1、6. 勾股定理(1)學習目標：1. 了解勾股定理的發現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾股定理。2. 培養在實際生活中發現問題總結規律的意識和能力。3. 介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發愛國熱情，勤奮學習。 重點：勾股定理的內容及證明。難點：勾股定理的證明。學習過程：一?預習新知(閱讀教材第9至11頁，并完成預習內容。)1正方形A、B、C的面積有什么數量關系？之間2以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的大正方形的面積 有什么關系？歸納：等腰直角三角形三邊之間的特殊關系。(1)那么一般的直角三角形是否也有這樣的特點呢?(2) 組織學生小組學習，在方

2、格紙上畫岀一個直角邊分別為3和4的直角三角形，并以其三為邊長向外作三個正方形，并分別計算其面積。(3) 通過三個正方形的面積關系，你能說明直角三角形是否具有上述結論嗎？(4) 對于更一般的情形將如何驗證呢一 ？pn * * ri .課堂展喬方法 如圖，讓學生剪 4個全等的直角三角形，拼成如圖圖形，利用面積證明S正方形=方法.已知：在 AABC 中，ZC=90 , ZA、ZB、ZC 的對邊為 a、b、c。求證：a2+b2=c2o的面積相等。a分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形左邊S= 右邊S= 左邊和右邊面積相等，即化簡可得方法三：ab. 2以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角

3、三角形，則每個直角三角形的面積等于丄 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.；? RtAEAD 9 RtACBE,CA b E a B? ZADE = ZBEC.? ZAED + ZADE = 90 °? ZAED + ZBEC = 90 °.? ZDEC= 180 -90 =90 °. ? ADEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于非又？ ？ ZDAE = 90° , ZEBC = 90? ? AD BC.? ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 _歸納：勾股定理的具體內容是1. 如圖，直角 AABC的主要性質是：ZC=90

4、° ,（用幾何語言表示）兩銳角之間的關系： ；若ZB=30 ,則ZB的對邊和斜邊： C（3）三邊之間的關系： 2. 完成書上P11練習四. 課堂檢測1. 在RtAABC 中，ZC=90° 若a=5, b=12,貝 0 c= ； 若a=15, c=25,則 b= ； 若c=61, b=60,則 a= ； 若 a : b 3 : 4, c=io 貝0 Sriaabc = 2.已知在RtAABC 中,ZB=90° , a、b、c 是 ZXABC 的三邊，貝 U(1)c=o (已矢 n a> b,求c)(2)a=o （已矢口 b、c,求a)(3)b=o （已矢口 a

5、、c,求b)3. 直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為 4. 已知一個Rt的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 255. 等腰三角形底邊上的高為8,周長為32，則三角形的面積為（）A、56B、48C、40D、32五. 小結與反思六?教學反思7. 勾股定理（2）學習目標：1. 會用勾股定理解決簡單的實際問題。2. 樹立數形結合的思想。3. 經歷探究勾股定理在實際問題中的應用過程，感受勾股定理的應用方法。4. 培養思維意識，發展數學理念，體會勾股定理的應用價值。重點：勾股定理的應用。難點：實際問題向數學問題的轉化。一?預習新知（閱讀教材第66

6、至67頁，并完成預習內容。）1. 在解決問題時，每個直角三角形需知道幾個條件？直角三角形中哪條邊最長？2. 在長方形ABCD中，寬AB為 如,長BC為2力，求AC長.問題（1 ）在長方形 ABCD中 AB、BC AC大小關系？（2）一個門框的尺寸如圖 1所示. 若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？ 若薄木板長3米，寬1.5米呢？ 若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？二?課堂展示例：如圖2,個3米長的梯子斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米. 求梯子的底端 B距墻角O多少米？ 如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C.算一算，底端滑動的距離近似值（結果保留兩位小數）圖2

7、1. 書上P16習題1、22. 小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了 500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是 米。3. 如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4的米，則這兩株樹之間的垂直距離是米，水平距離是 來.四？課堂檢測1. 如圖，一根12米高的電線桿兩側各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是2. 如圖，原計劃從 A地必C地到B地修建一條高速公路，后因技術攻關，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工 程費用是多少？3. 如圖，欲測量松花江的寬

