1、1青苗C學班一般地一般地, ,實數實數 與向量與向量 的積是一個向量的積是一個向量, ,記作記作: : aa(1)(2)當當 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同; 當當 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同;(3)當當 時時,或或 時時,| |;aa000aaaa0a一、數乘的定義：一、數乘的定義：它的長度和方向規定如下它的長度和方向規定如下:二、二、數乘數乘的運算律：的運算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(1)(1)結合律結合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :()()aa ()aaa()abab0a2青苗C學班1. 1. 定理定理: :向量向量 與

2、非零向量與非零向量 共線的共線的充要條件充要條件是有是有且只有一個實數且只有一個實數 , ,使得使得. . abab三、向量共線的充要條件：三、向量共線的充要條件： 利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩直線平行問題利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點共線和兩直線平行問題. .但要注但要注意的是意的是: :向量平行和直線平行在重合概念上有區別向量平行和直線平行在重合概念上有區別. .一般說兩直線平行不包含兩直線一般說兩直線平行不包含兩直線重合重合, ,而兩向量平行則含兩向量重合而兩向量平行則含兩向量重合. . 3青苗C學班探究探究1 1探究探究2 2. 212121之之間間的

3、的關關系系，與與不不共共線線，探探究究向向量量與與是是同同一一平平面面內內任任一一向向量量共共起起點點，向向量量，與與向向量量向向量量eeaeeaeea. 2121之間的關系之間的關系，與與量量內的任一向量，探究向內的任一向量，探究向是這一平面是這一平面個向量，向量個向量，向量同一平面內不共線的兩同一平面內不共線的兩，向量向量eeaaee知識點一知識點一 平面向量基本定理平面向量基本定理1e2ea分解分解平移平移共同起點共同起點1e1ea2eOABOBOAa11eOA22eOB2211eea2ea1 1平面向量基本定理平面向量基本定理 (1)定理： 如果定理： 如果向量向量 是同一平面內的兩個

4、是同一平面內的兩個不共線不共線向向量，那么對于這一平面內的量，那么對于這一平面內的任意任意向量向量 ，有且只有一對有且只有一對實數實數1，2，使，使得得 . (2)基底：基底：不共線不共線的向量的向量 叫做表示這一平面內叫做表示這一平面內所有所有向量的一組向量的一組基底基底 21ee , a2211eea 21 , ee2. 2. 定理說明定理說明（1 1）基底）基底 不共線，零向量不能做基底不共線，零向量不能做基底. .21ee 、（2 2）定理中向量）定理中向量 是任一向量，實數是任一向量，實數 唯一唯一. .a21 與與（3 3） 叫做向量叫做向量 關于基底關于基底 的分解式的分解式.

5、. 2211ee a21 , ee(4)基底給定時基底給定時,分解形式唯一分解形式唯一. 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析思路分析：思路分析：要判斷要判斷 ，能否作為基底，只需看，能否作為基底，只需看 ， 是否是否 共線，若共線，則不能作為基底；否則可以作為基底共線，若共線，則不能作為基底；否則可以作為基底 cdcd試試判判斷斷不不共共線線，且且，若若向向量量,badbacba232【例例1 1】. 能能否否作作為為基基底底與與向向量量dc勝利彼岸勝利彼岸) ( ee作為基底的作為基底的下面的四組向量中不能下面的四組向量中不能量的一組基底，則量的一組基底，則所有向所有向是表示平面

6、內是表示平面內，若若跟蹤練習跟蹤練習21. D. 33 .C 6423 B. . A212122112212121eeeeeeeeeeeeeee和和和和和和和和 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析思路分析：思路分析：畫出畫出平行四邊形平行四邊形，以以 作為基作為基底底， 利用向量加法的三角形或平行四邊形法則轉化利用向量加法的三角形或平行四邊形法則轉化 表示表示 aba b勝利彼岸勝利彼岸, a b._,/, .的值為的值為則實數則實數且且向量向量的一組基底，若向量的一組基底，若向量是表示平面內所有向量是表示平面內所有向量，設向量設向量變式訓練變式訓練baeebeeaee212121

