1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法；2.能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推導(dǎo)的基本思想，掌握球的表面積和體積的計(jì)算公式，并會(huì)求球的表面積和體積；4.會(huì)用柱、錐、臺體和球的表面積和體積公式求簡單幾何體的表面積和體積.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積 棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：

2、項(xiàng)目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高要點(diǎn)詮釋：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積要點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積1圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2r，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高

3、），由此可得S圓柱側(cè)=C=2r （2）圓柱的表面積：2圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長C=r，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是（2）圓錐的表面積：S圓錐表=r2+r 3圓臺的表面積（1）圓臺的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)如果圓臺的上、下底面半徑分別為r、r，母線長為，那么這個(gè)扇形的面積為(r+r)，即圓臺的側(cè)面積為S圓臺側(cè)=(r+r)（2）圓臺的表面積：要點(diǎn)詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但

4、要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系4圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示 要點(diǎn)三、柱體、錐體、臺體的體積1柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=r2h綜上，柱體的體積公式為V=Sh2錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用r2表示S，則綜上，錐體的體積公式為3臺體的體積公式棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為S、S，高是h，那么它的體積

5、是圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r、r，高是h，那么它的體積是綜上，臺體的體積公式為4柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示 要點(diǎn)四、球的表面積和體積1球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4R2即球面面積等于它的大圓面積的四倍2球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)球的體積公式為要點(diǎn)五、側(cè)面積與體積的計(jì)算1多面體的側(cè)面積與體積的計(jì)算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，對于一些較簡單的幾何組合體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺、球，再進(jìn)一

6、步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求得其表面積與體積要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運(yùn)用（1）棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：對應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長等）的平方之比要點(diǎn)詮釋：這個(gè)比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，會(huì)大大簡化計(jì)算過程在求臺體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，將臺體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式（2）有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)=C直截（其中C直截、分別

7、為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長），V棱柱=S直截（其中S直截、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長）2旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計(jì)算（1）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形式及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵（2）計(jì)算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)問題的關(guān)鍵【典型例題】類型一、簡單幾何體的表面積例1如右圖，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是 【答案】【解析】底面積

8、為，側(cè)面面積分別為6、8、10，拼成四棱柱時(shí)，有三種情況：拼成三棱柱時(shí)也有三種情況：表面積為，24a2+36, 24a2+32由題意得，解得【總結(jié)升華】（1）直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長和高的乘積；表面積等于它的側(cè)面積與上、下兩個(gè)底面的面積之和（2）求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法所謂定義法就是利用側(cè)面積為各側(cè)面面積之和來求，公式法即直接用公式求解舉一反三：【變式1】一個(gè)圓柱的底面面積是，側(cè)面展開圖是正方形，那么該圓柱的側(cè)面積為（ ）A B C D【答案】A【解析】由圓柱的底面面積是，求出圓柱的半徑為，進(jìn)一步求出側(cè)面積為例2在底面半徑為R，高為h的圓錐內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，求

9、內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)圓柱的高，并求此時(shí)側(cè)面積的最大值【思路點(diǎn)撥】一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求解。【答案】高為 側(cè)面積的最大值為【解析】如右圖，設(shè)圓柱的高為x，其底面半徑為r，則，圓柱的側(cè)面積 ，當(dāng)時(shí)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)圓柱的高為，此時(shí)側(cè)面積的最大值為【總結(jié)升華】與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題，常作軸截面，利用相似比得出變量之間的關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題解決 舉一反三：【變式1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比【答案】【解析】如右圖為其軸截面圖，設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長為則有，即，R=2r，【總結(jié)

10、升華】這是一個(gè)圓錐和圓柱的組合體旋轉(zhuǎn)體一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求各元素之間的關(guān)系，再利用相應(yīng)表面積公式計(jì)算例3粉碎機(jī)的下料斗是正四棱臺形，如圖，它的兩底面邊長分別是80 mm和440 mm，高是200 mm計(jì)算制造這一下料斗所需鐵板的面積【思路點(diǎn)撥】問題的實(shí)質(zhì)是求正四棱臺的側(cè)面積，欲求側(cè)面積，需先求出斜高可在有關(guān)的直角梯形中求出斜高【答案】2.8×105【解析】如圖所示，O、O1是兩底面的中心，則OO1是正棱臺的高設(shè)EE1是斜高，過E1作E1FOO1交OE于F，則E1FOE，在直角梯形OO1E1E中， 邊數(shù)n=4，兩底面邊長a=440 mm，a=80 mm，斜高h(yuǎn)26

11、9 mm， 答：制造這一下料斗約需鐵板2.8×105 mm2【總結(jié)升華】（1）解決與正棱臺有關(guān)的計(jì)算問題，關(guān)鍵是利用有關(guān)直角梯形，即上圖中的梯形OEE1O1、梯形OAA1O1、梯形AEE1A1（2）求棱臺的側(cè)面積，只需利用公式求解即可，這就需要求出上、下底面半徑以及母線長舉一反三：【變式1】圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺的表面積是多少？（結(jié)果中保留） 【答案】1100【變式2】鄰邊長為a，b的平行四邊形，且ab，分別以a，b兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)平行四邊形，所得幾何體的表面積分別為S1，S2，則有（ ）AS1

