1、-第二章習題1 初始時刻位于的質點在某時刻的位置為，其中，求格林應變張量的分量。解 采用拉格朗日描述法，得由格林應變張量，得習題2 證明是二階對稱張量的分量，而不是任何張量的分量。證明 （1） ，顯然可得其對稱性對于笛卡爾直角坐標系和，各坐標軸之間的方向余弦如下表由彈性力學理論知，恰與張量定義相吻合，是二階對稱張量的分量（2）設有一剪應變張量，其分量取任一矢量，則，但不能縮并為，與假設是張量矛盾。根據張量的商判則，不是任何張量的分量。習題3 為求平面應變分量、，將電阻應變片分別貼在方向，與成和方向上，測得應變值以、表示，試求、解 平面應變狀態下，沿方向，與成和方向上的方向余弦分別為根據方向線元

2、的工程正應變公式，得求得習題4 假設體積不可壓縮位移與很小，在一定區域內已知，其中，為常數，求。解 題目條件適用小變形，得體積不可壓縮， 即習題5 在平面應變狀態下，使用直角坐標和極坐標中應變分量、位移分量的轉換公式，寫出在極坐標中的應變和位移的關系式。解 在平面應變狀態下，由應變分量轉換公式，得 （1）代入，即 （2） （3） （4）因此， （5） （6）將式（2）-（6）代入式（1），得平面應變狀態下，極坐標中的應變和位移的關系式：習題7 證明由下式確定的應變恒滿足變形協調方程，。證明 對于單值連續位移場，并存在三階以上連續偏導數時，偏導數的值與求導順序無關關于，對稱；關于，對稱對于排列符

3、號關于，反對稱；關于，反對稱即應變恒滿足變形協調方程，習題8 假定物體被加熱至定常溫度場時，應變分量為；，其中為線膨脹系數，試根據應變協調方程確定溫度場的函數形式。解 由應變協調方程，得又定常溫度場應滿足拉普拉斯方程，故的函數形式中不應含有高于或等于2次的項溫度場的函數形式為其中，和均為常數。習題9 試導出平面應變軸對稱情況下的應變協調方程解 軸對稱平面應變情況下，應變分量為因此，平面應變軸對稱情況下的應變協調方程為習題10 在某一平面軸對稱變形情況下，軸向應變為常數，試確定其余兩個應變分量和的表達式（材料是不可壓縮的）解 平面軸對稱情況下，變形協調條件為：當材料不可壓縮時，體積應變為零，即，

4、代入上式，得解得，式中，C是右邊界條件確定的常數習題11 試問什么類型的曲面在均勻變形后會變成球面。解 均勻變形狀態可表示為其中，為常量設均勻變形前的坐標為，則變形后的坐標為曲面在均勻變形后變成球面，即略去剛體位移，當、為主軸時，變形前的坐標滿足變形前半軸為，的橢球面在均勻變形后會變成球面。特別的，當時，表示球面均勻變形后仍為球面。習題12 若物體內各點的位移分量為，其中，均是常數。試證明，物體內所有各點的應變分量為常數（這種變形狀態稱為均勻變形），并分別證明在均勻變形后的物體內有：（1）直線在變形后仍然是直線；（2）相同方向的直線按同樣的比例伸縮；證明 由位移分量求得物體內各點的應變分量為

5、（1）即物體內所有各點的應變分量為常數（均勻變形）（1）若物體內任意一點，變形后變為坐標和之間的關系為 （2）變形前，直線上的點，和滿足 （3）將式（3）代入式（2），并整理，得 （4）式（4）表明直線在均勻變形后仍然是直線（2）變形前連接兩點，的直線長度為，方向余弦為、，變形后的兩對應點，的直線長度為，方向余弦為、（圖2.1）將式（2）代入上式，得 （5）將上式兩端除以，得 （7）而 （6）對于方向相同的直線，具有相等的方向余弦、，在均勻變形情況下，由式（6）和（7），知為常數。即相同方向的直線按同樣的比例伸縮；習題13 物體的位移對稱于坐標原點，試用球坐標和笛卡兒坐標表示位移分量和應變分量。