1、第5章 隨機試驗和隨機變量教學目的與要求：通過本章教學，使學生理解什么是隨機試驗以及由它所定義的隨機變量，并了解統計學的重要任務之一便是把數據看作隨機變量（或稱之為無限總體）的樣本去推斷它的這種或那種特征。作為后續章中所介紹的統計推斷方法所必需的預備知識，學生通過本章的學習還應了解與隨機試驗和隨機變量有關的屬于概率論范疇的若干基本概念。重點內容與難點：1隨機試驗及事件、概率等基本概念 2隨機變量的概念： 離散型隨機變量的分布列和連續性隨機變量分布的圖示 3數學期望和方差的定義及數學性質§5.1 隨機試驗一、 隨機現象1概念：在給定的條件下不能確切預見其結果的現象叫作隨機現象。2隨機現

2、象的產生：因大量的偶然因素存在且無法控制，使現象的結果不能確定和不能完全預見的。于是，現象的隨機性便產生了。3隨機現象有一定規律性的。在給定條件下在規律值附近的數值發生的可能性較大，離規律值越近則發生的可能性越大，離規律值越遠則發生的可能性越小。統計學就是要通過對隨機現象的有限次的觀察結果去探尋它的各種統計規律。二、 隨機試驗1概念：對隨機現象的觀測稱作隨機試驗。2種類：隨機試驗有可重復隨機試驗和不可重復隨機試驗兩種。前者是指可以在相同條件下重復進行的隨機試驗；后者是指不能在相同條件下重復進行的隨機試驗。要注意，隨機現象或隨機試驗的概念都是同給定的一組條件聯系在一起的。給定的一組條件發生了改變

3、，就變成了另外的隨機現象和另外的隨機試驗。三、 事件(一)事件的種類1 概念：隨機試驗的每一種結果或隨機現象的每一種表現稱作隨機事件，簡稱為事件。2 種類：一個事件如果不能再被分解為兩個或兩個以上事件，稱作基本事件。基本事件是試驗的最基本結果：每次試驗必出現一個基本事件，任何兩個基本事件都不會同時出現。由兩個或兩個以上基本事件所組成的事件稱做復合事件。一項隨機試驗的所有基本事件的集合，稱作該隨機試驗的基本事件空間。必然事件是每次試驗都一定出現的事件，記作。任何一次試驗都不可能出現的事件稱為不可能事件，記作Ø。（二）事件的關系和運算（四）概率（一）什么是概率用0與1之間的數值來表明事件

4、A在隨機實驗中出現的可能性大小，通常記作P（A）。這樣的數值叫作事件A的概率。對于概率，通常可有兩種解釋：（1）某個系統的一種內在特性，這個特性不依賴于我們對該系統的知識；（2）對某一陳述相信程度的度量。事件A的頻率為 (5.1)當試驗次數n較小時，頻率的數值有較大的波動；當n充分大時，頻率數值的波動明顯減弱，并且隨著n的增大，頻率會趨于穩定在某個常數p附近。我們便說頻率Pn（A）的這個穩定值p是 事件A的概率。即： (5.2)按照對概率的這種解釋，當然只能在可重復隨機試驗的范圍內討論問題。概率作為對某一陳述相信程度的度量，叫作主觀概率。（一） 可以直接計算概率的兩種場合 有兩種可以直接計算概

5、率的場合。一種叫作古典型概率，另一種叫作幾何型概率。 1古典型概率如果一項隨機試驗的全部基本事件總數是有限的，并且各個基本事件出現的可能性都相同，事件A由若干基本事件所組成，則A的概率可用下式計算 (5.3)式中分子亦稱作有利于事件A的基本事件個數。 2幾何型概率如果隨機試驗可模擬為向區域上隨機投點。并且（1）這個區域有明確界限，可以作長度、面積、體積的幾何度量。（2）隨機點落在這個區域任何一點上的可能性都相同，也就是說，對于中的某一區域g，隨機點落在g內的概率與g的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無關。對于這種隨機試驗，如果以A表示隨機點落在區域g中這一事件，則其概率可用下式計算 (

6、5.4) 事件A的概率記作P（A），則不論P(A)是某個系統的內在特性，還是對某一陳述的相信程度，它都應該具有下面的性質：性質1：非負性，即0P(A)1性質2：規范性，即，對于必然事件，有P()=1；性質3：對于隨機事件Ai(i=1，2，)，只要它們兩兩互不相容，則有 （三）概率的加法規則1.任意事件的加法規則任意兩個事件和（并）的概率，等于二事件概率的和再減去二事件同時發生的概率。即 （5.5）在三個事件，有 (5.6)2.不相容事件的加法規則兩個不相容事件與的和(并)的概率，等于二事件概率的和。即 （5.7） （四）條件概率和乘法公式在實際問題中，除了要知道事件發生概率外，有時還需要知道在

7、“事件已發生”的條件下，事件發生的概率，這種概率稱為條件概率，記作 (五)全概率公式 有時事件比較復雜，直接求它的概率有一定困難。如果我們可以把事件分解成互不相容的一些簡單事件，而這些簡單事件的概率卻比較容易求出，那么，我們就可以用全概率公式去計算事件的概率。 全概率公式可表述如下： 設為個互不相容事件，且則任一事件的概率為 (5.8)（六）貝葉斯公式設為個互不相容的事件，且是任一事件，且則對任一,有 (5.9)這就是貝葉斯公式。（七）事件的獨立性對于兩個事件和，假若事件的發生會對事件發生的概率產生影響，即，稱事件與之間統計相依。假若事件的發生并不影響事件發生的概率，稱事件與之間統計獨立。在與

