1、第三章上機習題用你所熟悉的的計算機語言編制利用QR分解求解線性方程組和線性最小二乘問題的通用子程序，弁用你編制的子程序完成下面的計算任務：(1)求解第一章上機習題中的三個線性方程組，弁將所得的計算結果與前面的結果相比較，說明各方法的優劣；(2)求一個二次多項式y=at2+bt+c,使得在殘向量的2范數下最小的意義下擬合表3.2中的數據;(3)在房產估價的線性模型yxoa1x1a2X2aiixii中，a1,a2廠，an分別表示稅、浴室數目、占地面積、車庫數目、房屋數目、居室數目、房齡、建筑類型、戶型及壁爐數目，y代表房屋價格。現根據表3.3和表3.4給出的28組數據，求出模型中參數的最小二乘結果

2、。(表3.3和表3.4見課本P99-100)解分析：(1)計算一個Householder變換H:由于HI2wwT="|VvT,則計算一個Householder變換H等價于計算相應的、v其中vXJ|x12ei,®二2/(vtv)o在實際計算中，為避免出現兩個相近的數出現的情形，當x1>0時，令V1=-(x2+xn2)；x1|x|2為便于儲存，將V規格化為v=v/V1,相應的，F變為爭:2v2/(vtv)1為防止溢出現象，用x/|x但代替(2) QR分解：利用Householder變換逐步將Am產，m'n轉化為上三角矩陣二'=HnHf彳H1A,則有A八RA

3、Q,*中 Q 0=HiH2Hn,R=冷(1：n,:)(H j ) ( m k 1) -( m k 1)在實際計算中，從j=1：n，若j<.m,依次計算x=A(j:m,j)對應的Ij 1后再次計算Q，有H j "0 00 I Q-H H 2 4 (n 布H j時Q HH 2.Hn j) 1 un i即對應的vj,Pj,將vj(2:m-j*1)儲存到A(j#1:m,j)，平j儲存到d(j),迭代結束-3 -(3)求解線性方程組Ax至b或最小二乘問題的步驟為i計算A的QR分解;ii計算1=t,其中Qi=Q(:,1:n)cQbiii利用回代法求解上三角方程組Rxs(4)對第一章第一個線

4、性方程組，由于R的結果最后一行為零，故使用前代法時不計最后一行，而用運行結果計算X84運算matlab程序為1 計算Householder變換v,belta=house(x)functionv,belta=house(x)n=length(x);x=x/norm(x,inf);sigma=x(2:n)'*x(2:n);v=zeros(n,1);v(2:n,1)=x(2:n);ifsigma=0belta=0;elsealpha=sqrt(x(1)A2+sigma);ifx(1)<=0v(1)=x(1)-alpha;elsev(1)=-sigma/(x(1)+alpha);endb

5、elta=2*v(1)A2/(sigma+v(1)A2);v=v/v(1,1);endend2 計算A的QR分解Q,R=QRfenjie(A)functionQ,R=QRfenjie(A)m,n=size(A);Q=eye(m);forj=1:nifj<mv,belta=house(A(j:m,j);H=eye(m-j+1)-belta*v*v'A(j:m,j:n)=H*A(j:m,j:n);d(j)=belta;A(j+1:m,j)=v(2:m-j+1);endendR=triu(A(1:n,:);forj=1:nifj<mH=eye(m);temp=1;A(j+1:m,

6、j);H(j:m,j:m)=H(j:m,j:m)-d(j)*temp*temp'Q=Q*H;endendend3 解下三角形方程組的前代法x=qiandaifa(L,b)functionx=qiandaifa(L,b)n=length(b);forj=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);x=b;end4 求解第一章上機習題中的三個線性方程組ex3_1clear;clc;%第一題A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83

7、),1);b=7;15*ones(82,1);14;n=length(A);%QR分解Q,R=QRfenjie(A);c=Q'*b;x1=huidaifa(R(1:n-1,1:n-1),c(1:n-1);x1(n)=c(n)-R(n,1:n-1)*x1;%不選主元Gauss消去法L,U=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法L,U,P=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比較'QR 分解 ' );'Gauss' );'PGauss' );figure(1