8、度，沿江岸取B、C兩點，在江對 岸取一點A,使AC垂直江岸，測得 BC=50米，ZB=60° ,則江面的寬度為 -4. 有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為 米。5. 一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且 RPXPQ,則RQ= 厘米。6. 如圖3,分別以Rt AABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用込、 S3表示，容易得岀 S、S2. S3之間有的關系式 五.小結 六?教學反思8. 勾股定理 （3）學習目標：1、能利用勾股定理，根據已知直角三角形的兩邊長求第三條邊長；并在數軸上表示無理數。2、體會數與

9、形的密切聯系，增強應用意識，提高運用勾股定理解決問題的能力。3、培養數形結合的數學思想，并積極參與交流，并積極發表意見。 重點：利用勾股定理在數軸上表示無理數。難點：確定以無理數為斜邊的直角三角形的兩條直角邊長。一?預習新知（閱讀教材第12 至 13 頁，并完成預習內容。）1. 探究 : 我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上畫出表示価 的點嗎？2. 分析：如果能畫出長為 的線段，就能在數軸上畫出表示尼的點。容易知道，長為厲的線段是兩條直角邊都為 的直角邊的斜邊。長為屁的線段能是直角邊為正整數的直角三角形的斜邊嗎？利用勾股定理，可以發現，長為尼的線段是直角邊為正整數 、

10、 的直角三角形的斜邊。3. 作法：在數軸上找到點 A,使0A= ，作直線 / 垂直于 0A, 在 Z 上取點 B, 使 AB= 以原點 O 為圓心，以 OB 為半徑作弧，弧與數軸的交點C 即為表示的點。4. 在數軸上畫出表示佰的點？（尺規作圖）二?課堂展示例 1 已知直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12, 求第三邊。例 2 已知：如圖，等邊 AABC 的邊長是 6cm求等邊ZXABC的高。求Saabco三.隨堂練習1. 完成書上P13第1,2題2. 填空題(1) 在 RtZXABC, ZC=90, a=8, b=15,貝! J c=。在 RtAABC, ZB=90, a=3, b=4,貝U

11、c=。在 RtAABC, ZC=90, c=10, a : b=3 : 4廁 a= , b= 。(4)已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,則第三邊長為 3. 已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16,求這個等腰三角形面積。四？課堂檢測1. 已知直角三角形中30。角所對的直角邊長是2侖cm,則另一條直角邊的長是（）A. 4cmB. 4-V3 cmC. 6cmD. 6A3 cm2. ZsABC 中，AB=15, AC=13,高 AD=12貝U AABC 的周長為()A.42B. 32C. 42 或 32D. 37 或 337分米.如果梯子的D. 8分米AC3. 一架25分米長的梯子，斜立在一

12、豎直的墻上，這時梯足距離墻底端頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑動（）A. 9分米B. 15分米C. 5分米4. 如圖，學校有一塊長方形花鋪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草.5. 等腰/XABC的腰長AB=10cm,底BC為16cm,則底邊上的高為,面積為 ?6. 一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為已知：如圖，四邊形 ABCD中，AD/7BC, AD 丄DC,ABXAC, ZB=60 ° , CD=lcm,求 BC 的長。五.小結六. 教學反思9勾股定理的逆定理(1)學習目標1. 體會勾

13、股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。2. 探究勾股定理的逆定理的證明方法。3. 理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關系。重點：掌握勾股定理的逆定理及簡單應用。難點：勾股定理的逆定理的證明。一.預習新知(閱讀教材P14 15 ,完成課前預習)1. 三邊長度分別為 3 cm、4 cm、5 cm的三角形與以 3 cm> 4 cm為直角邊的直角三角形之間 有什么關系？你是怎樣得到的？2. 你能證明以6cm、8cm、10cm為三邊長的三角形是直角三角形嗎？2 23. 如圖1&2-2,若AABC的三邊長a、b、C滿足/ +b = c ,試證明KABC是直角二圖 18.2-2角形，請