12、S2 BS1S2 CS1S2 DS1S2 【答案】A類型二、簡單幾何體的體積例4已知一個(gè)三棱臺上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積【答案】 【解析】如右圖所示，在三棱臺ABCABC中，O、O分別為上、下底面的中心，D、D分別是BC、BC的中點(diǎn)，則DD是梯形BCCB的高，所以又AB=20 cm，AB=30 cm，則上、下底面面積之和為由S側(cè)=S上+S下，得，所以，所以棱臺的高，由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為 【總結(jié)升華】 注意構(gòu)造簡單幾何體中的特殊三角形與特殊梯形，它們的數(shù)量關(guān)系往往是連接已知與未知的

13、橋梁，要注意利用舉一反三：【變式1】棱臺的兩個(gè)底面面積分別是245 cm2和80 cm2，截得這個(gè)棱臺的棱錐的高為35cm，求這個(gè)棱臺的體積。【答案】2325【變式2】（1）各棱長都為1的正四棱錐的體積V=_（2）如右圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（ ）A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無關(guān)【答案】（1） （2）D 【解析】從圖中可以分析出，EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為面A1B1CD面積的

14、而當(dāng)P點(diǎn)變化時(shí)，它到面A1B1CD的距離是變化的，即y的大小，影響P到面A1B1CD的距離，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化故選D例5某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )A B C D【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，再加上一個(gè)半圓錐：其底面半徑為1，高也為1；構(gòu)成的一個(gè)組合體，故其體積為故選：B【總結(jié)升華】給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解此類題目是新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視舉一反三：【變式1】某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是( )ABCD 【答案】A 【解析】由三視圖可

15、知，其幾何體是由一個(gè)正方體挖去一個(gè)圓錐所得，所以其體積是正方體的體積減去圓錐的體積之差，即類型三、球的表面積與體積例6如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐PABCDEF（底面正六邊形ABCDEF的中心為球心）求：正六棱錐PABCDEF的體積和側(cè)面積【思路點(diǎn)撥】正六棱錐PABCDEF的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，求出正六邊形的邊長，求出側(cè)面斜高，即可求出正六棱錐的體積、側(cè)面積【答案】【解析】設(shè)底面中心為O，AB中點(diǎn)為M，連結(jié)PO、OM、PM、AO，則POOM，OMAF，PMAF，OA=OP=2，【總結(jié)升華】考查空間想象能力，計(jì)算能力，能夠得到底面積是大圓，求出斜高，本題即可解決，強(qiáng)化幾何體的研

16、究，是解好立體幾何問題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ）A B4 C2 D【答案】D例7已知正四棱錐的底面邊長為a，側(cè)棱長為（1）求它的外接球的體積（2）求它的內(nèi)切球的表面積【答案】（1）（2）【解析】 如右圖，作PE垂直底面ABCD于E，則E在AC上（1）設(shè)外接球的半徑為R，球心為O，連接OA、OC，則OA=OC=OP，O為PAC的外心，即PAC的外接圓半徑就是球的半徑AB=BC=a，PAC為正三角形，（2）設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，作PEBC于F，連接EF則有，又，【總結(jié)升華】 多面體之間或多面體與球之間的切接關(guān)系，是一種

17、空間簡單幾何體之間的位置關(guān)系處理這類問題時(shí)，一般可以采用兩種轉(zhuǎn)化方法：一是轉(zhuǎn)化為平面圖形之間的內(nèi)切或外接關(guān)系；二是利用分割的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算和推理變得簡單，這里體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中非常重要的思想方法舉一反三：【變式1】 表面積為324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14，求這個(gè)正四棱柱的表面積.【答案】576【解析】設(shè)球半徑為R，正四棱柱底面邊長為a，則作軸截面如圖，又 ， 【總結(jié)升華】解決球與其他幾何體的內(nèi)切、外接問題的關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之

18、間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的【變式2】求體積為的正方體的外接球的表面積和體積【答案】【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過球心作平行于正方體任一面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點(diǎn)均在圓內(nèi)，而不是在圓上）因此，這樣的截面無法反映球的半徑與正方體的棱長的關(guān)系，注意到球心必在正方體的一個(gè)對角面上，因此，以正方體的一個(gè)對角面作截面即可如圖，以正方體的對角面作球的截面，則球心為的中點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長為，則，而【總結(jié)升華】正方體外接球的軸截面不是圓內(nèi)一正方形，而是圓內(nèi)一矩形，因此在解決棱柱內(nèi)切球和外接球的有關(guān)問題時(shí)，必須謹(jǐn)慎地作其軸截面，切忌想當(dāng)然地作圖解決球與其他幾何體的內(nèi)切、外接問題的關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素，盡可能地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的【變式3】正三棱錐的高均為1，底面邊長為，內(nèi)