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文檔簡介
1、教育資源數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探一、數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)意義數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式,它具有相對(duì)獨(dú)立性。概念反映的是這一類對(duì)象的本質(zhì)屬性,即這類對(duì)象的內(nèi)在的、固有的屬性,而不是表面的屬性,而這類對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,它們已被舍去了具體物質(zhì)屬性和具體的關(guān)系,僅被抽取由量的關(guān)系和形式構(gòu)造。在莫種程度上表現(xiàn)為對(duì)原始對(duì)象具體內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立性。數(shù)學(xué)概念又具有抽象與具體的雙重性。數(shù)學(xué)概念既然代表了一類對(duì)象的本質(zhì)屬性,那么它是抽象的。以“矩形”概念為例,現(xiàn)實(shí)世界中沒見過抽象的矩形,而只能見到形形色色的具體的矩形。從這個(gè)意義上說,數(shù)學(xué)概念“脫離”了現(xiàn)實(shí)。由于數(shù)學(xué)中使用了形式化、符號(hào)化的語
2、言,是數(shù)學(xué)概念離現(xiàn)實(shí)更遠(yuǎn),即抽象程度更高。但同時(shí),正因?yàn)槌橄蟪潭扔撸c現(xiàn)實(shí)的原始對(duì)象聯(lián)系愈弱,才使得數(shù)學(xué)概念應(yīng)用愈廣泛。但不管怎么抽象,高層次的概念總是以低層次的概念為其具體內(nèi)容。且數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)部分,就整個(gè)數(shù)學(xué)體系而言,概念是一個(gè)實(shí)在的東西。所以它既是臭抽象的又是具體的。數(shù)學(xué)概念還具有邏輯聯(lián)系性。數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念都是在原始概念(原名)的基礎(chǔ)上形成的,并采用邏輯定義的方法,以語言或符號(hào)的形式使之固定。其他學(xué)科均沒有數(shù)學(xué)中諸概念那樣具有如此精確的內(nèi)涵和如此豐富、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬄?lián)系。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一項(xiàng)內(nèi)容,是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心,正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)
3、的基礎(chǔ)學(xué)好概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán)。一些學(xué)生數(shù)學(xué)之所以差,概念不清往往是最直接的原因,特別是像我校這樣普通中學(xué)的學(xué)生,數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異。因此抓好概念教學(xué)是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。教學(xué)過程中如果能夠充分考慮到這一因素,抓住有限的概念教學(xué)的契機(jī),以提高大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是完全可以做到的,同時(shí),數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也為學(xué)生的各項(xiàng)能力和素質(zhì)的培養(yǎng)提供了有利條件以及必要保障。從平常數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)際來看,學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)兩種傾向,其一是有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味,不去重視它,不求甚解,導(dǎo)致概念認(rèn)識(shí)和理解模糊;其二是有的學(xué)生對(duì)基本概念雖然重視但
4、只是死記硬背,而不去真正透徹理解,只有機(jī)械的、零碎的認(rèn)識(shí)。這樣久而久之,從而嚴(yán)重影響對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和運(yùn)用。比如有的同學(xué)在解題中得到異面直線的夾角為鈍角,有的同學(xué)認(rèn)為函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn),這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生對(duì)概念認(rèn)識(shí)模糊造成的。只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念,我們才能把握數(shù)學(xué)的知教育資源識(shí)系統(tǒng),才能有正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算,論證和空間想象。從一定意義上說,數(shù)學(xué)水平的高低,取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。二數(shù)學(xué)概念的教學(xué)形式1注重概念的本源、概念產(chǎn)生的基礎(chǔ),體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過程每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識(shí)背景,舍棄這些背景,直接拋給學(xué)生一連串的概念是傳統(tǒng)教學(xué)模式中司空見慣的做法
5、,這種做法常常使學(xué)生感到茫然,丟掉了培養(yǎng)學(xué)生概括能力的極好機(jī)會(huì)。由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和明確規(guī)定性,傳統(tǒng)教學(xué)中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性,在方式上以“告訴”為主讓學(xué)生“占有”新概念,使學(xué)生處于被動(dòng)地位,使思維呈依賴,這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學(xué)生如能在教師創(chuàng)設(shè)的情景中像數(shù)學(xué)家那樣去“想數(shù)學(xué)”,“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程,那么在獲得概念的同時(shí)還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用,我們應(yīng)重視在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學(xué)的第一步,也是形成概念的基礎(chǔ)。概念引入時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生猜想,即讓學(xué)生依
