1、函數極值的幾種求法 針對高中生所學知識摘 要：函數是數學教學中一個重要的組成部分，從小學六年級的一元一次方程繼而延伸到初中的一次函數，二次函數的初步介紹，再到高中的函數的單調性、周期性、最值、極值，以及指數函數、對數函數、三角函數的學習，這些足以說明函數在數學教學中的地位。極值作為函數的一個重要性質，無論是在歷年高考試題中，還是在實際生活運用中都占有不可或缺的地位。本文主要闡述了初高中常見的幾種函數，通過函數極值的相關理論給出每種函數極值的求解方法。關鍵詞：函數；單調性；導數；圖像；極值Abstract: Function is an important part of mathematics

2、 teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic fu

3、nction, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This a

4、rticle will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函數”一詞最先是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀采用的，當時萊布尼茨用“函數”這一詞來表示變量的冪，也就是的平方的立方。之后萊布尼茨又將“函數”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等與曲線上的點有關的變量。就這樣“函數”這詞逐漸盛

5、行。在中國，清代著名數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數”。顯然，在李善蘭的這個定義中的函數就是：凡是公式中含有變量，則該式子叫做的函數。這樣，在中國“函數”是指公式里含有變量的意思。從1775年歐拉對函數定義之后，又有法國數學家柯西、俄國數學家羅巴契夫斯基等數學家不斷對函數定義進行改進和完善。最后德國數學家黎曼引入了函數的新定義：“對于的每一個值，總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立，之間的對應方法如何，均將稱為的函數”。雖然函數的定義在不斷變化但它的本質屬性都是一樣的。變量稱為的函數，只須有一個法則存在，那就是這個函數取值范圍中的

6、每一個值，有一個唯一確定的值和它對應，不管這個法則是公式、圖象、表格或其他形式。對中學生來說常見的函數類型有一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數，及由這幾類函數中兩類或多類形成的復合函數。中學生一般不采用定義法去求函數的極值，中學生常用的是圖像法和求導法。本文首先簡單介紹高中數學常見的函數類型和常用的求函數極值的方法，繼而通過具體實例闡述求極值方法和函數類型如何匹配。1 預備知識定義1.1 函數的極值設函數在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，則是函數的一個極大值。如果附近所有的點，都有，則是函數的一個極小值，極大值與極小值統稱為極值。定義1.2 一次函數在某一變化過程中，設有

7、兩個變量和，如果可以寫成(為一次項系數，為常數)的形式，那么我們就說是的一次函數，其中是自變量，是因變量。 定義1.3 二次函數 把形如（其中是常數，）的函數叫做二次函數，其中稱為二次項系數，為一次項系數，為常數項。定義1.4 指數函數把形如的函數叫做指數函數，其中是自變量。定義1.5 對數函數把形如的函數叫做對數函數，其中自變量是。2 求極值方法在各種函數類型中的應用函數是高中數學重要的內容,而函數的性質是高考命題的重點,又是高考命題的熱點之一,利用導數方法研究函數的單調性,確定單調區間,研究函數的極值問題比傳統的方法要簡捷得多,因此在求極值時應把導數法作為主要研究方法。除了求導法另一種常見

8、的方法就是圖像法。圖像法適合簡單的可以畫出圖像的一些函數，對于中學生來說遇到的函數80%都可以畫出圖像。函數圖像畫出后我們可以根據圖像所表示的縱坐標再結合極值的定義觀察函數的極值。求導法是先求出所求函數的導數，然后根據導數與零的大小關系判斷函數的單調性，繼而判斷極值，求導法對一些復雜的函數特別是復合函數非常的適用。下面我們通過具體實例闡述方法和函數類型如何匹配。2.1 一次函數（為常數）一次函數比較簡單在整個定義域內是整體單調遞增或整體單調遞減。對形如的一次函數的導數為，由此可知一次函數的單調性主要和值有關，則函數單調遞增，函數單調遞減。例2.1 求函數的極值 法一 求導法這個函數的值為2，顯

9、然也就是說該函數單調遞增，現在函數的極值就和其定義域有關。當自變量最大時函數有極大值，當自變量最小是函數有極小值，若自變量無最大值最小值則函數沒有極值。我們假設該函數的定義域是，那么當時函數有極小值,當時函數有極大值。假設該函數的定義域為則函數無極大值極小值。若函數的定義域位函數無極小值，在時取得極大值 若定義域為函數無極大值，有極小值。 法二 圖像法 一次函數的圖像都是一條直線。函數的圖像如下： 圖2-1 圖像通過察我們發現函數值隨自變量的值增大而增大，也就是說最大時函數有極大值，最小時函數有極小值。一次函數相對來說比較簡單，我認為求極值最好的方法是看值。當時自變量最大時函數有極大值，自變量

10、最小時函數有極小值。當時自變量最大時函數有極小值，自變量最小時函數有極大值，若自變量無最值則函數無極值。在此還有一點要提醒的就是通常所說的正比例函數，反比例函數都屬于一次函數，故其極值的求法可用一次函數的方法。2.2 二次函數（其中是常數，）二次函數較一次函數復雜的多，但其極值的求法和一次函數大同小異，最常見的也是求導法和圖像法。當用求導法來求極值時，需先求出導數然后判斷導函數在那個區間范圍內大于（等于）零，在那個區間范圍內小于（等于）零，當導數大于等于零時原來的二次函數在該區間單調遞增，當導數小于零時原來的二次函數在該區間單調遞減，知道了單調性再來求極值就輕而易舉了。圖像法就是畫出函數的圖形

