1、混凝土和其它準脆性材料的塑性損傷模型 這部分介紹的是ABAQUS提供分析混凝土和其它準脆性材料的混凝土塑性損傷模型。ABAQUS 材料庫中也包括分析混凝的其它模型如基于彌散裂紋方法的土本構模型。他們分別是在ABAQUS/Standard “An inelastic constitutive model for concrete,” Section 4.5.1, 中的彌散裂紋模型和在ABAQUS/Explicit, “A cracking model for concrete and other brittle materials,” Section 4.5.3中的脆性開裂模型。混凝土塑性損傷模

2、型主要是用來為分析混凝土結構在循環和動力荷載作用下的提供一個普遍分析模型。該模型也適用于其它準脆性材料如巖石、砂漿和陶瓷的分析；本節將以混凝土的力學行為來演示本模型的一些特點。在較低的圍壓下混凝土表現出脆性性質，主要的失效機制是拉力作用下的開裂失效和壓力作用下的壓碎。當圍壓足夠大能夠阻止裂紋開裂時脆性就不太明顯了。這種情況下混凝土失效主要表現為微孔洞結構的聚集和坍塌，從而導致混凝土的宏觀力學性質表現得像具有強化性質的延性材料那樣。本節介紹的塑性損傷模型并不能有效模擬混凝土在高圍壓作用下的力學行為。而只能模擬混凝土和其它脆性材料在與中等圍壓條件（圍壓通常小于單軸抗壓強度的四分之一或五分之一）下不

3、可逆損傷有關的一些特性。這些特性在宏觀上表現如下：· 單拉和單壓強度不同，單壓強度是單拉強度的10倍甚至更多；· 受拉軟化，而受壓在軟化前存在強化；· 在循環荷載(壓)下存在剛度恢復；· 率敏感性，尤其是強度隨應變率增加而有較大的提高。概論混凝土非粘性塑性損傷模型的基本要點介紹如下：應變率分解對率無關的模型附加假定應變率是可以如下分解的：是總應變率，是應變率的彈性部分，是應變率的塑性部分。應力應變關系應力應變關系為下列彈性標量損傷關系：其中是材料的初始（無損）剛度，是有損剛度，是剛度退化變量其值在0（無損）到1（完全失效）之間變化，與失效機制（開裂和壓碎

4、）相關的損傷導致了彈性剛度的退化。在標量損傷理論框架內，剛度退化是各向同性的，它可由單個標量d來描述。按照傳統連續介質力學觀點，有效應力可定義如下：Cauchy應力通過標量退化變量（d）轉化為有效應力對于任何一個給定的材料截面，因子代表承力的有效面積占總截面積的比重（總截面積剪除受損面積）。在無損時d=0，有效應力等于cauchy應力。然而，當損傷發生后，有效應力比cauchy應力更能代表實際情況，因為損傷后截面承力的是有效無損的面積。因此，可以很方便的用有效應力來建立塑性相關公式。正如后面將要談論的那樣，退化變量的演化是由一組硬化參數和有效應力控制的：即. 硬化變量受拉和受壓的損傷狀態由兩個

5、獨立的硬化變量和描述，他們分別代表受拉和受壓時的等效塑性應變。硬化參數的演化由下式給出（下文將進一步討論）：混凝土的微裂紋和壓碎由不斷增大的硬化變量來描述。這些硬化變量控制著屈服面和彈性剛度退化。他們也與產生新裂紋面所要消耗的斷裂能有密切的關系。屈服函數屈服函數在有效應力空間內代表一個空間曲面，它決定了失效或損傷的狀態。屈服函數，至于本粘性無關的塑性損傷模型其屈服函數的具體形式稍后詳細介紹。流動法則根據流動法則，塑性流動由塑性勢G來確定，形式為：式中為非負的流動因子，塑性勢也是定義在有效應力空間里的。其具體形式稍后介紹。由于使用的是非相關聯流動法則，所以剛度矩陣將會是非對稱的。小結：總之，塑性

