1、第二章 運動的描述第3節勻變速運動的位移與時間一、預備知識： 1、勻速直線運動的位移 先從勻速直線運動的位移與時間的關系人手，由位移公式xvt畫出勻速直線運動的速度一時間圖象如圖231和232所示 圖線與初、末時刻線和時間軸圍成的矩形面積正好是vt當速度值為正值時，xvt>O，圖線與時間軸所圍成的矩形在時間軸的上方當速度值為負值時，xvt<O，圖線與時間軸所圍成的矩形在時間軸的下方位移x>o表示位移方向與規定的正方向相同，位移x<O表示位移方向與規定的正方向相反2、關于劉徽的“割圓術”微分方法在物理學研究中有著廣泛的應用魏晉時的數學家劉徽首創了“割圓術”圓內正多邊形的邊

2、數越多，其周長和面積就越接近圓的周長和面積如圖233 二、勻變速運動的位移與時間關系式1、物體做勻變速直線運動的速度一時間圖象，如圖234中甲所示該物體做初速度為v0的勻加速直線運動模仿劉徽的“割圓術”做法，來“分割”圖象中圖線與初、末時刻線和時間軸圖線所圍成的面積先把物體的運動分成5個小段，在vt圖象中，每小段起始時刻物體的瞬時速度由相應的縱坐標表示(如圖乙)5個小矩形的面積之和近似地代表物體在整個過程中的位移把物體的運動分成了10個小段分成的小段數目越多，小矩形的面積總和越接近于傾斜直線下所圍成的梯形的面積為了精確一些，可以把運動過程劃分為更多的小段，如圖丙。可以想象，整個運動過程劃分得非

3、常非常細，小矩形合在一起組成了一個梯形OABC，梯形OABC的面積就代表做勻變速直線運動物體的位移在圖丁中，vt圖象中直線下面的梯形OABC的面積是S=(OC+AB)XOA/2把面積及各條線段換成所代表的物理量，上式變成x(Vo+V)t/2把前面已經學過的速度公式vv0+at代人，得到x這就是表示勻變速直線運動的位移與時間關系的公式。也同樣適用于勻減速直線運動。在公式中，初速度vo，位移x，加速度a，時間間隔t圖235勻變速直線運動的速度一時間圖象用畫斜線部分的面積表示位移 2、用公式推導：根據平均速度的定義式， 代入 和就可以推出勻變速直線運動的位移公式為： 勻減速位移公式還可X=V0t1/

4、2 at23、初速度為0時：若，則。速度一時間圖象的面積為三角形。4、勻變速直線運動的位移還可以：由 得出求位移方便靈活。5、逆向轉換法：勻減速直線運動初速度V，加速度a，勻減速至速度為0，則此運動可逆向看成初速度為0，加速度a，末速度V的勻變速直線運動。公式可簡化：速度與時間：v=v0a t 初速度0時： V=at 位移與時間： 初速度0時： X=1/2at2 勻減速位移公式還可X=V0t1/2 at2 三、典型例題例1某做直線運動的質點的位移隨時間變化的關系式為與的單位分別是和，則質點的初速度和加速度分別是（ ）A4和2 B0和4C4和4 D4和0解析：做勻加速直線運動的位移隨時間變化的關

5、系式為：X =，與關系式相比較，所以只有C正確。例2一輛汽車在筆直的公路上做勻變速直線運動，該公路每隔15安置一個路標，如圖1所示，汽車通過AB兩相鄰路標用了2，通過BC兩路標用了3，求汽車通過A、B、C三個路標時的速度。A B C圖1解析：汽車從A到C是勻減速運動，設汽車通過路標A時速度為，通過AB的時間，通過BC的時間。根據位移公式，研究AB運動的過程，有，研究AC運動過程，有 其中（ 第一個式子中時間應是t1的平方，第二個式子中時間應是t）解得：再根據速度公式 （式子中應是VA）例3 以18的速度行駛的汽車，緊急剎車后做勻減速直線運動，其加速度大小為6，求：（1）汽車在內通過的距離；（2

6、）汽車在內通過的距離。解析：應首先判斷所求位移對應的時間內汽車是否一直在運動，然后利用勻變速直線運動的位移公式進行求解。已知汽車剎車時間的初速度，因為是勻減速直線運動，所以加速度，設經過秒汽車停止運動，則由得因，故前內汽車一直在運動，所以前內通過的距離（即位移的大小） （勻減速也可以用X=V0t-1/2at2可以，a代入絕對值）又因，汽車剎車后運動就停下來了，所以內汽車通過的距離也就是內汽車通過的距離，所以內汽車通過的距離為 （勻減速也可以用X=V0t-1/2at2可以，a代入絕對值）例題4的預備題：物體以1的加速度由靜止開始運動，T=，在連續相等的時間T內位移分別是多少呢，由計算X1 =2

7、X2=6 X3=10 X4=14 X5=18 （ 先t=代入公式，求出X1 =2，再t=4s代入公式，求出前4s運動的距離X=8m，X-X1=X2再t=6s代入公式，求出前6s運動的距離X=18m，X-X1-X2= X3）在勻變速直線運動中，連續相等時間內的位移之差等于一個恒量，即。連續相等時間內的位移之差為一恒定值。例4 有一個做勻變速直線運動的質點，它在兩段連續相等時間內通過的位移分別是24m和64m，連續相等的時間為4s，求質點的初速度和加速度的大小。解析：根據位移公式得根據速度公式得將代入上面三式，聯立解得規律總結1）列出位移分別為24m和88m的方程，可以省略速度公式，更簡化。 2）

8、或利用直接求出加速度。例5關于先加速后減速問題（圖像的巧妙應用）從車站開出的汽車，做勻加速直線運動，走了12s時，發現還有乘客沒上來，于是立即做勻減速運動至停車。汽車從開出到停止總共歷時20s，行進了50 m。求汽車的最大速度。分析：汽車先做初速度為零的勻加速直線運動，達到最大速度后，立即改做勻減速運動，可以應用解析法，也可應用圖像法。解法1：設最大速度為vm，由題意，可得方程組 整理得m/s解法2：用平均速度公式求解。勻加速階段和勻減速階段平均速度相等，都等于，故全過程的平均速度等于，由平均速度公式得，解得m/s可見，用平均速度公式求解，非常簡便快捷，以后大家要注意這種解法。解法3：應用圖像

9、法，做出運動全過程的v-t圖像，如圖所示，。v-t圖線與t軸圍成三角形的面積與位移等值，故，所以m/s例6火車沿平直鐵軌勻加速前進，通過某一路標時的速度為l0.8 kmh，1 min后變成54kmh，再經一段時間，火車的速度達到64.8 kmh求所述過程中，火車的位移是多少?先由v=v0+a t 代入V0=3m/s V1=15m/s t1=60s 求出a=0.2m/s再把V1=15m/s V2=18m/s a=0.2m/s 代入求出t2=15s t=75s例7一輛汽車以1ms2的加速度做勻減速直線運動，經過6 s(汽車未停下)汽車行駛了102m汽車開始減速時的速度是多少?小結一、勻速直線運動的位移 1、勻速直線運動，物體的位移對應著v-t圖像中的一塊矩形的面積。 2、公式：x v t二、勻變速直線運動的位移與時間的關系1、 勻變速直線運動，物體的位移對應著v- t圖像 中圖線與時間軸之間包圍的梯形面積。2、公式 xvot+at2/2 3、推論 v2v02 = 2 a s4、平均速度公式 v平（v0v）/2 梅爾敦定理與平均速度公式 1280年到1340年期間