1、個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案課 題必修4第二章平面向量的概念以及線性運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)（1）平面向量的概念（2）平面向量的線性運(yùn)算（3）共線定理的應(yīng)用 1、 本章網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向

2、量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.共線向量定理1向量的數(shù)乘(1)長(zhǎng)度：|a|a|.(2)方向當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0，其方向是任意的2向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)，為實(shí)數(shù)，則( a)()a；()

3、aaa；(ab)ab.3向量共線定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.4若a為非零向量，a0為其單位向量，則有a|a|·a0或a0.必會(huì)結(jié)論1一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即An1An.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量2若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則()3若A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則0P為ABC的重心題型分類題型一平面向量的概念【例1】有下列幾個(gè)命題：互為相反向量的兩個(gè)向量模相等； 若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合 ab，bc 則 a c a = b，b = c

4、則 a = c模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量若向量與是共線的向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；若|=|，則=或=； 共線向量一定在同一條直線上；若四邊形ABCD是平行四邊形,則若與平行，則零向量沒有方向,單位向量都相等 其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（）【變1-1】設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)

5、a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.題型二平面向量的線性運(yùn)算【例2】 化簡(jiǎn)以下各式：【變2-1】化簡(jiǎn)【例3】【變3-1】若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OB-OC=|OB+OC-2OA|，則ABC的形狀為 題型三共線定理的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：三點(diǎn)共線常見的表現(xiàn)形式主要有兩種：形式1：對(duì)于同一平面內(nèi)不同三點(diǎn) A，B，C ，如果AB=AC A，B，C 三點(diǎn)共線，其中 R ；形式2：已知 O，A，B，C 為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，且OC=xOA+yOB （ x，yR） 且 x+y=1， A，B，C 三點(diǎn)共線【例4】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D

6、三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(2)解kab和akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是兩個(gè)不共線的非零向量，kk10，k210.k±1.思維升華(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時(shí)成立，則向量a、b不共線【變

7、4-1】已知兩個(gè)不共線向量e1，e2，且AB=e1+e2 , BC=3e1+4e2 , CD = 2e1-4e2，若A,B,D三點(diǎn)共線，求 的值為 . 【變4-2】設(shè)兩個(gè)不共線向量e1，e2，AB=2e1-8e2 , CB=e1+3e2 , CD = 2e1-e2(1)求證：A、D三點(diǎn)共線；(2)若BF=3e1-ke2 ，且B、D、F三點(diǎn)共線，求的值【例5】已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且mn(m，nR)(1)若mn1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：mn1.證明(1)若mn1，則m(1m)m()，m()，即m，與共線又與有公共點(diǎn)B，A，P，B三點(diǎn)共線(2)若A，P

8、，B三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共線，不共線，mn1.【變5-1】（1）在ABC 中，已知D是AB 邊上一點(diǎn)，若CD=13CA+OB ，則 = _（2）在ABC 中，已知M是AB 邊上一點(diǎn)，若OP/OM,且OP=xOA+yOB(x0)，則 yx= .【變5-2】已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）A、A，B，C三點(diǎn)共線 B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線 D、B，C，D三點(diǎn)共線【變5-3】在ABC中，AB = a，AC = b,.若點(diǎn)D滿足BD=2DC ，則AD = _(用a，b表示)【變5-4】設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，B

9、C上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_解析：()，12，1，2，故12.專題三：向量在平面圖形中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)：一、用基底表示向量(向量的分解)：1、三角形法(多邊形)法：比如：ABCD為梯形，BC=2AD，BC=a，BA=b，試用 a，b 表示 MN，MN=MA+AB+BN=-14BC-BA+12BC=14a- b2、比例法：主要是利用相似條件找到目標(biāo)向量和與之共線的向量的模長(zhǎng)比例關(guān)系；比如：已知平行四邊形ABCD中E為AD中點(diǎn),CE,BD 相交于點(diǎn)F,設(shè)BC=a，BA=b，試用 a，b 表示 BF，因?yàn)闊o法直接得到BF的關(guān)系，所以我們尋找與BF共線向量BD。BC

10、ED=2，BFFD=2，BF=23BD=23a+23b3、交叉法(定比分點(diǎn))：在進(jìn)行向量分解時(shí)，若目標(biāo)向量的起點(diǎn)與基底起點(diǎn)相同，終點(diǎn)和基底向量終點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，可以用如下方法進(jìn)行分解目標(biāo)向量；B、C、D 三點(diǎn)共線，當(dāng)D在線段BC之間時(shí)，先求出BDCD=mn ，從而有CDBC=nm+n，BDBC=mm+n最后給AB,AC 交叉分配系數(shù)，即 AD=nm+nAB + mm+nAC當(dāng)D點(diǎn)在線段BC外時(shí)，先將AB 用 AD,AC 交叉系數(shù)表示，再反求 AD平面向量基底化步驟：第一步：統(tǒng)一起點(diǎn)，如果目標(biāo)向量跟基底起點(diǎn)不同，則將目標(biāo)向量寫成以基底起點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)向量之差；第二步：利用交叉法(定比分點(diǎn))或者待定

