1、第十三章 非線性電路本章提要 介紹非線性電阻元件及特性，簡單非線性電阻電路的圖解分析法，小信號分析法，分段線性分析法及其它非線性元件。13.1 非線性電阻及其特性 在第一章中已給出了線性電阻的定義，線性電阻的端電壓u與通過它的電流i成正比，即線性電阻的電壓、電流關系受歐姆定律的約束，其特性曲線是在ui平面上過坐標原點的一條直線。非線性電阻的電壓、電流關系不滿足歐姆定律，其特性方程遵循某種特定的非線性函數關系，即 (13-1)非線性電阻的電路符號如圖13.1所示。 +u i -圖13. 1非線性電阻圖形符號非線性電阻種類較多，就其電壓、電流關系而言，有隨時間變化的非線性時變電阻，也有不隨時間變化

2、的非線性定常電阻。本章只介紹非線性定常電阻元件，通常也稱為非線性電阻。常見的非線性電阻一般又分為電流控制電阻、電壓控制電阻和單調電阻等。電流控制電阻是一個二端元件，其端電壓u是電流i的單值函數，即 (13-2)電壓u是電流i的單值函數是指在每給定一個電流值時，可確定唯一的電壓值，如圖13.2 iu 0圖13. 3隧道二極管特性曲線圖13. 2輝光二極管特性曲線 iu 0所示輝光二極管特性曲線，它是一個典型的電流控制的非線性電阻元件的特性。電壓控制電阻元件是一個二端元件，其通過的電流i是電壓u的單值函數，即 (13-3)電流是電壓的單值函數，但電壓可以是多值的，如圖13.3所示隧道二極管的特性曲

3、線，是一個典型的電壓控制非線性電阻元件。單調電阻是一個二端元件，其端電壓u是電流i的單值函數，電流也是電壓的單值函數，即 和 (13-4)同時成立，并且f和g互為反函數，則u、i間函數關系又可以寫為 (13-5)(a) (b)圖13. 4二極管及其特性iu0p + i u - 這種非線性電阻既是電流控制的又是電壓控制的，其特性曲線是單調增長或單調下降，如圖13.4(a)所示的元件圖形符號是電子技術中常用的二極管，它是一個典型的單調型電阻。圖(b)為二極管的ui特性曲線。如果電阻元件的ui（或iu）特性曲線對稱與坐標原點，則稱為雙向型元件。線性電阻都是雙向元件。大多數非線性電阻是非雙向元件，二極

4、管是一個實例。非線性電阻的端電壓和電流的比值，沒有固定的值，有時引入靜態電阻和動態電阻的概念。非線性電阻在某一工作狀態下的靜態電阻R等于該點的電壓u與電流i之比，即 (13-6)在圖13.4中P點處的靜態電阻R等于該點處橫坐標與縱坐標值之比，即電壓值與電流值之比，其值正比與直線OP的斜率，即。非線性電阻在某一工作狀態下的動態電阻Rd等于該點的電壓對電流的導數，即 (13-7)在圖13.4元件的特性曲線中P點處的動態電阻Rd正比與元件的特性曲線P處的斜率，為。對于單調電阻，它的特性曲線的斜率總是正值，所以不論在何處的動態電阻都是正值。但從圖13.2或圖13.3所示的兩個非線性電阻的特性曲線來看，

5、在有的區域內電流隨著電壓的增長反而下降，故在該區域內曲線某點的斜率為負值，因此該處的動態電阻是負值，稱這種元件具有“負阻”性質。 例13-1 設一非線性電阻，其電流、電壓關系為。 試分別求出時的靜態電阻R和動態電阻Rd； 求時的電壓u： 設，試問u12是否等于()？ 解 時的靜態電阻R和動態電阻Rd為 當時上式中,電壓的頻率是電流頻率的4倍，由此可見，利用非線性電阻可以產生與輸入頻率不同輸出，這種特性的功用稱為倍頻作用。 當 時上式顯然可知即疊加定理不適用于非線性電路。13.2 非線性電阻電路的圖解分析 KCL和KVL對非線性電阻電路依然成立，但必須指出，疊加定理并不適用于非線性電路。由于非線

6、性電阻的阻值要隨著其端電壓或通過的電流變化而變化，因此，前面學過的電源等效變換，戴維寧和諾頓定理，回路電流法，節點電壓法等不能直接用于計算非線性電阻電路。 非線性電阻的電壓、電流關系往往難以用解析式表示，即使能用解析式表示也難以求解。一般非線性電阻的電壓、電流關系常以曲線形式給出，所以用圖解法較方便。在簡單非線性電阻電路中，常遇到僅含一個非線性電阻的電路。如圖13.5(a)所示電路中，在N外僅有一個非線性電阻。N中的電路總可以利用戴維寧定理將其用一個獨立電壓源與一線性電阻串聯的組合支路替代，如圖13.5(b)所示的ab左端電路，根據KVL 負載線uUoc0U0P(U0，I0)I0u =f(i）

