1、第三章 多維隨機變量及其分布在很多隨機現象中, 只用一個隨機變量來描述往往不夠, 而要涉及到多個隨機變量. 如炮彈命中點的位置要用一對隨機變量(橫坐標與縱坐標)來描述, 正弦交流電壓要用振幅、頻率和相位三個隨機變量來描述等等. 要研究這些隨機變量之間的聯系, 就應當同時考慮若干個隨機變量即多維隨機變量及其取值規律多維分布. 本章將介紹有關這方面的內容, 為簡明起見, 主要介紹二維情形, 有關內容可以類推到多于二維的情形.第一節 二維隨機變量一、二維隨機變量的分布函數 設E是一個隨機試驗, 它的樣本空間是S. 設X、Y是定義在S上的隨機變量, 則由它們構成的一個向量(X, Y)稱為二維隨機向量或

2、二維隨機變量.一般地, (X, Y)的性質不僅與X有關, 與Y有關, 而且還依賴于X、Y的相互關系, 因此必須把(X, Y)作為一個整體來研究. 首先引入(X, Y)的分布函數的概念.定義 設(X, Y)為二維隨機變量, 對于任意實數x、y, 二元函數F(x, y) = P(X £ x)(Y £ y)= PX £ x, Y £ y稱為二維隨機變量(X, Y)的分布函數, 或稱為隨機變量X和y的聯合分布函數.分布函數F(x, y)表示事件(X £ x)與事件(Y £ y)同時發生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有隨機坐標(X,

3、Y)的點, 則分布函數F(x, y)在(x, y)處的函數值就是隨機點(X, Y)落在平面上的以(x, y)為頂點而位于該點左下方的無限矩形內的概率.由上面的幾何解釋, 容易得到隨機點(X, Y)落在矩形區域x1 < X £ x2, y1 < Y £ y2的概率為Px1 < X £ x2, y1 < Y £ y2 = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)(1)與二元函數類似, 二元分布函數F(x, y)也具有如下一些性質:1° F(x, y)是變量x和y的單調不減函數

4、, 即當x1 < x2時, F(x1, y) £ F(x2, y); 當y1 < y2時, F(x, y1) £ F(x, y2).2° 0 £ F(x, y) £ 1, 且F(-¥, y) = 0, F(x, -¥) = 0, F(-¥,-¥) = 0, F(+¥,+¥) = 1.3° F(x, y)關于x和y都是右連續的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).4° 對任意的(x1, y1)、(x

5、2, y2), x1 < x2, y1 < y2, 有F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1) ³ 0.注: 二元分布函數具有性質1° 4°, 其逆也成立(2°中0 £ F(x, y) £ 1可去), 即若二元實值函數F(x, y)(x Î R, y Î R)滿足1° 4°, 則F(x, y)必是某二維隨機變量的(X, Y)的分布函數. 其中4°是必不可少的, 即它不能由1° 3°推出(除去0 £

6、; F(x, y) £ 1).二、二維離散型隨機變量如果二維隨機變量(X, Y)的所有可能取的值是有限對或可列無限多對, 則稱(X, Y)是二維離散型隨機變量.設二維離散型隨機變量(X, Y)所有可能取的值為(xi, yj) (i , j= 1, 2, 3, ).記PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )則由概率定義有 pij ³ 0; .我們稱PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, )為二維離散型隨機變量(X, Y)的分布律(概率分布)或隨機變量X和Y的聯合分布律, (X, Y)的分布律也可用表

7、格表示. 其分布函數為=這里表示對一切xi £ x, yj £ y的那些指標i、j求和.例1 一個口袋中有三個球, 依次標有1、2、2, 從中任取一個, 不放回袋中, 再任取一個. 設每次取球時, 各球被取到的可能性相等, 以X、Y分別記第一次和第二次取到的球上標有的數字, 求X、Y的聯合分布律與分布函數.解: (X, Y)的可能取值為(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). PX = 1, Y = 2= PX = 1PY = 2 / X = 1=.同理, 有 PX = 2, Y = 1= , PX = 2, Y = 2=.即(X, Y)的分布律如右表所示. 當x <

8、; 1, 或y < 1時, Fx, y = 0;當1 £ x < 2, 1 £ y <2時, Fx, y = 0;當1 £ x < 2, y ³ 2時, Fx, y = ;當x ³ 2, 1 £ y <2時, Fx, y =;當x ³ 2, y ³ 2時, Fx, y = 1.所以, (X, Y)的分布函數為三、二維連續型隨機變量設二維隨機變量(X, Y)的分布函數為Fx, y, 若存在非負函數f (x, y), 使對任意的x、y有，則稱(X, Y)為連續型的二維隨機變量, f (x,

9、 y)稱為二維連續型隨機變量(X, Y)的概率密度, 或稱隨機變量X、Y的聯合概率密度.概率密度f (x, y)具有以下性質:1° f (x, y) ³ 0;2° 3° 若f (x, y)在點(x, y)處連續, 則有4° 設G是xOy平面上的一個區域, 則點(X, Y)落在G內的概率為 (2)例2 設二維連續型隨機變量(X, Y)的概率密度為求: (1) 系數A; (2) 分布函數F(x, y); (3) 概率P(X, Y)ÎD, 其中D: x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.解: (1)

10、由, 得.(2) =(3) .例3 設二維連續型隨機變量(X, Y)的概率密度為 , 求PY ³ X.解: PY ³ X=.以上關于二維隨機變量的討論, 不難推廣到n(n > 2)維隨機變量的情形. 一般地, 設E是一個隨機試驗, 它的樣本空間為S, 設X1、X2、Xn是定義在S上的隨機變量, 則由它們構成的一個n維向量(X1, X2, , Xn)稱為n維隨機向量或n維隨機變量.對任意n個實數x1、x2、xn, n元函數F(x1, x2, , xn) = PX1 £ x1, X2 £ x2, , Xn £ xn稱為n維隨機變量(X1, X

