1、常見的輔助線的作法1.等腰三角形“三線合一法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一的性質解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線：1可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，2可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。3可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。4.垂直平分線聯結線段兩端： 在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。5.用“截長法或“補短法： 遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6

2、.圖形補全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構成等邊三角形.7.角度數為30度、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創造邊、角之間的相等條件。8. 面積方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、等腰三角形“三線合一法1.如圖，ABC中，A90°，ABAC，BE平分ABC，CEBD于E，求證：CE=BD.中考連接：2021

3、揚州，第7題，3分如圖，AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，假設MN=2，那么OM=A3 B4C5D6二、倍長中線線段造全等例1、“希望杯試題，如圖ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.中考連接：09崇文以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt 和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的關系1如圖 當為直角三角形時，AM與DE

4、的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；2將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖所示，1問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由三、借助角平分線造全等1、如圖，在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，點C是MAN的平分線上一點，CEAB于E，B、D分別在AM、AN上，且AE=AD+AB.問：1和2有何關系？中考連接：(2021年北京)如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：1如圖，在ABC中，ACB是直角，

5、B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖2如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由。四, 垂直平分線聯結線段兩端1. 2021廣西賀州，第17題3分如圖，等腰ABC中，AB=AC，DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，那么A的度數是 2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1說明BE=CF的理由；2如果A

6、B=，AC=，求AE、BE的長.中考連接：2021年廣東汕尾，第19題7分如圖，在RtABC中，B=90°，分別以點A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點D、E，連接AE1求ADE；直接寫出結果2當AB=3，AC=5時，求ABE的周長補充：尺規作圖過直線外一點做直線的垂線五、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過點E，求證;ABAD+BC。 3、如圖，在ABC內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=

7、AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 5. 如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意一點，AF平分DAE求證：AEBEDF6.如圖，ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC，ACB，判斷AC的長與AE+CD的大小關系并證明.7.如圖，RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，判斷CF與GB的大小關系并證明。六、綜合1、正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數. 2、如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數

8、。3、四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交或它們的延長線于當繞點旋轉到時如圖1，易證當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？假設成立，請給予證明；假設不成立，線段，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明圖1圖2圖34、D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉動時，求證DE=DF。（2） 假設AB=2，求四邊形DECF的面積。5、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2

9、圖3I如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是 ； 此時 ； II如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想I問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； III 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，假設AN=，那么Q= 用、L表示中考連接：2021撫順 第25題12分 ：RtABCRtABC，ACB=ACB=90°，ABC=ABC=60°，RtABC可繞點B旋轉，設旋轉過程中直線CC和AA相交于點D1如圖1所示，當點C在AB邊上時，判斷線段AD和線段AD之間的數量關系，并證明你的結論；2將RtABC由圖1的

10、位置旋轉到圖2的位置時，1中的結論是否成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由；3將RtABC由圖1的位置按順時針方向旋轉角0°120°，當A、C、A三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉角的度數參考答案與提示一、倍長中線線段造全等例1、“希望杯試題，如圖ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_.解：延長AD至E使AE2AD，連BE，由三角形性質知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形

11、“三線合一法)延長FD至G使FG2EF，連BG，EG,顯然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三線合一知EGEF在BEG中，由三角形性質知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE. 解：延長AE至G使AG2AE，連BG，DG,顯然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB與ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE應用：1、09崇文二模以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和

12、等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數量關系1如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；2將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖所示，1問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由解：1，；證明：延長AM到G，使，連BG，那么ABGC是平行四邊形GCHABDMNE，又再證：，延長MN交DE于H2結論仍然成立證明：如圖，延長CA至F，使，FA交DE于點P，并連接BFFCPABDMNE，在和中SAS，又，且，二、截長補短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC解：

13、截長法在AB上取中點F，連FDADB是等腰三角形，F是底AB中點，由三線合一知DFAB，故AFD90°ADFADCSASACDAFD90°即：CDAC2、如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過點E，求證;ABAD+BC解：截長法在AB上取點F，使AFAD，連FEADEAFESASADEAFE，ADE+BCE180°AFE+BFE180°故ECBEFBFBECBEAAS故有BFBC從而;ABAD+BC3、如圖，在ABC內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：補短法, 計算數值法延長A