7、 (a) (b) (c)圖13. 5含一個非線性電阻的電路分析Uoc+ u-b Rega+ u- i R1 R2uS1 uS2Na ibi其外特性方程為 假設Req為正值（在含受控源時可能為負值），該線性含源一端口N的外特性曲線如圖13.5(c)所示是一條直線，直線交于u軸為開路電壓uoc，直線交于i軸值是含源一端口的短路電流。又因非線性電阻接于含源一端口處，所以u和i的關系也滿足非線性電阻的特性，也就是說一端口的特性曲線與非線性電阻的特性曲線的交點P(U0，I0)是要求的解。該點也稱工作點。這種求解的方法稱為曲線相交法。 在電子技術中常用曲線相交法確定晶體管的工作點，把非線性電阻看成負載電阻

8、，一端口的外特性曲線習慣稱作負載線。 如果電路中的非線性電阻元件不止一個，只要它們之間存在著串、并聯的關系，也可以將它們用一等效電阻來代替，此等效電阻一般是非線性的，其伏性曲線可由曲線相加方法得到。兩個非線性電阻元件串聯電路，如圖13.6(a)所示。它們的特性方程分別為u1= f1(i1)，u2= f2(i2)，其特性曲線如圖(c)所示。因為兩個元件是串聯，故有i1 = i2 = i。又根據KVL，可得總電壓，因此，在同一個i值下，將和曲線上對應的電壓值u1，u2相加，可得到此電路的電壓u。取不同的i值可逐點求出、特性曲線，如圖(c)所示。曲線即是圖13.6(a)中兩個串聯非線性電阻的等效電阻

9、的u、i特性，可用一個等效的非線性電阻來表示如圖(b)所示。 (a) (b)+ u -ii+ u1 - + u2 -+ u - 圖13. 6非線性電阻串聯 (c)ui0u1u2u1+u2兩個非線性電阻并聯電路，如圖13.7(a)所示。這兩個非線性電阻的特性方程分別為i1= g 1(u1)，i2=g2 (u2)，其特性曲線如圖13.7(b)所示。 (a) (b) (c)圖13. 7兩個并聯非線性電阻+u-i+ + +u u1 u2 - - -ii1 i2uu0ii1 i2 i1+i2i1=g(u)i2=g(u)i=g(u)根據基爾霍夫電壓和電流定律，對圖13.7(a)有圖13. 8非線性電阻的混

10、聯于是在圖(b)中，只要在同一電壓u值下，將f1(u1)和f2(u2)曲線上對應的電流值i1和i2相加，可得到電流i。依次取不同的電壓值u，可以逐點求得特性曲線i = f(u)，如圖13.7(b)所示。圖(c)所示非線性電阻是圖(a)中兩個非線性電阻并聯后的等效非線性電阻，曲線i = f (u)也是該等效電阻的特性曲線。如果電路中含有若干個并聯和串聯的非線性電阻，可按上述作圖法，依次求出等效的u-i特性曲線。如圖13.8所示非線性電阻混聯電路的情況，可以先畫出兩個并聯非線性電阻等效電阻的特性曲線，然后再畫出此等效非線性電阻與串聯的非線性電阻的特性曲線，即可得到此電路的特性曲線。讀者可以試著繪制

11、曲線。上述方法稱為圖解法，此方法對電流控制電阻和電壓控制電阻的串并聯都適用。13.3 分段線性化方法 分段線性化方法(也稱折線法)是研究非線性電路的一種有效的方法。它的特點在于能把非線性特性曲線用一些分段的直線來近似地逼近，對于每個線段來說，又可應用線性電路的計算方法。（a） (b)圖13. 9 P-n結二極管的VCR的分段線性表示 u u i 0 A i 0 B + i u - + i u - 非線性電阻的特性曲線，用分段線性化來描述。例如圖13.9所示p-n結二極管的特性曲線，該曲線可以粗略地用兩段直線來描述，如圖中粗線A0B。這樣，當這個二極管施加正向電壓時，它相當于一個線性電阻，其電壓

12、、電流關系用直線0B表示；當電壓反向時，二極管截止，電流為零，它相當于電阻值為的電阻，其電壓、電流關系用直線A0表示。理想二極管的電壓、電流關系可由負u軸和正i軸這樣的兩條直線線段組成。理想二極管的符號及其特性曲線如圖(b)所示。理想二極管的特性是：若電壓u > 0(正向偏置)時，則理想二極管工作在電阻為0的線性區域；若u < 0（反向偏置）時，則其工作在電阻為的線性區域。分析理想二極管電路的關鍵，在于確定理想二極管是正向偏置（導通），還是反向偏置（截止）。如果屬于前一種情況，二極管以短路線替代，若屬于后一種情況，則二極管以開路替代，替代后都可以得到一個線性電路，容易求得結果。電路