8、);subplot(1,3,1);plot(1:n,x1);title(subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_1);title(subplot(1,3,3);plot(1:84,x1_2);title(%第二題第一問A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1);n=length(A);%QR分解tic;Q,R=QRfenjie(A);c=Q'*b;x2=huidaifa(R,c);toc;%不選主元Gauss消去法tic;L,U=GaussLA(A);x2_1=

9、Gauss(A,b,L,U);toc;%列主元Gauss消去法tic;L,U,P=GaussCol(A);x2_2=Gauss(A,b,L,U,P);toc;%平方根法tic;L=Cholesky(A);x2_3=Gauss(A,b,L,L');toc;%改進的平方根法tic;L,D=LDLt(A);x2_4=Gauss(A,b,L,D*L');toc;%解的比較'QR 分解 ' );'Gauss' );'PGauss' );' 平方根法' );' 改進的平方根法' );figure(2);subp

10、lot(1,5,1);plot(1:n,x2);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x2_1);title(subplot(1,5,3);plot(1:n,x2_2);title(subplot(1,5,4);plot(1:n,x2_3);title(subplot(1,5,5);plot(1:n,x2_4);title(%第二題第二問- 8 -A=hilb(40);b=sum(A);b=b'n=length(A);Q,R=QRfenjie(A);c=Q'*b;x3=huidaifa(R,c);%不選主元Gauss消去法L,U=GaussLA(A);x3

11、_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法L,U,P=GaussCol(A);x3_2=Gauss(A,b,L,U,P);%平方根法L=Cholesky(A);x3_3=Gauss(A,b,L,L');%改進的平方根法L,D=LDLt(A);x3_4=Gauss(A,b,L,D*L');%解的比較figure(3);subplot(1,5,1);plot(1:n,x3);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x3_1);title(subplot(1,5,3);plot(1:n,x3_2);title(subplot(1,5,4);plo

12、t(1:n,x3_3);title(subplot(1,5,5);plot(1:n,x3_4);title('QR分解');'Gauss');'PGauss');'平方根法');'改進的平方根法');5求解二次多項式ex3_2clear;clc;t=-1-0.75-0.500.250.50.75;y=10.81250.7511.31251.752.3125;A=ones(7,3);A(:,1)=t'八2;A(:,2)=t'Q,R=QRfenjie(A);Q1=Q(:,1:3);c=Q1'*y

13、'x=huidaifa(R,c)6求解房產估價的線性模型clear;clc;A=xlsread(y=xlsread(Q,R=QRfenjie(A);ex3_3專業課數值代數cha3_3_4.xls'專業課數值代數cha3_3_4.xls','A2:L29');,'M2:M29');Q1=Q(:,1:12);C=Q1'*y;x=huidaifa(R,c);x=x'計算結果為(1)第一章上機習題中的三個線性方程組結果對比圖依次為QR分解1.81.6,：|J1.4.II十1.2-1-1-I0.8"."0.6-

14、0.4*-0.21-0J卜050100x108Gauss6-2-6050100PGauss050100平方根法改進的平方根法QR分解GaussPGauss050100050100050100050100-12 -QR分解GaussPGauss平方根法7改進的平方根法x10020 40020 40250012000-I1500-1000.Mi.500.4恥一0m-500-他產，日II- 1000r卜- 1500-i- 2000102040以第二個線性方程組為例，比較各方法的運行速度。依次為QR分解，不選主元的Gauss消去法，列主元Gauss消去法，平方根法，改進的平方根法。Elapsedtimeis0.034588seconds.Elapsedtimeis0.006237seconds.Elapsedtimeis0.009689seconds.Elapsedtimeis0.030862seconds.Elapsedtimeis0.007622seconds.(2)二次多項式的系數為x=1.00001.00001.0000(3)房產估價的線性模型的系