6、損傷本構模型的混凝土彈塑性損傷是在有效應力空間和硬化變量來描述的式中和F滿足Kuhn-Tucker條件：Cauchy是由剛度退化變量和有效應力按下式計算得到的。從等式4.5.2-1可以看出，彈塑性關系與剛度退化是非耦合的。式4.5.2-2的優點在于他能方便計算機數值計算。此處總結的非粘性塑性損傷模型可以很輕易地進行拓展就能考慮粘塑性影響了，只要允許有效應力超出屈服面然后對其歸一化就可以了。損傷和剛度退化硬化變量，的演化規律可以很方便的先通過考慮單軸情況在推廣到多軸情況來確定（但實際上從單軸到多軸的推廣往往并不容易的，譯者認為）單軸情況演化：首先假定單軸應力-應變關系可以通過下式轉化成應力-塑性

7、應變關系：式中下表t c分別代表拉壓。和是拉壓時的等效塑性應變率，和 是拉壓等型塑性應變，是溫度，是其它預定義常變量。在單軸拉壓情況下有效塑性應變率為：這一節里面我們約定是正數，它代表的是單壓時的應力值，即。正如在圖4.5.2-1中顯示的那樣，當從應力-應變曲線的應變軟化段卸載時，可以發現卸載的響應是退化了的，也就是說材料的彈性模量看起來變小了（損傷了）。彈性剛度的損傷在拉壓試驗中表現是大不相同的。但在拉壓兩種情況中，隨著塑性變形的增加損傷效果都是越來越明顯的。混凝土的損傷響應由兩個獨立的單軸損傷變量和 ,控制，他們是塑性應變、溫度和其它行變量的函數。圖4.5.21，混凝土單軸拉和壓應力-應變

8、曲線單軸剛度退化變量是等效塑性應變的非減函數，他們的取值范圍在0（無損傷）到1（完全損傷）之間。如果表示材料的初始彈性剛度，那么在單軸拉壓下的應力-應變關系分別為在單軸加載條件下，裂紋是沿著與應力垂直方向發展的。裂紋的成核和擴展就造成了界面有效承載面積的減小，因此就導致了有效應力的增加。在單軸壓是這種承載面積減小的效果還要稍好一點，因為開始是裂紋基本上是平行于應力方向擴展的，但是當壓碎發展到比較厲害時有效承載面積也將顯著地減小。那么有效單軸內聚力和 形式如下有效單軸內聚力決定了屈服（破壞）面的大小。單軸循環加載在單軸循環加載條件下，剛度退化機制比較復雜，它設計到預先存在裂紋的開閉問題和裂紋間的

9、相互作用問題。試驗觀察發現，但循環加載的應力符號變號是反向加載的剛度有所恢復。這種剛度恢復也稱之為“單邊效應”它是混凝土循環加載的一個顯著特點。特別是當應力由拉變為壓時，效應很明顯，這時壓應力使得受拉形成的裂紋閉合從而是受壓剛度得到恢復。混凝土塑性損傷模型假定彈性模量按標量減小變量退化是材料的初始（無損）模量。這個關系式在拉壓曲線中都是成立的，剛度減小變量d是應力狀態和單軸損傷變量和 的函數，在單軸循環條件下ABAQUS假定下式成立：. 式中和應力狀態的函數，引入他們是為了反應由于反向加載時剛度恢復效應，他們定義為：其中，權系數和 這里假定為材料參數，他們分別控制應力反向時的剛度恢復能力。舉例

10、來說，考慮圖4.5.22荷載由拉變成壓的情況。假定材料沒有初始預損傷，也就是及，那么此時有拉應力()時，正如預計的那樣。反之壓應力 ()時 , .。如果那么，材料恢復到受壓無損狀態，反之，若時，材料沒有剛度恢復。當在0-1之間取值時表示剛度只能部分恢復。Wc=0沒有恢復，從圖中可以看到斜率沒有變化。Wc=1,從圖中可以看出斜率恢復為E。圖4.5.22受壓剛度恢復參數效應的示意圖單軸循環加載時的等效塑性演化方程也可以進行推廣如下：它在單拉或單壓就退化為方程4.5.2-4的形式。多軸情況有必要把硬化變量的演化規律推廣到多軸情況下，在Lee and Fenves (1998)的工作基礎上，假定有效塑