13、中僅含一個理想二極管時，利用戴維寧定理分析計算十分方便，毋需使用圖解方法。例13-2 求如圖13.10所示電路中理想二極管通過的電流。解 在分析理想二極管電路時，首先確定二極管是否導通。當這個二極管接在復雜的電路中時，可以先把含二極管的支路斷開，利用戴維寧定理求得電路其余部分的戴維寧等效電路后，再把含二極管的支路接上，然后在這個簡單的電路中，確定二極管工作區域，且判斷它是否導通。在圖13.10(a)所示的電路中除去二極管支路以外，由電路的其余部分，可求得其等效電路的電壓Uoc和電阻Req為12K36V18 K6K18V - u +i12V7.2K1K14.4V - u + i12V (a) (

14、b)圖13. 10 例13-2題圖該等效電路如圖13.10(b)所示，由此可得，二極管兩端的電壓，它處于截止狀態，因此二極管不能導通，電流。 在分段線性描述中，凹電阻元件和凸電阻元件是兩個理想的分段線性模型。下面簡單介紹。凹電阻元件（Concave resistor）是一個分段電壓控制電阻元件，其特性曲線如+u-DubR=1/GiG i 0 ub u (a) (b) (c)圖13. 11凹電阻元件的VCR、等效電路及電路符號(G，ub)+u-i圖13.11(a)所示，G表示圖示線性區段的斜率，ub表示折點電壓。凹電阻元件的特性方程為 (13-8)由式(13-8)凹電阻特性方程和圖13.11(a

15、)特性曲線可知當 u < ub時，i = 0；當 u > ub時，。凹電阻元件可由一個理想二極管與電壓為ub的電壓源和電導為G的電阻相互串聯的電路來實現，如圖13.11(b)所示，其電路符號如圖13.11(c)所示。凸電阻元件(Convex resistor)是分段線性電流控制電阻元件，該元件可用線性區段的斜率G和折點電流ib，兩個參數來描述。其特性曲線如圖13.12(a)所示。凸電阻元件的方程為 (13-9)由式(13-9)特性方程及圖13.12(a)特性曲線可知：當i < ib 時，u = 0，當 i > ib 時，凸電阻元件的等效電路如圖13.12(b)所示,它可

16、用一個電流等于ib的電流源與電導等于G的電阻和理想二極管并聯組合來表示。凸電阻元件的電路符號如圖13.11(c)所示。 (a) (b) (c)圖13. 12凸形電阻的VCR、等效電路及電路符號 ib G （R）(R，ib)+u-i0 ui i b G i +u- 例13-3 如圖13.13所示電路，R1 = 1，R2 = 2，US = 1V，IS = 1A，D為理想二極管，求在平面上畫出此特性曲線。 (a) (b) 圖13. 13例13-3題圖a(G，ub)+u-i(R，ib)ab+u-DUSR1i IS R2 D bc 解 圖13.13(a)所示電路，可視為圖(b)所示的一個凹形電阻與一個凸

17、形電阻相串聯電路。二者的特性曲線分別如圖13.14(a)和(b)所示。在圖13.14(a)中，當 時，uac > 0；i = 0時，uac<0。 在圖13.14(b)中，當i > IS時， ；i < is時，。兩個非線性電阻串聯后的特性曲線如圖13.14(c)所示。(a) (b) (c) 圖13. 14例13-3電路的特性曲線1 i 0 1 2 3 u 0 1 2 3 ui3 21 0.50 1 2 3 i3 21 uuu0 ub1 ub2 ui Ga Gb Gc 1 2 3 A0 ub1 ub2 ui G1 G2 G3 B C D E F(a) (b)圖13. 15隧

18、道二極管的VCR的分段線性近似分段線性化處理中，隧道二極管的特性曲線可近似如圖13.15(a)所示，可分1、2、3三個區域三段直線段來表示。每個直線段的斜率分別為Ga、Gb和Gc。而這三段直線可分 i +u - i1 i2 i3G1 (G1，u b1) (G1，u b1)圖13. 16隧道二極管等效電路解為如圖(b)中直線AOB，折線OCD和折線OEF，這3條曲線分別代表了電導為G1的線性電阻、折點為ub1而斜率為G2的凹電阻和折點為ub2而斜率為G3的凹電阻的特性曲線，所以圖13.15(a)的隧道二極管的特性曲線是其等效電路如13.16圖三個元件的并聯的特性曲線。為了使上述等效電路輸入端口的

