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文檔簡介

1、公選課程非線性分析之對稱與復雜復習提綱1、1904年，瑞典數學家馮·科赫(H·V·Koch)構造了著名的魔線：取單位長度線段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長為E0的的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線段，對E1的每條線段重復同樣的操作后得E2，對E2的每條線段重復同樣的操作后得E3，繼續重復同樣的操作無窮次時所得的曲線F稱為科赫曲線（圖1）. 由上可知，科赫曲線是對E0“”反復實施變換“”形成的，我們稱E0“”為初始元，“”為生成元（或分形元）.圖1題1. 1890年，意大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了著名的皮亞諾曲線，這條曲線最終能填滿整個

2、平面區域. 圖2是它構作的頭幾級，則它的初始元是（ ），生成元是（ ）.(a) (b) (c) (d)圖2解：據觀察，皮亞諾曲線是對直線段（a）不斷施以同一種變換構成的，所以初始元為（a）；在構作的每一步都是將原圖中所有線段三等分，以中間一段為一邊向線段兩旁各作一正方形，所以生成元為（b）題2 . 19151916年，波蘭數學家謝爾賓斯基(W.Sierpinski)將三分康托爾集的構造思想推廣到二維平面，構造出謝爾賓斯基 “墊片”：設E0是邊長為1的等邊三角形區域，將它均分成四個小等邊三角形，去掉中間一個得E1，對E1的每個小等邊三角形進行相同的操作得E2，這樣的操作不斷繼續下去直到無窮，所得

3、圖形F稱為謝爾賓斯基“墊片”（圖3）.它被用作超導現象和非晶態物質的模型. 圖3試指出謝爾賓斯基“墊片”的初始元（ E0 ）和生成元（E1 ）. 題3. 試指出謝爾賓斯基 “地毯”的初始元（ E0 ）和生成元（ E1 ）.圖4題4. 若一分形以單位長線段為初始元，以“”為生成元（其五條小線段的長均為單位線段長的），你能作出此分形構作過程中的一、二、三、四步嗎？題5. 在謝爾賓斯基地毯的生成（圖4）中，每次挖掉的是正方形區域的內心而留下了它的邊，n為實施次數，（1）用n表示新正方形的個數.（2）用n表示新正方形的邊長.題6. 分形維數的計算公式為，請參照一下康托爾集的維數計算方法計算科赫曲線（見圖1）的維數。題7. 一個圖形繞著某個定點，旋轉一個的角度后能與自身重合，這樣的圖形稱作旋轉對稱圖形。旋轉時達到自相重合的最小角稱為元角。請問下圖的元角是多少？并說明理由。 題8. 什么是黃金比例？有哪些東西符合這種比例？（舉3-4個例子說明）題

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