11、性應變率可由下式計算得到：式中和分別是塑性應變率張量的最大和最小主值。是拉壓應力權重系數，若有效應力張量三個主值全是正時為1，反之為0。Macauley 運算 定義為： 。單軸加載情況下方程4.5.2-8退化為單軸定義式4.5.2-4和4.5.2-7，因為此時單拉時，單壓時。若果對塑性應變率張量的主值進行排序如：，那么多軸普通應力條件下等效塑性應變率演化可以寫成一下矩陣形式：，。彈性剛度退化混凝土塑性損傷模型認為混凝土的彈性剛度退化是各向同性的，且可以用一個單標量寫成如下形式：式中的剛度退化標量變量d必須與單軸單調加載時的響應一致，同時還要能夠反應在循環加載退化機制帶來的復雜性。對普通多軸加載

12、情況ABAQUS假定，形式上與單軸相同，只是現在通過應力權重系數將它推廣到多軸情況了：顯然，很容易驗證方程4.5.2-10的標量退化式與單軸加載時是一致的。很多準脆性材料（混凝土）的試驗表明，當拉應力換到壓應力時由于裂紋閉合受壓剛度將會恢復。但是另一方面，當受壓時的微裂紋壓碎時，由受壓換到受拉時的受拉剛度將不會恢復。鑒于此，ABAQUS默認條件下，假定及即只有受壓剛度恢復而沒有受拉剛度恢復。圖4.5.2-3就是默認條件下的一個應力循環的曲線圖圖4.5.2-3 默認條件下（，.）單軸應力循環曲線圖（拉-壓-拉）屈服條件本模型的屈服條件基于Lubliner 等人(1989)建議的屈服函數，它綜合了

13、Lee and Fenves (1998)的修正以考慮拉壓不同時強度的不同演化規律。用有效應力表達時的屈服函數為：式中和是無量綱材料參數是有效靜水壓力，是Mises等效應力，是有效應力張量的偏量部分，而是的代數最大主值，函數形式如下式中和 分別為有效拉壓內聚力。在雙軸受壓時，方程4.5.2-11就退化為Drucker-Prage屈服條件，材料系數可由單軸受壓強度和雙軸受壓強度比值給出：一般材性試驗給出的單雙受壓強度比值在1.10 -1.16之間，那么取值在0.08 -0.12 之間(Lubliner et al., 1989)系數只在三維受壓時才出現在公式中，它可以通過比較沿拉壓子午線的強度比

14、值得到。根據定義拉子午線是滿足主應力空間中的軌跡線，而壓子午線是滿足的軌跡線。其中，和 是應力主值。顯然易求得，沿拉壓子午線其表達式為：，。當時，響應的屈服準則為：令，為靜水壓力，那么就有。事實上大多數試驗也并沒有證明是變化的，因此就可求出。對于混凝土來說一般取，那么。當時，沿拉壓子午線的屈服函數就簡化為：同理令，那么。在偏平面上典型的屈服面見圖4.5.2-4，圖4.5.2-5是平面應力時的屈服面。圖4.5.2-4：對應于不同的值在片平面內的屈服面。圖4.5.2-5平面應力時的屈服面。流動法則本模型取的是非關聯流動法則：塑性勢G取為Drucker-Prager雙曲函數的形式式中是pq面內高圍壓

15、時的膨脹角，是單軸抗拉強度，是勢函數偏心率，它描述勢函數向其漸近線逼近的速度（當偏心率趨于零時，流動勢函數趨于直線）。流動勢函數的連續光滑性保證了流動方向的唯一性。當圍壓很高時流動勢函數漸近于線性Drucker-Prager勢函數，且與靜水軸的交角是90度。在“Models for granular or polymer behavior,” Section 4.4.2,中對這個勢函數有詳細的討論。因為采用了非關聯流動法則，剛度矩陣將會出現非對稱。粘塑性歸一化在隱式分析程序里，當材料模型出現軟化或剛度退化是往往難收斂。有些收斂困難可以通過對模型的粘塑性歸一化來解決。本模型可用粘塑性歸一化，因而就允許有效應力超出屈服面。根據Duvaut-Lions歸一化粘塑性應變定義為：式中是粘性參數表征粘塑性系統隨時間