1、§12.6離散型隨機變量的均值與方差、正態分布1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量X的標準差2均值與方差的性質(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數)3兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(

2、2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)4正態分布(1)正態曲線：函數，(x)e，x(，)，其中和為參數(>0，R)我們稱函數、(x)的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線(2)正態曲線的性質：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關于直線x對稱；曲線在x處達到峰值；曲線與x軸之間的面積為_1_；當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當一定時，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b (a<

3、;b)，隨機變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態分布，記作XN(，2)正態總體在三個特殊區間內取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量，它不確定()(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小( )(3)正態分布中的參數和完全確定了正態分布，參數是正態分布的期望，是正態分布的標準差()(4)一個隨機變量如果是眾多的、互

4、不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布( )2設隨機變量的分布列為P(k)(k2,4,6,8,10)，則D()等于()A5 B8 C10 D163設隨機變量X服從正態分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則c等于()A1 B2 C3 D44有一批產品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數，則D(X)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_題型一離散型隨機變量的均值、方差例1(2013·浙江)設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，

5、c個藍球，且規定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現從袋中任取一球，表示所取球的標號(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值題型二二項分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B，系統A和系統B在任意時刻發生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求p的值；(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量，求的分布列及數學期望E()假設某

6、班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節課上課預備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關閉，且概率均為0.5.記此時教室里敞開的窗戶個數為X.(1)求X的分布列；(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關閉，班長就會將關閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變記每天上午第三節課上課時該教室里敞開的窗戶個數為Y，求Y的數學期望題型三正態分布的應用例3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態分布N(80,52)，現已知該班同學中成績在8085分的有17人試計算該班成績在90分以上的同學有多少人在某次數學考試中，考生的成績服從正態分布，即N(100,100)，已知滿分為150分(1)試求考試成績位于區間(80

7、,120內的概率；(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數離散型隨機變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個數；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值；(3)設P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設表示摸出紅球的總次數，求的分布列和均值思維啟迪(1)概率的應用，知甲袋中總球數為10和摸

8、1個為紅球的概率，求紅球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，關鍵是求的所有可能值及每個值所對應的概率規范解答解(1)設甲袋中紅球的個數為x，依題意得x10×4.3分(2)由已知，得，解得P2.6分(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.8分所以的分布列為0123P10分所以E()0×1×2×3×.12分求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步

9、驟：第一步：確定隨機變量的所有可能值第二步：求每一個可能值所對應的概率第三步：列出離散型隨機變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關鍵點、易錯點和答題規范溫馨提醒(1)本題重點考查了概率、離散型隨機變量的分布列、均值(2)本題解答中的典型錯誤是計算不準確以及解答不規范如第(3)問中，不明確寫出的所有可能值，不逐個求概率，這都屬于解答不規范方法與技巧1均值與方差的常用性質掌握下述有關性質，會給解題帶來方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和

10、標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量的均值 、方差，求的線性函數ab的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關于正態總體在某個區域內取值的概率求法(1)熟記P(<X)，P(2<X2)，P(3<X3)的值(2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.正態曲線關于直線x對稱，從而在關于x對稱的區間上概率相等P(X<a)1P(Xa)，P(x<a)P(Xa)(3)3原則在實際應用中，通常認為服從正態分布N(，2)的隨機變量只取(3，3之間的

11、值，取該區間外的值的概率很小，通常認為一次試驗幾乎不可能發生失誤與防范1在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式2對于應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差.A組專項基礎訓練一、選擇題1正態總體N(1,9)在區間(2,3)和(1,0)上取值的概率分別為m，n，則()Am>n Bm<nCmn D不確定2已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D83(2013·湖北) 如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割

12、為125個同 樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數為X，則X的均值E(X)等于()A. B.C. D.4某種種子每粒發芽的概率都為0.9，現播種了1 000粒，對于沒有發芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為()A100 B200 C300 D4005一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數目X的期望值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4二、填空題6從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為X012P7 已知隨機變量的分布列為P(k)，k1,2,3，n，則P(2<5)_.8已知某次英語考試的成績X服從正態分布N(116,64)，則10 000名考生中成績在140分以上的人數為_三、解答題9某超市為了響應環保要求，鼓勵顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優惠；對需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購買費，也不享受折扣優惠假設該超市在某個時段內購物的人數為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現從這36人中隨機抽取兩人(1)求這兩人都享受折扣優惠或都不享受折扣優惠的概率；(2)設這兩人中享受折扣優惠的人數為，求的分布列和數學期望10為了某項大型活動能