14、B至D，使BDBP，連DP在等腰BPD中，可得BDP40°從而BDP40°ACPADPACPASA故ADAC又QBC40°QCB 故 BQQCBDBP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 解：補短法延長BA至F，使BFBC，連FDBDFBDCSAS故DFBDCB ，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD180°5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC解：補短法延長AC至F，使AFAB，連PDABPAFPSAS故BPPF由三角形性質知

15、PBPCPFPC < CFAFACABAC應用：分析：此題連接AC，把梯形的問題轉化成等邊三角形的問題，然后利用條件和等邊三角形的性質通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有DEACBF連接AC，過E作并AC于F點那么可證為等邊三角形即，又，DEACB又在與中，點評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質解決。三、四、借助角平分線造全等1、如圖，在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD，DC+AE =AC證明L(角平分線在三種添輔助線,計算數值法)B=60度,那么BAC+BCA=120度;AD,CE

16、均為角平分線,那么OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;OAE=OAF.那么OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.那么COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1說明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯結線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故

17、BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFCHL故有BECF。AB+AC2AEAEa+b/2BE=(a-b)/2應用：1、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答以下問題：1如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖2如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結

18、論是否仍然成立？假設成立，請證明；假設不成立，請說明理由。解：1FE與FD之間的數量關系為2答：1中的結論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結FG ，AF為公共邊， FBEACD圖 12143G，AD、CE分別是、的平分線及FC為公共邊證法二：如圖2，過點F分別作于點G，于點H FBEACD圖 22143HG，AD、CE分別是、的平分線可得，F是的內心，又 可證 五、旋轉例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數. 證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG那么GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，

19、所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。(1)當繞點D轉動時，求證DE=DF。(2)假設AB=2，求四邊形DECF的面積。解：(計算數值法)1連接DC， D為等腰斜邊AB的中點，故有CDAB，CDDACD平分BCA90°，ECDDCA45°由于DMDN，有EDN90°由于 CDAB，有CDA90°從而CDEFDA故有CDEADFASA故有DE=DF2SABC=2, S四DECF= SACD=1

20、例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，那么的周長為 ；解：(圖形補全法, “截長法或“補短法, 計算數值法) AC的延長線與BD的延長線交于點F，在線段CF上取點E，使CEBMABC為等邊三角形，BCD為等腰三角形，且BDC=120°，MBD=MBC+DBC=60°+30°=90°，DCE=180°-ACD=180°-ABD=90°，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=

21、BDC-MDN=120°-60°=60°，在DMN和DEN中，      DM=DE     MDN=EDN=60°     DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA和DEF中，      DM=DE     MDA=60°- MDB=60°- CDE=EDF (CDE=BDM)    DAM=DFE=30°DMNDEN (AAS)，M

22、A=FE的周長為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應用：1、四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交或它們的延長線于當繞點旋轉到時如圖1，易證當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？假設成立，請給予證明；假設不成立，線段，又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明圖1圖2圖3解：1，SAS；，為等邊三角形，2圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長DC至點K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2那么，即圖3不成立，AE、CF、EF的關系是2、西城09年一模:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當APB=45°

23、;時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應APB的大小.分析：1作輔助線，過點A作于點E，在中，AP的值，根據三角函數可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點A順時針旋轉得到，可得，求PD長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據勾股定理可將的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長，進而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據勾股定理可將PD的值求出；2將繞點A順時針旋轉，得到，PD的最大值即為的最大值，故

24、當、P、B三點共線時，取得最大值，根據可求的最大值，此時EPADCB解：1如圖，作于點E中，在中，PPACBDE解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將繞點A順時針旋轉得到，可得，；解法二：如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F，設DA的延長線交PB于GGFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得2如下列圖，將繞點A順時針旋轉,得到，PD的最大值，即為的最大值中，且P、D兩點落在直線AB的兩側當、P、B三點共線時，取得最大值如圖PPACBDPPACBD此時，即的最大值為6此時3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2 圖3I如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之