11、，根據圖形結合極值定義求出函數極值。下面我針對具體函數其定義域為這個二次函數來詳細闡述這兩種方法。例2.2 求函數的極值 法一 求導法通過計算我們知道該函數的導數為我們令其導函數大于等于零即解得也就是說函數在上單調遞增，當時有最小值，當x=2時y有最大值。同理我們可以知道函數在（由于在遞增區間上已經取過-2，所以此處的-2不能再取，只能用圓括號）上單調遞減，因為-4和-2前為圓括號，也就是說自變量不能等于-4和-2，所以函數在上無最小值也無最大值。綜上所訴函數在上有最小值，最大值.因為該函數在上連續所以其最小值等于其極小值，最大值等于其極大值。所以此函數在上有極小值-15，極大值17。法二 圖

12、像法 二次函數的圖像為一條拋物線函數的圖像如下圖所示:圖2-2 圖像 通過觀察可知，函數在點B取得極小值-15，在點A取得極大值17。2.3 指數函數 此類函數比較簡單，單調性在定義域內是整體的，無論是求導還是畫圖都很容易發現函數的單調性與值得大小有關。在時函數在整個定義域內單調遞增，和一次函數像似自變量取最大值時函數有極大值，自變量取最小值時函數有極小值。在時函數在整個定義域內單調遞減，在自變量取最大值時函數有極小值，自變量取最小值時函數有極大值。下面我們通過一個具體的函數來操作一下。例2.3 求函數和(取值范圍是)的極值對這個函數來說其，根據上面結論我們知道函數在整個定義域內單調遞增，當是

13、函數有極小值，當時函數有極大值8。對它的，函數在整個定義域內單調遞減當是函數有極大值4，當時函數有極小值。我們可以通過圖像來觀察下我們的結論是否正確如下圖2-3為的圖像，圖2-4是的圖像：圖2-3 圖像圖2-4 圖像 通過圖像我們可以很明顯的發現上述結論的正確性。2.4 對數函數 對數函數和指數函數情況一樣，函數的極值和與1的大小有關。在時函數在整個定義域內單調遞增，自變量取最大值時函數有極大值，自變量取最小值時函數有極小值。在時函數函數在整個定義域內單調遞減，在自變量取最大值時函數有極小值，自變量取最小值時函數有極大值。在這里我們就不舉例子來闡述了。2.5 三角函數三角函數的類型比較多但做法

14、相似，在這里我僅詳細闡述正弦函數的極值的求法。三角函數是周期函數，所以它的極值有多個。下面我們來看 這個函數。例2.4 求函數 的極值法一 求導法 求函數導數令其大于等于0解得，再結合的定義域我們知道當導函數大于0時的取值范圍是，也就是的遞增區間是，。再令導函數小于0同理函數的遞減區間為，。為了簡單明了的求出極值我們把得到的數據填在表2.1里表2.1取值單調性遞減遞增遞減遞增極值極小值極大值極小值由上表可知函數有兩個極小值，一個極大值。法二 圖像法 函數的圖像如圖所示圖2-5 圖像 通過圖像可以快速的觀察出函數有兩個極大值，有一個極小值。 通過比較我們不難發現第一種方法較復雜，第二種簡單明了。

15、但是畫圖過程少不了第一種方法中的計算，所以我建議對于三角函數類問題的極值數形結合最好。2.6 復合函數最后我們來看一個復合函數的極值例2.5 求函數的極值法一 求導法 函數的定義域是，導函數 當時函數單調遞增，當時函數單調遞減。所以函數在時取得極大值 法二 圖像法圖2-6 圖像 顯然函數在M點處取得極大值。復合函數的圖像如果不借助電腦軟件，畫起來非常的復雜，所以我個人意見對復合函數求極值求導法最好。3 求不同類型函數極值方法總結結合上述例子我們發現對于一次函數和指數函數、對數函數來說求極值問題可直接利用結論。一次函數看值，指數函數和對數函數看值。二次函數求導或畫圖都比較簡單。三角函數極值問題，

16、數形結合較好。復合函數求導判斷單調性較好。4 求函數極值的實際應用價值數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學，盡管具有極強的抽象性邏輯性，卻能在現實生活中找到數學原型，而數學知識能賦予這些數學原型更深的內涵,在經濟高速發展的今天，面對日趨復雜的經濟現象，人們僅僅依靠經驗來認識它們已經遠遠不夠了。生活中一些以函數為背景的實際問題,可通過函數建模轉化為求函數的最值問題。例4.1某市場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,市場決定采取適當的降價措施.經調查發現,如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件.問每件襯衫降價多少元時,市場

17、平均每天盈利最多?最多是多少?解 設每件襯衫應降價元,根據題意得 去掉括號后，我們發現它是一個二次函數，根據前面闡述的方法我們很容易求出在時有極大值1250，所以當時,商場盈利最多,最多盈利是1250元。5 結束語“函數”是高中數學中最基本、最重要的概念。函數所包含的內容十分廣泛，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分，因此它又是進一步學習的重要基礎。函數極值作為函數性質的一個重要分支和基本工具在數學與其他科學領域都有廣泛的應用。本文只針對高中所學知識，簡單淺顯的談了幾種基本函數常用的求極值的方法，以及函數極值在實際生活中的應用。由此，我們可以更加了解函數的極值及其應用。參考文獻：1 陳路飛. 函數發展史J. 數學愛好者, 2006,2: 49-50.2 李建華. 普通高中課程標準試驗教科書數學選修1-1AM. 北京：人民教育出版社，2007. 3 馬復. 九年級教課書數學上冊M