7、2 .,.上上一定在直線一定在直線并且滿足上式的點并且滿足上式的點的分解式為的分解式為關于基底關于基底，使得，使得存在實數存在實數求證：直線上任意一點求證：直線上任意一點外一點，外一點，是直線是直線上任意兩點，點上任意兩點，點是直線是直線，已知點已知點例例lPOBOAtOPOBOAOPtPlolBA )( 3 1 典典 例例 精精 析析 典典 例例 精精 析析勝利彼岸勝利彼岸思路分析：思路分析：以基底為出發點，應用平面向以基底為出發點，應用平面向量基本定理結合向量共線，推證結論量基本定理結合向量共線，推證結論. . 課本課本P P9797例例2 2BOPA),OBOAOPABPt （的中點，則

8、的中點，則是是點點令令2121OPAB 鞏鞏 固固 練練 習習 鞏鞏 固固 練練 習習. _ _;), , , 3. 則則（若若的的重重心心，設設為為已已知知RbaAGbACaABABCG._,. 122123642eeeBCeABABCDo則則的的中中心心，是是平平行行四四邊邊形形若若點點 拓拓 展展 反反 饋饋 拓拓 展展 反反 饋饋1.1.下面三種說法：下面三種說法：一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；量的基底；一個平面內有無數多對不共線向量可作該平面所有向量的一個平面內有無數多對不共線向量可作該平面所有向量的基底

9、；基底；零向量不可作為基底中的向量，零向量不可作為基底中的向量， 其中正確的說法是其中正確的說法是( ( ) )A A B B C C D D知識點二、向量的夾角與垂直知識點二、向量的夾角與垂直:OABba兩個非零向量兩個非零向量 和和 ,作作 ， ,則則abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夾角夾角OAa OBb ab夾角的范圍：夾角的范圍：00180,0180 與與 反向反向abOABab記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:兩向量必須兩向量必須是是同起點同起點的的0 與與 同向同向abOABab特別的：特別的：例例2.在等邊三角形中，求在等邊三角形中，求 (1)A

10、B與與AC的夾角；的夾角； (2)AB與與BC的夾角。的夾角。ABC60C01201. 平面向量基本定理平面向量基本定理2.平面向量基本定理的應用平面向量基本定理的應用3.向量的夾角與垂直向量的夾角與垂直4.轉化思想方法及其應用轉化思想方法及其應用向量的正交分解向量的正交分解121 12212,e eeee e 一個平面向量用一組基底表示成 的形式，我們稱它為向量的分解。當互相垂直時，就稱為向量的正交分解。在平面上，如果選取互相垂直的向量作在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便為基底時，會為我們研究問題帶來方便2.3.2平面向量正交分解及坐標表示平面向量正交分解及

11、坐標表示平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示Oxy平面內的任一向量平面內的任一向量 ,有且只有一對實數有且只有一對實數x,y,使使 成立成立aaxiy j則稱（則稱（x，y）是向量是向量 的坐標的坐標aji 如圖如圖,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,分別取與分別取與x軸、軸、y軸正方向軸正方向同向的兩個同向的兩個單位向量單位向量 作基底作基底.i j 、記作：記作：( , )ax y（1）與）與 相等的向量的坐標均為（相等的向量的坐標均為（x, y)aa注意：注意：a(4)如圖以原點如圖以原點O為起點作為起點作 ，點，點A的位置的位置 被被 唯一確定唯一確定.aOA a Oxy1212a

12、bxxyy且平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示aaji(x, y)A此時點此時點A的坐標即為的坐標即為 的坐標的坐標a（5）區別點的坐標和向量坐標）區別點的坐標和向量坐標相等向量的坐標是相同的相等向量的坐標是相同的,但起點、終點的坐標可以不同但起點、終點的坐標可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）與）與 相等的向量的坐標均為（相等的向量的坐標均為（x, y)a注意：注意：（3）兩個向量）兩個向量 相等的等價條件：相等的等價條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy例例1如圖，用基底如圖，用基底 ， 分別表示向量分別表示向量 并求它們的坐標并求它們的坐標解：由圖可知解：由圖可知1223aAA