6、據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想象,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想作為數(shù)學(xué)想象表現(xiàn)形式的最高層次,屬于創(chuàng)造性想象,是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力,因此,在概念引入時(shí)培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣,是形成數(shù)學(xué)直覺,發(fā)展數(shù)學(xué)思維,獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì),也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。比如,在立體幾何中異面直線距離的概念,傳統(tǒng)的方法是給出異面直線公垂線的概念,然后指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。教學(xué)可以先讓學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念,如兩點(diǎn)之間的距離,點(diǎn)到直線的距離,兩平行線之間的距離,引導(dǎo)學(xué)生思考這些距離有什
7、么特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)共同的特點(diǎn)是最短與垂直。然后,啟發(fā)學(xué)生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點(diǎn),它們間的距離是最短的?如果存在,應(yīng)當(dāng)有什么特征?于是經(jīng)過共同探索,得出如果這兩點(diǎn)的連線段和兩條異面直線都垂直,則其長是最短的,并通過實(shí)物模型演示確認(rèn)這樣的線段存在,在此基礎(chǔ)上,自然地給出異面直線距離的概念。這樣做,不僅使學(xué)生得到了概括能力的訓(xùn)練,還嘗到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的滋味,認(rèn)識(shí)到距離這個(gè)概念的本質(zhì)屬性。2挖掘概念的內(nèi)涵與外延,理解概念新概念的引入,是對(duì)已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個(gè)層次,逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義,經(jīng)歷了以下三個(gè)循序漸進(jìn)、
8、不斷深化的過程:(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義;(2)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)的定義;(3)任意角的三角函數(shù)的定義。由此概念衍生由:O1、三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào);O2、三角函數(shù)線;O3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;O4、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì);05、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等。可見,三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用。“磨刀不誤砍柴工”,重視概念教學(xué),挖掘概念的內(nèi)涵與外延,有利于學(xué)生理解概念。3尋找新舊概念之間聯(lián)系,掌握概念數(shù)學(xué)中有許多概念都有著密切的聯(lián)系,如平行線段與平行向量,平面角與空間角,方
9、程與不等式,映射與函數(shù)等等,在教學(xué)中應(yīng)善于尋找,分析其聯(lián)系與區(qū)別,有利于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)。再如,函數(shù)概念有兩種定義,一種是初中給出的定義,是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將自變量的每一個(gè)取值,與唯一確定的函數(shù)值對(duì)應(yīng)起來;另一種高中給出的定義,是從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā),其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系是將原象集合中的每一個(gè)元素與象集合中唯一確定的元素對(duì)應(yīng)起來。從歷史上看,初中給出的定義來源于物理公式,而函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)可用圖象、表格、公式等表示,所以高中用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性,更具有一般性。認(rèn)真分析兩種函數(shù)定義,其定義域與值域的含義完全相同,對(duì)
10、應(yīng)關(guān)系本質(zhì)也一樣,只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同,所以兩種函數(shù)的定義,本質(zhì)是一致的。當(dāng)然,對(duì)于函數(shù)概念真正的認(rèn)識(shí)和理解是不容易的,要經(jīng)歷一個(gè)多次接觸的較長的過程。4運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問題,鞏固概念數(shù)學(xué)概念形成之后,通過具體例子,說明概念的內(nèi)涵,認(rèn)識(shí)概念的“原型”,引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用,是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié),此環(huán)節(jié)操作的成功與否,將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固,以及解題能力的形成。例如,當(dāng)我們學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后,進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,提出問題:已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、試求頂點(diǎn)的坐標(biāo)。學(xué)生展開充分的討論,不少學(xué)生運(yùn)用平面解析幾何中學(xué)過的教育資源知識(shí)(如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等),結(jié)合平行四邊形的性質(zhì),提生了各種不同的解法,有的學(xué)生應(yīng)用共線向量的概念給由了解法,還有一些學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過向量坐標(biāo)的概念,把點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)聯(lián)系起來,巧妙地解答了這一問題。學(xué)生通過對(duì)問題的思考,盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發(fā)了學(xué)生的好奇以及探索和創(chuàng)造的欲望,使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造。除此之外,教師通過反例、錯(cuò)解等進(jìn)行辨析,也有利于學(xué)生鞏固概念。總之,要做好數(shù)
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