8、獨立時顯然有，這時，乘法公式式成為把這個關系式作為事件獨立性的定義，即設與是任意兩個事件，如果滿足 （5.10）則稱事件與獨立，否則稱與相依。在實際應用中，如果兩個事件相互間沒有影響，則可以認為這兩個事件相互獨立。 應該指出，兩個事件相互獨立與互不相容是兩個不同的概念。獨立性是指兩個事件的發生互不影響，互不相容是指兩個事件不能同時發生。兩個不相容事件相依，兩個獨立事件一定相容（除非其中有一個事件的概率為0）。§5.2 隨機變量及其分布一、隨機變量的概念(一 )什么是隨機變量在隨機試驗中被測量的量。在一組給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，它的取值只能由隨機試驗的結果來定，并且隨

9、試驗的結果而變。 （二）隨機變量的種類一般地，如果隨機變量的全體可能取值包括有限個可能結果，或者是一個無限的整數序列，這樣的隨機變量稱作離散型隨機變量。如果隨機變量的全體可能取值為實數軸上的某一區間，這樣的隨機變量稱作連續型隨機變量。二、隨機變量的分布（一） 隨機變量分布的概念 1離散型隨機變量的分布 離散型隨機變量X的每一個可能的取值Xi和隨機變量取該值的概率p（xi）之間所確立確立對應關系稱作這個離散型隨機變量的分布。P（xi）（i=1，2，3，）稱作隨機變量X的概率分布或概率函數。它滿足下面的關系：p（xi）0和。對于離散型隨機變量，分布列全面地描述了它的分布。根據分布列，還可以同時作出

10、分布棒圖。2連續型隨機變量的分布連續型隨機變量X的一系列取值區間和隨機變量在該區間取值的概率之間確立的對應關系，稱作這個連續型隨機變量的分布。連續型隨機變量的分布可以用密度函數來描述，隨機變量的密度函數記作。隨機變量在某一數值區間內取值的概率等于豎立在該區間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作 （5.11）密度函數滿足下面兩個基本性質：（1）密度函數的函數值不會是負數，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線；（2）在整個實數軸上的密度函數值的和等于1。這兩個性質用密度函數式寫作， （5.12） 三、常見的幾種分布規律在理論研究和實際應用中，人們掌握了某些種類隨機試驗的概率分布模型

11、。對于這種隨機試驗定義的統計總體，我們說它具有已知的分布。 1兩點分布（01分布）。 2二項分布3超幾何分布 4泊松分布5均勻分布如果隨機變量的可能取值充滿一個區間，且落在，中任意等長度的子區間內的概率相等，或者說落在子區間內的概率與子區間的長度成正比，與子區間的具體位置無關。 6正態分布。令隨機變量X是在一個隨機試驗中被測量的結果，并且，決定這項試驗結果的是大量偶然因素作用的總和，每個因素的單獨作用相對均勻地小，那么，X的分布就近似于正態分布。它有兩個參數：和2。實際上是X的數學期望E(X)，2實際上是X的方差V（X）。正態分布的概率密度曲線可以用已知的數學解析式表達出來，它是一種已知的分布

12、。為了方便，人們編制了“正態密度曲線下的面積”表（見附錄1表2）。這個表是就標準正態變量情形編制的，因此，查表時要把一般正態變量轉化成標準正態變量。標準正態變量是= 0,2=1的正態變量，通常記作N（0,1）。為了和一般正態變量有所區別，我們這里用大寫字母Z來表示標準正態變量，用小寫字母z表示它的取值。 p(z)z 0 z1 z2 把隨機變量與它的數學期望相減之差除以該隨機變量的標準差(方差的平方根)，稱作隨機變量的標準化。把區間的兩個端點作如下標準化變換： 得到圖中相應的區間（z1，z2），據此來查表。 7分布這是v個相互獨立的標準正態變量的平方和構成的隨機變量所遵循的分布規律。這個分布的概

13、率密度函數的表達式這里略去不作介紹，概率密度函數的圖形如圖。圖中表示了一族曲線，其形態隨v值的不同而改變。v是構成變量的標準正態變量個數，稱作變量的自由度。今后，對變量的分布規律，總要說明它的自由度，記作(v)。 8F分布。這是兩個相互獨立的變量（分別除以各自自由度之后）相除構成的隨機變量所遵循的分布規律。即，設X和Y是相互獨立的服從分布的隨機變量，自由度分別為f 1，f 2，則稱隨機變量 所遵循的分布規律為 F分布，記作F（f1，f2）。f1稱作F分布的第一自由度（分子自由度），f2稱作F分布的第二自由度（分母自由度）。 9t分布。 這是相互獨立的一個標準正態變量與一個變量（除以它自己的自由度后）的平方根相除構成的隨機變量所遵循的分布規律。即，設X是標準正態變量，Y是自由度為v的變量，且X和Y相互獨立，則稱隨機變量 所遵循的分布規律為t分布。v稱為它的自由度，記作t (v)。 四、隨機變量分布的特征數 （一）位置特征數 隨機變量分布的位置特征數，有數學期望、中位數、眾數，等等。我們只介紹數學期望。1隨機變量X的數學期望：X的一切可能值以相應的概率為權數的加權算術平均數。今后我們把X的數學期望記作E(X)。 E(X)= (5.13) 若是連續型隨機變量，其概率密度函數為，則的數學期望定義為 （5.14