11、2, , Xn)的分布函數或隨機變量(X1, X2, , Xn)的聯合分布函數, 它具有與二元分布函數類似的性質.第二節 邊 緣 分 布設(X, Y)是二維隨機變量, 其分布函數為F(x, y), 事件X £ x即為 X £ x, Y < +¥, 從而由(X, Y)的分布函數可定出X的分布函數, 記為FX (x).FX (x) = PX £ x = P X £ x, Y < +¥ = F(x, +¥)=.我們稱FX (x)為關于X的邊緣分布函數. 類似的可定義關于Y的邊緣分布函數為FY (y) = PY 

12、3; y = PX < +¥, Y £ y= F(+¥, y) = .一、離散型設(X, Y)為二維離散型隨機變量, 其分布律為PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ), 則, .從而X與Y的分布律分別為, i = 1, 2, ; , j = 1, 2, ;記, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .分別稱pi ×和p× j為(X, Y)關于X與Y的邊緣分布律.注: 1° 邊緣分布律具有一維分布律的一般性質.2° 聯合分布律唯一決定邊緣分布律, 反之不然.例1 一袋中裝

13、有3只黑球和2只白球, 分別采用有放回與不放回摸球兩種方式. 若設求(X, Y)的聯合分布律及關于X與Y的邊緣分布律.解: 有放回不放回邊緣分布律經常寫在聯合分布律的邊緣, 這就是為什么稱為邊緣分布律的緣由.二、連續型設二維連續型隨機變量(X, Y)的概率密度為f (x, y), 由;.知X與Y都是連續型隨機變量. 它們的概率密度分別為;.稱fX (x)與fY (y)分別為(X, Y)關于X與Y的邊緣概率密度.例2 設D是平面上的有界區域, 其面積為A, 若二維隨機變量(X, Y)的概率密度為則稱(X, Y)在D上服從均勻分布.現(X, Y)在以原點為中心、1為半徑的圓域上服從均勻分布, 求邊

14、緣概率密度.解: 由, 得A = p.當|x| < 1時, ; 當|x| ³ 1時, fX (x) = 0, 即同理可得, 例3 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 .其中m1、m2、s1、s2、r 都是常數, 且s1 > 0, s2 > 0, -1 < r < 1. 我們稱(X, Y)為服從參數為m1、m2、s1、s2、r的二維正態分布, 試求二維正態隨機變量的邊緣概率密度. 解: 令m = .所以, =.令, 則, 從而,.所以, (). 同理可得, ().表明, , . 此例說明, 二維正態隨機變量(X, Y)中的X、Y都服從正態分布, 并且與

15、參數r 無關. 所以對于確定的m1、m2、s1、s2而取不同的r, 對應了不同的二維正態分布, 但是其中每個隨機變量都分別服從相同的正態分布. 因此, 僅由關于X和Y的邊緣概率密度(分布), 一般不能確定X和Y的聯合概率密度(分布).第四節 相互獨立的隨機變量我們知道, 兩事件A、B相互獨立的充要條件是P(AB) = P(A)P(B)由此我們引進隨機變量相互獨立的定義. 定義 設F(x, y)及FX (x)、FY (y)分別是二維隨機變量(X, Y)的分布函數及邊緣分布函數, 若對于所有的x、y, 有 PX £ x, Y £ y = PX £ x PY £

16、; y, 即F(x, y) = FX (x)FY (y)(1)則稱隨機變量X和Y是相互獨立的. 可見, 在隨機變量X和Y相互獨立的情況下, 由關于X和Y的邊緣分布函數就唯一地確定(X, Y)的聯合分布函數, 而且還可推得= FY (y) = PY £ y.這就是說在X和Y相互獨立的情況下條件分布與邊緣分布相同, 即條件分布化成了無條件分布.一、離散型 設二維離散型隨機變量(X, Y)的聯合分布律為PX = xi, Y = yj = pij (i , j= 1, 2, 3, ),(X, Y)關于X和關于Y的邊緣分布律分別為, i = 1, 2, ;, j = 1, 2, .則X和Y相互

17、獨立的充要條件是PX = xi, Y = yj = PX = xi PY = yj, 即pij = (2) 例1 設(X, Y)的聯合分布律為證明: X和Y相互獨立. 例2 設X和Y相互獨立, 且分別具有分布律X-2-10Y13pkpk試寫出(X, Y)的聯合分布律.二、連續型 設二維連續型隨機變量(X, Y)的聯合概率密度為f (x, y), 關于X和Y的邊緣概率密度為fX (x)和fY (y), 則X和Y相互獨立的充要條件是等式f (x, y) = fX (x) fY (y)(3)幾乎處處成立. 例3 設(X, Y)服從二維正態分布, 即其聯合概率密度為 .證明: X和Y相互獨立的充要條件

18、是r = 0. 例4 若(X, Y)的聯合概率密度為則X和Y相互獨立. 證: 顯然 故有f (x, y) = fX (x) fY (y). 從而X和Y相互獨立. 例5 設X與Y是兩個相互獨立的隨機變量, X在0, 0.2上服從均勻分布, Y的概率密度為試求: (1) X與Y的聯合概率密度;(2) PY £ X. 解: (1) 由已知條件, 得 從而得X與Y的聯合概率密度為 (2) PY £ X= PY - X, 積分區域如圖, 化成二次積分后得.以上關于二維隨機變量的一些概念, 很容易推廣到n維隨機變量的情形.設n維隨機變量(X1, X2, , Xn)的聯合分布函數為F(x1, x2, , xn)