1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解問題提出問題提出1. 1. 函數函數 有有零點嗎？你怎樣求其零點？零點嗎？你怎樣求其零點？34xx)x( f22.2.對于高次多項式方程，在十六世紀已找到對于高次多項式方程，在十六世紀已找到了三次和四次方程的求根公式，但對于高于了三次和四次方程的求根公式，但對于高于4 4次的方程，類似的努力卻一直沒有成功次的方程，類似的努力卻一直沒有成功. . 到了十九世紀，根據阿貝爾（到了十九世紀，根據阿貝爾（AbelAbel）和伽羅）和伽羅瓦（瓦（GaloisGalois）的研究，人們認識到高于）的研究，人們認識到高于4 4次次的代數方程

2、不存在求根公式，即不存在用四的代數方程不存在求根公式，即不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解同時，則運算及根號表示的一般的公式解同時，即使對于即使對于3 3次和次和4 4次的代數方程，其公式解的次的代數方程，其公式解的表示也相當復雜，一般來講并不適宜作具體表示也相當復雜，一般來講并不適宜作具體計算因此對于高次多項式函數及其它的一計算因此對于高次多項式函數及其它的一些函數，有必要尋求其零點的近似解的方法些函數，有必要尋求其零點的近似解的方法. . 知識探究（一）知識探究（一）: :二分法的概念二分法的概念 思考思考1:1:有有1212個大小相同的小球，其中有個大小相同的小球，其中有1111個

3、小球質量相等，另有一個小球稍重，個小球質量相等，另有一個小球稍重，用天平稱幾次就可以找出這個稍重的球？用天平稱幾次就可以找出這個稍重的球？ 思考思考2:2:已知函數已知函數 在區間（在區間（2 2，3 3）內有零點，你有什么）內有零點，你有什么方法求出這個零點的近似值？方法求出這個零點的近似值？ 62xlnx)x( f思考思考3:3:怎樣計算函數怎樣計算函數 在區在區間（間（2 2，3 3）內精確到）內精確到0.010.01的零點近似值？的零點近似值？ 62xlnx)x(f區間（區間（a a，b b） 中點值中點值mf（m）的近的近似值似值精確度精確度| |a- -b| |（2 2，3 3）2

4、.52.5-0.084-0.0841 1（2.52.5，3 3）2.752.750.5120.5120.50.5（2.52.5，2.752.75）2.6252.6250.2150.2150.250.25（2.52.5，2.6252.625）2.562 52.562 50.0660.0660.1250.125（2.52.5，2.562 52.562 5）2.531 252.531 25-0.009-0.0090.06250.0625（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）2.546 8752.546 8750.0290.0290.031250.03125（2.531 2

5、52.531 25，2.546 8752.546 875）2.539 062 52.539 062 50.010.010.0156250.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813思考思考4:4:上述求函數零點近似值的方法叫上述求函數零點近似值的方法叫做做二分法二分法，那么二分法的基本思想是什，那么二分法的基本思想是什么？么？ 對于在區間對于在區間aa，bb上連續不斷且上連續不斷且f(a)f(b)f(a)f(b)0 0的函數的函數y=f(x)y=f(x)，通過不斷，通過不斷地把函數地把函數f(x)f(x)的零點所在的區間一分為的零

6、點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法進而得到零點近似值的方法叫做二分法. . 知識探究（二）知識探究（二）: :用二分法求函數零點近似值的步驟用二分法求函數零點近似值的步驟 2xy 3xy 思考思考1:1:求函數求函數f(x)f(x)的零點近似值第一步的零點近似值第一步應做什么？應做什么？ 思考思考2:2:為了縮小零點所在區間的范圍，為了縮小零點所在區間的范圍，接下來應做什么？接下來應做什么？ 確定區間確定區間a,ba,b，使，使 f(a)f(b)f(a)f(b)0 0 求區間的中點求區間的中點c c，并計算，

7、并計算f(c)f(c)的值的值 思考思考3:3:若若f(c)=0f(c)=0說明什么？說明什么？ 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0或或f(c)f(b)f(c)f(b)0 0 ，則，則分別說明什么？分別說明什么？ 若若f(c)=0f(c)=0 ，則，則c c就是函數的零點；就是函數的零點； 若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0 ，則零點，則零點x x0 0(a,c)(a,c)；若若f(c)f(b)f(c)f(b)0 0 ，則零點，則零點x x0 0(c,b).(c,b).思考思考4:4:若給定精確度若給定精確度，如何選取近似，如何選取近似值？值？ 當當| |mn| |時，區間時，

8、區間 m，n 內的任意內的任意一個值都是函數零點的近似值一個值都是函數零點的近似值. . 思考思考5 5：對下列圖象中的函數，能否用二對下列圖象中的函數，能否用二分法求函數零點的近似值？為什么？分法求函數零點的近似值？為什么？xyoxyo理論遷移理論遷移例例2 2 求方程求方程 的實根個數及的實根個數及其大致所在區間其大致所在區間. .3xxlog3例例1 1 用二分法求方程用二分法求方程 的近似的近似解（精確到解（精確到0.10.1）. .73x2x用二分法求函數零點近似值的基本步驟：用二分法求函數零點近似值的基本步驟：3. 3. 計算計算f(c)f(c)： （1 1）若）若f(c)=0f(c)=0，則，則c c就是函數的零點；就是函數的零點； （2 2）若）若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0 ，則令，則令b=cb=c，此時零點，此時零點x x0 0(a,c)(a,c)；（3 3）若）若f(c)f(b)f(c)f(b)0 0 ，則令，則令a=ca=c，此時零點，此時零點x x0 0(c,b).(c,b). 2. 2. 求區間求區間(a,b)(a,b)的中點的中點c c；1 1確定區間確定區間a,ba,b，使，使f(a)f(b)f(a)f(b)