19、電壓、電流關系與隧道二極管的分段線性近似電壓、電流關系完全相符，圖13.15中的三個參數必須滿足下列關系： 在區域1中 在區域2中和 在區域3中從而得和 上述等效電路的各支路的電流可分別用函數式表示為 根據KCL可得另外，隧道二極管或非線性電阻分段線性化后，每個區域也可用等效無源或有源線性一端口電路表示。這里不在贅述，請讀者自行分析。隧道二極管的靜態工作點可以用圖解的方法確定。但要注意，如果靜態工作點位于圖13.17(a)所示位置，表示Q1、Q2、Q3確實是工作點。如果負載線與分段區域線段的特性交點如圖13.17(b)所示位置，則只有Q3為實際的工作點，而Q1和Q2并不是實際工作點，而是虛點。

20、(a) (b)圖13. 17隧道二極管的靜態工作點i Q1 0 ub1 ub2 u Q2 Q30 ub1 ub2 ui Q1 Q2 Q313.4 小信號分析小信號分析法是分析非線性電阻電路的一種極其獨特的方法。在工程實踐中，特別是在電子電路中，常會遇到既含有作為偏置電路的直流電源又含有交變電源的非線性電路。而且交變電源相對直流電源要小得多。如圖13.18(a)所示電路。US為直流電壓源，us(t)為交變電壓源，且<<US，故稱us(t)為小信號電壓。電阻RS為線性電阻，非線性電阻為電壓控制電阻，其電壓、電流關系，圖13.18(b)為其特性曲線。根據KVL列寫電路方程為 (13-10

21、)Q(U0,I0)US/ R A u i 0 I0 U0(a) (b)圖13. 18非線性電路的小信號分析BUSi=g(u)Us(t)RS+u-iUSi=g(u)又有 (13-11)如果沒有小信號us(t)存在時，該非線性電路的解，可由一端口的特性曲線（負載線）AB與非線性電阻特性曲線相交的交點來確定，即Q(U0，I0)。該交點成為靜態工作點，當有小信號加入后，電路中電流和電壓都隨時間變化，但是由于<<US，指使電路的解和必然在工作點Q(U0，I0)附近變動，因此，電路的解就可以寫為 (13-12)式(13-12)中和是由小信號us(t)引起的偏差。在任何時刻t，和相對U0和I0都

22、是很小的。由于i=g(u)，而u =U0+，所以式(13-12)可寫為 (13-13)因很小，可將式(13-13)右邊項在工作點Q附近用泰勒級數展開表示為 (13-14)考慮到很小，可只取一階近似，而略去高階項，式(13-14)為 (13-15)由于，則式(13-15)可寫為故有 (13-16)式(13-16)中的Gd為非線性電阻在Q點處的動態電導，即動態電阻Rd的倒數，二者取決于非線性電阻在Q點處的斜率，是一個常數。小信號電壓和電流關系可寫為或 (13-17)由式(13-10)和(13-12)可得 (13-18)由于 所以式(13-18)可寫為Rd XXRS iu 圖13. 19小信號等效電

23、路 (13-19)式(13-19)為一線性代數方程，由方程式(13-19)可以畫出一個相應的電路，如圖13.19所示，該電路為非線性電路在工作點處的小信號等效電路。此等效電路為一線性電路，于是求得 通過以上分析，對于既含直流電源又含小信號交變電源的非線性電路，求解步驟為 1計算靜態工作點Q(U0，I0)。 2確定靜態工作點處的動態電阻Rd或動態電導Gd。 3畫出小信號等效電路，并計算小信號響應和。 4求非線性電路的全響應u=U0 +和i= I0 +。例13-4 如圖13.20所示非線性電阻電路，非線性電阻的電壓、電流關系關系為，式中電流i的單位為A，電壓u的單位為V。電阻RS =1，直流電壓源

24、US =3V，直流電流源IS =1A，小信號電壓源us(t) =3×10-3cost V，試求u和i。解 求靜態工作點Q(U0，I0)，小信號源時，由圖(b)電路得iRS(a) (b)圖13. 20例13-4題圖uS(t)+u-USISRS+u-USISiXXRS iu 圖13. 20 (c)小信號等效電路解得靜態工作點Q(U0，I0)= Q(2，2)即 工作點處的動態電導為，動態電阻為,小信號等效電路如圖13.20(c)所示，從而求出小信號響應為求其全響應為13.5 非線性電容和非線性電感第一章介紹的電容是線性電容，它的電荷q與其兩端的電壓u成正比，其電容值為常數。線性電容的特性曲線（也稱為庫伏曲線）為一條過坐標原點的直線。非線性電容的電荷與電壓不成正比，其特性曲線不是一條過坐標原點的直線，而是一