14、簡要地寫岀證明過程4. 此定理與勾股定理之間有怎樣的關系?(1)什么叫互為逆命題(2) 什么叫互為逆定理未必都有任何一個命題都有 ，但任何一個定理5. 說岀下列命題的逆命題。這些命題的逆命題成立嗎？(1)兩直線平行，內錯角相等；如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；(3)全等二角形的對應角相等；角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。課堂展示 例1 ：判斷由線段“、c組成的三角形是不是直角三角形: pH1. 完成書上P16練習1、222. 如果三條線段長a,b,c滿足0$ =c2-b，這三條線段組成的二角形是不是直角三角形 為什么？3. A,B ,C三地的兩兩距離如圖所不,A地在B地的

15、正東方、 n向，C地在B地的什么方向？5kmB12kmA4. 思考：我們知道 3、4、5是一組勾股數，那么3k、4k、5k（ k是正整數）也是一組勾股數嗎？ 一般地，如果 a、b、c是一組勾股數，那么ak、bk、ck （ k是正整數）也是一組勾股數嗎？四？課堂檢測1. 若 ZABC 的三邊 a, b, c 滿足條件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試判定 ZiABC 的形狀.2. 根24米繩子，折成三邊為三個連續偶數的三角形，則三邊長分別為多少米？此三角形的形狀為？3. 已知：如圖，在 AABC中，CD是AB邊上的高，且 CD2=AD - BD,求證：AABC 是直角三角 形

16、。五.小結 六?教學反思10. 勾股定理逆定理(2)學習目標：1. 進一步掌握勾股定理的逆定理，并會應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三形，能夠理解勾股定理及其逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用范圍2. 培養邏輯推理能力，體會“形”與“數”的結合。3. 在不同條件、不同環境中反復運用定理，達到熟練使用，靈活運用的程度。4. 培養數學思維以及合情推理意識，感悟勾股定理和逆定理的應用價值。重點：勾股定理的逆定理難點：勾股定理的逆定理的應用一 ？預習新知已知：如圖，四邊形 ABCD, AD/7BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3 。 AD求：四邊形ABCD的面積。、歸納：求

17、不規則圖形的面積時，要把不規則圖形.課堂展示例1.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎?P18.2-3例2.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米,DA=12米，又已知 ZB=90三.隨堂練習1. 完成書上P16習題第3題2. 個三角形三邊之比為3： 4 : 5,則這個三角形三邊上的高

18、值比為 A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:12D 10:8:23. 如果 ABC 的三邊 a,b,c 滿足關系式 |a + 2b 18| + (b-18) 2+|c-30|=0 貝U ZABC 是三角形四？課堂檢測1.若厶ABC 的三邊 a、b、c,滿足(a-b) (a2+b2-c2) =0,則厶 ABC 是()A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。2.若厶ABC的三邊a、b、c,滿足a： b： c=l:1： JI,試判斷ZABC的形狀3133. 已知：如圖，四邊形 ABCD, AB=1, BC=- , CD= , AD=3,且AB丄BCo求

19、：四邊形ABCD的面積4. 小強在操場上向東走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小強在 操場上向東走了 80m 后,又走 60m 的方向是 。5. 根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比 較 長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。6. 已知 ABC的三邊為 a、b、c,且a+b=4, ab=l, c=,試判定 ABC的形狀。7. 如圖，在正萬形 A B C D中，F為DC的中點，E為BC上一點且 E C=- B C,求證.ZE F A=90 .五?小結六.教學反思11. 勾股定理復習(1)學習目標1?理解勾股定理的內容，已知直角三角形的兩

20、邊，會運用勾股定理求第三邊2. 勾股定理的應用.3. 會運用勾股定理的逆定理，判斷直角二角形.重點：掌握勾股定理及其逆定理 .難點：理解勾股定理及其逆定理的應用一.復習回顧在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關系，并在此基礎上得到了勾股定理，并學習了如何利用拼圖驗證勾股定理，介紹了勾股定理的用途；本章后半部分學習了勾股定理的逆定理以及它的應用.其知識結構如下：ff角：I -勾股定理的逆定理7-定理的應爭1?勾股定理：直角三角形兩直角邊的和等于_ 的平方.就是說，對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別另 a b,斜邊亦c,朮么一定有： 這就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形一之間的

