1、武漢龍文教育學科輔導講義授課對象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時間5-5授課題目不等式（二）課 型復習使用教具講義、白紙教學目標靈活的運用均值不等式和柯西不等式求最值教學重點和難點重點和難點在于如何用有效的方法去解決最值問題參考教材網資教學流程及授課詳案1、 柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式： 當且僅當時，等號成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若，則（1）是正數；（2）和（）或（）為定值；（3）當且僅當時，取等號。在運用均值不等式解題時，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技

2、巧性轉化、變形，才能求得正確的最值。 二例題：1、 柯西不等式向量求最值 1、設，試求的最大值與最小值。答：根據柯西不等式 即 而有 故的最大值為15，最小值為15。2、設，試求之最小值。答案：考慮以下兩組向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根據柯西不等式，就有 即 將代入其中，得 而有 故之最小值為4。3、設，求的最小值m，并求此時x、y、z之值。Ans：4 設x，y，z Î R，2x + 2y + z + 8 = 0，則(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值為解： 2x + 2y + z + 8 = 0Þ2(x - 1

3、) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 £ (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)Þ(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 ³= 95設x, y, zR，若，則之最小值為_，又此時_。解： Þ2x - 3(y - 1) + z =( )，考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：最小值6 設a，b，c均為正數且a

4、+ b + c = 9，則之最小值為解：考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)Þ()9 ³ (2 + 3 + 4)2 = 81 Þ³ = 97、設a, b, c均為正數，且，則之最小值為_，此時_。解：考慮以下兩組向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值為18 等號發生于 故 又 2、均值不等式幾種常見的方法一、湊正值例1 設x<1，求函數的最值。分析：欲用均值不等式來解。因，則不滿足“正”的條件，故需利用已知條件調整其符號。解：因為，即，所以，則。當且僅當，即時，y有最大值，且，y無

5、最小值。評注：（1）本題通過“湊”，利用條件將有關項化為正值，從而滿足公式中正的條件。否則就會出現，則的錯誤。（2）對于分式函數，常常等價轉化為的形式再求最值。常用的轉化方法有分離系數法、換元法等。二、變定值例2 求函數的最小值。分析：因并非“定值”，故不能直接運用均值不等式，為此需對原式按拆（添）項重組。解：原函數化為因為所以。當且僅當即x=1，x=1時，。評注：通過拆（添）項，“變”也定值是本題求解的關鍵。對此要弄清以“誰”為“基準”（如本題中以為基準）來拆、添、配、湊，做到有的放矢。例3 求函數的最大值。分析：因定值，故需拆湊使其滿足定值條件，原函數中有一個因式，為使其余因式與（）之和為

6、定值，需以（）為準將拆成，這時就有定值。解：。當且僅當，即時，。評注：一般說，湊“和”為定值較難，它需要一定的技巧。當然這種技巧來源于對均值定理的真正理解和基本的恒等變形能力。三、找等號例4 求函數的最小值。錯解：直接利用均值不等式，得所以。這種解法之所以錯誤，原因是，即取不到“等”的條件。正解：原函數拆項，得因為，當且僅當即時等號成立，又因為所以，當且僅當時取等號。上面兩式同時取等號，故。評注：錯解中取不到等號成立的條件是當時，則，這是不可能的。本例也告訴我們，在用均值不等式求三角函數最值時，既要考慮等號，又要考慮三角函數的有界性，使等號成立的條件與三角函數的有界性保持一致。四、綜合變換例5

7、 求函數的最小值，下列解法是否正確？為什么？解法1：，所以。解法2：當，即時，。評注：所給兩種解法均有錯誤。解法1錯在取不到“等”，即不存在x使，解法2錯在不是定值。正解：對原函數合理拆（添）項，得當且僅當，即時，。通過以上幾例我們體會到：均值定理真重要，用于最值有訣竅，正確理解“正、定、等”，合理進行拆、拼、湊。練習：1. 已知x>0，y>0，且，求的最小值。2. 若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3. 求的最大值。答案與提示：1. 由（定值），又知x>1，y>9，故當且僅當x1=y9=3，即x=4，y=12時，。2. 由，得3. ，此時，故當時，。一

8、、配湊1. 湊系數例1. 當時，求的最大值。2. 湊項例2. 已知，求函數的最大值。3. 分離例3. 求的值域。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。三、換元例5. 求函數的最大值。四、取平方例6. 求函數的最大值。練一練1. 若，求的最大值。2. 求函數的最小值。3. 求函數的最小值。4. 已知，且，求的最小值。5 設是滿足的正數，則的最大值是( )6若，且恒成立，則a的最小值是( )78 已知函數f(x)=,x1,+(1)當a=時，求函數f(x)的最小值 (2)若對任意x1,+,f(x)>0恒成立，試求實數a的取值范圍9已知，且，則的最大值為10設且，求的最大值11求的最小值。12、設x，y，z Î R且，求x + y