11、系數(shù)法將統(tǒng)一起點(diǎn)后的向量用基底表示；第三步：整理結(jié)果.二、三角形的四心問題1、重心（A中，G為垂心，如圖）（1）定義：三條中線的交點(diǎn)（2）G是AD的三等分點(diǎn):即AG:GD=2:1（3）GA+GB+GC=02、 垂心（A中，H為垂心，如圖）（1） 定義：三條高的交點(diǎn)（2）HAHB=HBHC=HCHA3、外心（A中，O為外心，如圖）（1）定義：三條中垂線的交點(diǎn)，是外接圓的圓心（2）OA = OB= OC4、內(nèi)心（A中，I為內(nèi)心，如圖）（1）定義：三條角平分線的交點(diǎn)，是內(nèi)切圓的圓心（2）（ABAB+ACAC）(0)所在直線過ABC的內(nèi)心（BAC的角平分線所在直線）【例6】（1）如圖，在ABC中，D、

12、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求，ABCDE（2）如圖所示，在ABC中，BD=12DC , AE=3ED,若AB=a，AC=b，則BE等于 .【變6-1】如圖，以向量OA=a，OB=b為邊作OADB，用BM=13BC, CN=13CD, 試用 a，b 表示OM,ON,MN【變6-2】如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對(duì)角線AC于K，其中，則的值為()A. B. C. D.答案A解析，2.由向量加法的平行四邊形法則可知，()2，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，可得，故選A.【變6-3】在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是( )A B C DBCAP【例7】設(shè)G

13、為ABC的重心，且sin A·sin B·sin C·0，則B的大小為()A45° B60° C30° D15°解析G是ABC的重心，0，()，將其代入sin A·sin B·sin C·0，得(sin Bsin A)(sin Csin A)0.又，不共線，sin Bsin A0，sin Csin A0，則sin Bsin Asin C根據(jù)正弦定理知bac，ABC是等邊三角形，則角B60°.故選B.【變7-1】如圖，經(jīng)過OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)m，n，m，n

14、R，則的值為_答案3解析設(shè)a，b，由題意知×()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三點(diǎn)共線得，存在實(shí)數(shù)，使得，即nbmaab，從而消去得3.1如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則等于() A. B. C. D.答案D由題圖，知，則.由三角形中位線定理，知.故選D.22019·嘉興模擬已知向量a與b不共線，且ab，ab，則點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線應(yīng)滿足 ()A2 B1 C1 D1答案D若A，B，C三點(diǎn)共線，則k，即abk(ab)，所以abkakb，所以k,1k，故1.3已知A、B、C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足0，則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D

15、.答案D解析0，O為ABC的重心，×()()()(2).42019·安徽六校聯(lián)考在平行四邊形ABCD中，a，b，2，則()Aba Bba Cba Dba答案C解析因?yàn)椋詁a 5如圖，在ABC中，|，延長(zhǎng)CB到D，使，若，則的值是()A1 B2 C3 D4由題意可知，B是DC的中點(diǎn)，故()，即2，所以2，1，則3.6在ABC中，D為邊AB上一點(diǎn)，若2，則_.解析因?yàn)?，所以()在ACD中，因?yàn)?)，所以.7 (2019·北京)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.答案解析()，x，y.82019·泉州四校聯(lián)考設(shè)e1，e2是不共線的向量，若

16、e1e2，2e1e2，3e1e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則的值為_解析2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則與共線，存在R使得，即e1e2(e12e2)，由e1，e2是不共線的向量，得解得2.92019·合肥模擬已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d反向共線，求實(shí)數(shù)的值解由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使ckd(k<0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有整理得2210，解得1或.又因?yàn)閗<0，所以<0, 故.10已知|1，|，AOB90°，點(diǎn)C在

17、AOB內(nèi)，且AOC30°.設(shè)mn(m，nR)，求的值解如圖所示，因?yàn)镺BOA，設(shè)|2，過點(diǎn)C作CDOA于點(diǎn)D，CEOB于點(diǎn)E，所以四邊形ODCE是矩形，.因?yàn)閨2，COD30°，所以|1，|.又因?yàn)閨，|1，所以，此時(shí)m，n，所以3.B級(jí)知能提升(時(shí)間：20分鐘)11如圖所示，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯(cuò)誤的是()A. B. C. D.答案D解析由向量的加法和減法，知道A、B正確；由中點(diǎn)公式知道C正確，而DNEBNA，所以，所以，故D錯(cuò)誤122019·福建高考設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()A. B2 C3 D4答案D解析()()224.故選D.13. 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的