1、 圓24.1.1 圓知識點一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉一周，另一個端點 A 所形成的圖形叫作圓。固定的端點 O 叫作圓心，線段 OA 叫作半徑。第二種：圓心為 O，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距離等于定長 r 的點的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二 圓的相關概念（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。（2） 弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每

2、一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。（4）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識點一 圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二 垂徑定理（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為 CD，AB 是弦，且 CDAB，CMAM=BMAB垂足為 MAC =BCAD=BDD垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑

3、CD 與非直徑弦 AB 相交于點 M，CDAB AM=BM AC=BC AD=BD注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識點 弦、弧、圓心角的關系（1） 弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、弦不一定相等。2

4、4.1.4 圓周角知識點一 圓周角定理（1）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二 圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。24.2 點、直線、圓和圓的位置

5、關系24.2.1 點和圓的位置關系知識點一 點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。（2）用數量關系表示：若設O 的半徑是 r，點 P 到圓的距離 OP=d，則有：點 P 在圓外dr；點 p 在圓上d=r；點 p 在圓內dr。知識點二 過已知點作圓（1） 經過一個點的圓（如點 A）以點 A 外的任意一點（如點 O）為圓心，以 OA 為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數個。·O1A ·O2·O3（2）經過兩點的圓（如點 A、B）以線段 AB 的垂直平分線上的任意一點（如點 O）為圓心，以 OA（或 OB）為半徑作圓即可，如圖，

6、這樣的圓可以作無數個。AB（3）經過三點的圓 經過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點 A、B、C 作圓，作法：連接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點 O，以點 O 為圓心，以 OA（或 OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。AOBC知識點三 三角形的外接圓與外心（1） 經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

7、知識點四 反證法（1）反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方 法叫做反證法。（2）反證法的一般步驟： 假設命題的結論不成立； 從假設出發，經過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論； 由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關系知識點一 直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關系可以用數量關系表示若設O 的半徑是 r，直線 l 與圓心 0 的距離為 d，則有：直線 l 和O 相交d r；直線 l 和O 相切d = r

8、；直線 l 和O 相離d r。知識點二 切線的判定和性質（1）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3）切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三 切線長定理（1）切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線

9、是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四 三角形的內切圓和內心(1) 三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。(3) 注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。24.2.3 圓和圓的位置關系知識點一 圓與圓的位置關系（1） 圓與圓的位置關系有五種： 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種； 如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓

10、相切，包括內切和外切兩種；如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2）圓與圓的位置關系可以用數量關系來表示：若設兩圓圓心之間的距離為 d，兩圓的半徑分別是 r1 r2,且 r1 r2，則有兩圓外離dr1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交 2-r1dr1+r2兩圓內切d=r2-r1兩圓內含dr2-r124.3 正多邊形和圓知識點一 正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成 n（n 是大于 2 的自然數）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊

11、形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二 正多邊形的性質（1）正 n 邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n 個全等的直角三角形。（2） 所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正 n 邊形共有 n 條對稱軸，每條對稱軸都經過正 n 邊形的中心；當正 n 邊形的邊數為偶數時，這個正 n 邊形也是中心對稱圖形，正 n 邊形的中心就是對稱中心。（3）正 n 邊形的每一個內角等于(n - 2) ´180°，中心角和外角相等，等于360°

12、。nn24.4 弧長和扇形面積npR知識點一 弧長公式 l= 180nnpR在半徑為 R 的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長 C=2R，所以 n°的圓心角所對的弧長的計算公式 l=×2R=。360180知識點二 扇形面積公式npR 2在半徑為 R 的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積 S=R2，所以圓心角為 n°的扇形的面積為 S 扇形= 360。比較扇形的弧長公式和面積公式發現：npR 2npR111S 扇形=360=180´2R =2 lR,所以s扇形=2 lR知識點三 圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是

13、曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為 l，底面圓的半徑為 r，那么這個扇形的半徑為 l，扇形的弧長為 2r，因此圓錐的側面積 s圓錐側 = 12 × 2pr × l = prl 。圓錐的全面積為s圓錐全 = s圓錐側 + s底 = prl + pr 2 。練習：一選擇題（共10小題）1下列說法，正確的是（）A弦是直徑B弧是半圓C半圓是弧D過圓心的線段是直徑2如圖，在半徑為5cm的O中，弦AB=6cm，OCAB于點C，則OC=（）A3cmB4cmC5cmD6cm （2題圖） （3題圖） （4題圖） （5題圖） （8題圖

14、）3一個隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點O為圓心，5為半徑的圓的一部分，M是O中弦CD的中點，EM經過圓心O交O于點E若CD=6，則隧道的高（ME的長）為（）A4B6C8D94如圖，AB是O的直徑，=，COD=34°，則AEO的度數是（）A51°B56°C68°D78°5如圖，在O中，弦AC半徑OB，BOC=50°，則OAB的度數為（）A25°B50°C60°D30°6O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA=3cm，則點A與圓O的位置關系為（）A點A在圓上B點A在圓內C點A在圓外D無法確定

15、7已知O的直徑是10，圓心O到直線l的距離是5，則直線l和O的位置關系是（）A相離B相交C相切D外切8如圖，正六邊形ABCDEF內接于O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A2，B2，C，D2，9如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形，O的半徑為2，B=135°，則的長（）A2BCD10如圖，直徑AB為12的半圓，繞A點逆時針旋轉60°，此時點B旋轉到點B，則圖中陰影部分的面積是（）A12B24C6D36二填空題（共10小題）11如圖，AB是O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB于點E，已知CD=4，AE=1，則O的半徑為（9題圖） （10題圖） （11題圖）

16、 （12題圖）12如圖，在ABC中，C=90°，A=25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則的度數為13如圖，四邊形ABCD內接于O，AB為O的直徑，點C為的中點若A=40°，則B=度 （13題圖） （14題圖） （15題圖） （17題圖）14如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的P的圓心P的坐標為（3，0），將P沿x軸正方向平移，使P與y軸相切，則平移的距離為15如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，則BAO的度數為16已知一條圓弧所在圓半徑為9，弧長為，則這條弧所對的圓心角是17如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓

17、心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是（結果保留）18已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為5，則圓錐的全面積是19如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側面積是20半徑為R的圓中，有一弦恰好等于半徑，則弦所對的圓心角為三解答題（共5小題）21如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CFAD（1）請證明：E是OB的中點；（2）若AB=8，求CD的長22已知：如圖，C，D是以AB為直徑的O上的兩點，且ODBC求證：AD=DC23如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O分別與BC，A

18、C交于點D，E，過點D作O的切線DF，交AC于點F（1）求證：DFAC；（2）若O的半徑為4，CDF=22.5°，求陰影部分的面積24如圖，OAB中，OA=OB=4，A=30°，AB與O相切于點C，求圖中陰影部分的面積（結果保留）25一個幾何體的三視圖如圖所示，根據圖示的數據計算出該幾何體的表面積新人教版九年級數學上冊第二十四章圓單元試題參考答案一選擇題（共10小題）1C2B3D4A5A6B7C8D9B10B二填空題（共10小題）111250°1370141或51554°1650°m22060°三解答題（共5小題）21（1）證明：連接AC，如圖直徑AB垂直于弦CD于點E，AC