上三式相加,即得高斯公式:=.如果穿過V內部且平行于坐標軸的直線于邊界曲面的交點為兩個這一條不滿足,那么我們可用添加輔助曲面的方法把V分成若干個滿足這樣條件的閉區(qū)域.由于沿輔助曲面相反兩側的兩個曲面積分絕對值相等而符號相反,相加時正好抵消,因此對一般閉曲面V高斯公式也成立.注1: 由上一節(jié)的內容,高斯公式也可以表示成:= 注2: 利用三重積分計算曲面積分,利用二重積分計算曲線積分.例 1 計算如圖,取外側. 解: ,由高斯公式,得 原式=例2 計算是介于與之間的曲面.取其外側. 解: 由于不是封閉的曲面,故不能直接利用高斯公式.所以,加一個曲面,取其上側.這樣,就構成了一個封閉的曲面,設其圍成的區(qū)域為V,在面的投影區(qū)域為.由圖象中可以觀察到V關于面對稱.由兩類曲面積分之間的關系及高斯公式,得 = = =+由于V關于面對稱,故=從而 = =.定理: 設空間開區(qū)域G是一個單連通區(qū)域,在G內具有連續(xù)的一階偏導數.下面三條命題等價: (1)若為G內的一個封閉曲面,則 =(2)若為G內的一個曲面,曲面積分與無關,只與的邊界曲線有關.(3)在G內恒有: . (證明略)二、 斯托克斯公式斯托克斯