1、§ 1.三角形、四邊形中的動點問題【解題思路與方法】1 .關注變化因素和不變因素以及圖形的特殊性，尋找常量和變量；2 .化動為靜(由一般到特殊)，以靜制動；3 .數學建模：確定圖形運動中的變量關系時常常建立函數模型，確定圖形運動中的特殊位置關系時常常建立方程模型；4 .關注運動問題的三個要素：運動方向、速度、范圍(直線、射線、線段、折線)；5 .注重分類討論，通過分別畫圖與分離圖形使問題簡單化；6 .根據運動元素的不同分為動點問題、動線問題、動圖問題三大類型(包括點、線、圖同時運動).典例解析一、三角形中的動點問題例1.已知，如圖 ABC是邊長3cm的等邊三角形.動點P以1cm/s的

2、速度從點A出發，沿線段 AB 向點B運動.設運動時間為t (s),(1)如圖1,當t為何值時， PBC是直角三角形？(2)如圖2,若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動.連接PQ交AC于D.如果動點P、Q 都以1cm/s的速度同時出發.那么 當t為何值時， DCCg等腰三角形？(3)如圖3,若另一動點Q從點C出發，沿射線BC方向運動.連接PQ交AC于D,連接PC.如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發.請探究：在點P、Q的運動過程中 PCDffi QCD勺面積是否相等?變式題：已知：如圖， ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點 P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿 AR BC方向勻速移動

3、，它們的速度都是 1cm/s,當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動.設點 P的運動 時間為t (s),解答下列問題：(1)當t為何值時， PBQ是直角三角形？(2)設四邊形APQC勺面積為y (cm2),求y與t的關系式；是否存在某一時刻 t,使四邊形APQC 的面積是 ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；若不存在，請說明理由。例2.如圖，已知 ABC中，AB=AC=101米，BC=8厘米，點D為AB的中點.(1)若點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A 點運動.若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時， BPM4CQ覺否全等，請說

4、明理由； 若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使 BP® ACPQ (2)若點Q以(1)中的運動速度從點 C出發，點P以原來的運動速度從點 B同時出發，都逆時針沿 ABC三邊運動，求經過多長時間點 P與點Q第一次在 ABC的哪條邊上相遇?cB變式題：如圖(1) 4ABC為等邊三角形，動點 D在邊CA上，動點P邊BC上，若這兩點分別從 C B點同時 出發，以相同的速度由 C向A和由B向C運動，連接AP, BD交于點Q兩點運動過程中 AP=BD 可通過證明 得到這個結論；(2)如果把原題中“動點 D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D, P在射線C

5、A和射線BC 上運動”，其他條件不變，如圖(2)所示，兩點運動過程中/ BQP勺大小保持不變.利用圖(2) 的情形，求證：/ BQP=60 ;(3)如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”， 其他條件不變，如圖(3),則動點D, P在運動過程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過程.二、特殊四邊形中的動點問題例 3.如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AB II DC , AD =BC =5cm ,AB=12 cm,CD=6cm ,點 P 從 A開始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動，如果點P、Q分別從A、C

6、同時出發，當其中一點到達終點時運動停止。設運動時間為t秒3 . 一_ (1)求證：當t=3時，四邊形APQD是平行四邊形；(2) PQ是否可能平分對角線 BD?若能，求出當t為何值時P分BD;若不能，請說明理由；變式題：如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,/B=90°,AB= 6j3cm,AD = 18cm,BC= 24cm。點 p 從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，規定 其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.設運動時間為t s.(1) t為何值時，四邊形 ABQP為矩形？(2) t為何值時，四邊形 PQCD為平

7、行四邊形？(3)在其它條件不變的情況下，能否通過改變點Q的運動速度，使得四邊形 PQCD為菱形？例4.如圖， ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點 O作直線MIN/ BC設MNK/ BCA的外角 平分線CF于點F,交/ ACB內角平分線CE于E.(1)試說明EO=FO(2)當點O運動到何處時，四邊形 AEC*矩形并證明你的結論；(3)若AC邊上存在點O,使四邊形AEC*正方形，猜想 ABC的形狀并證明你的結論.FEDACB變式題：1.如圖所示，有四個動點 P、。E、F分別從正方形ABCD勺四個頂點出發，沿著 AB BC CD DA 以同樣的速度向B、C Dk A各點移動。(1)試判斷四邊形

8、PQE鬼正方形并證明。(2) PE是否總過某一定點，并說明理由。(3)四邊形PQEF勺頂點位于何處時，其面積最小，最大？各是多少？2.如圖所示，在 ABC,分別以AB AC BC為邊在BC的同側作等邊 ABD等邊八ACE等邊 BCF(1)求證：四邊形 DAE比平行四邊形；(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)當ABCW足條件時，四邊形 DAE甩矩形；當ABCW足條件時，四邊形 DAE甩菱形；當ABCW足條件時，以 H A E、F為頂點的四邊形不存在延伸課堂1 .如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB，BD,ED± BD,連接AC、EC,已知AB=5,DE=1, B

9、D=8,設 CD=x(1)用含x的代數式表示AC+CE的長；(2)請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小？(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式雇%+1瓶a的最小值.2 .直線y=- 3/4x+6與坐標軸分別交于 A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發，同時到達 A點，運 動停止.點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線O? B? A運動.(1)直接寫出A B兩點的坐標；(2)設點Q的運動時間為t (秒)，OPQ勺面積為S,求出S與t之間的函數關系式；(3)當S=48/5時，求出點P的坐標，并直接寫出以點 Q P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標.上3 .梯形

10、 ABCB, AD/ BC /B=90° , AD=24cm AB=8cm BC=26cm 動點 P 從點 A 開始，沿 AD邊以1厘米/秒的速度向點D運動；動點Q從點C開始，沿CB邊以3厘米/秒的速度向B點運動 已知P、Q兩點分別從A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動。假設運 動時間為t秒，問：(1) t為何值時，四邊形 PQCD1平行四邊形？(2) t為何值時，線段 AB與線段PQ相等？(3)在某個時刻，四邊形 PQCD!能是菱形嗎？為什么？(4)是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周長相等的兩部分？若存在， 求出t的值；若不存在, 請你說明理由.4.如圖，直角梯形 ABC前，AD/ BC /ABC=90 ,已知 AD=AB=3 BC=4,動點P從B點出發，沿 線段BC向點C作勻速運動；動點 Q從點D出發,沿線段DA向點A