21、數量關系，是解決有關線段計算問題的重要依據.a2 =2 2 2c b ,b = c a ,c = y/a +b a = Vc2 b ,b = y/c a勾股定理的探索與驗證，一般采用“構造法通過構造幾何圖形，并計算圖形面積得岀一個等式，從而得岀或驗證勾股定理.2. 勾股定理逆定理“若三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形為一”這一命題是勾股定理的逆定理？它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據邊的關系解決角的有關問題提供了新的方法.定理的證明采用了構造法.利用已知三角形的邊 a, b；c(a2+b2=c2),先構 造一個直角邊為a, b的直角三角形，由勾股定理證明第三邊為c,進而通

22、過“SSS證明兩 個三角形全等，證明定理成立.3. 勾股定理的作用：(1) 已知直角二角形的兩邊，求第二邊；(2) 在數軸上作岀表示侖 (n為正整數)的點.勾股定理的逆定理是用來判定一個二角形是否是直角二角形的.勾股定理的逆定理也可 用來證明兩直線是否垂直，勾股定理是直角二角形的性質定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，還可以判定哪一個角是直角，從而產生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過計算來證明，體現了數形結合的思想.三角形的三邊分別為 a、b、c,其中c為最大邊，若 a2 +b2 = c 2 ,則三角形是直角三 角形；若

23、？ 2 +b2 >c2 ,則三角形是銳角三角形；若a2 +b2 <c2,則三角形是鈍角三角形.所以使用勾股定理的逆定理時首先要確定三角形的最大邊.二.課堂展示例1 :如果一個直角二角形的兩條邊長分別是6cm和8cm,那么這個二角形的周長和面積分另惺多少？例 2:如圖，在四邊形 ABCD 中，ZC=90 , AB=13, BC=4,ADF 趴求 iih AD LBD.ztiB三？隨堂練習1. 如果下列各組數是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數是（）11111A. 7, 24, 25 B. 3- , 4- , 5- C. 3, 4, 5 D. 4, 7- , 8222222.

24、 如果把直角二角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍643.三個正方形的面積如圖1,正方形A的面積為（)/A. 6B. 36C. 64D.8 /A4.直角三角形的兩直角邊分別為5cm,12cm,其中斜邊上的高為（)<100 /A. 6cmB. 8. 5cm C.cmD.cm圖 11313995. 在 AABC中，二條邊的長分別為a, b, c, a=fz 1, b=2n, c= +1 （n > 1,且“為整數）這個二角形是直角二角形嗎？若是，哪個角是直角四？課堂檢測8cm,另一只朝左挖，每分鐘挖6cm,1. 兩只小嚴鼠

25、在地下打洞，一只朝前方挖，每分鐘挖10分鐘之后兩只小嚴鼠相距（）2.A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多lm,當它把繩子的下端拉開5m后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高為A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm3. 在 AABC中，ZC=90°，若 a = 5,0=12,貝! <?=4. 等腰AABC的面積為12cm2,底上的高AD = 3cm,則它的周長為 5. 等邊AABC勺高為3cm,以AB為邊的正方形面積為 .6. 一個二角形的二邊的比為5 : 12 : 13,它的周長為60c

26、m,則它的面積是 7. 有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高岀1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，已知門寬4尺.求竹竿高與門高.8. 如圖3,臺風過后，一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長16m,你能求岀旗桿在離底部什么位置斷裂的嗎？五?小結六?教學反思12. 勾股定理復習(2)學習目標1?掌握直角三角形的邊、角之間所存在的關系，熟練應用直角三角形的勾股定理和逆定理來解決實際問題.2. 經歷反思本單元知識結構的過程，理解和領會勾股定理和逆定理3. 熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數學的偉大成就，激發愛國主義思想，培養良好

27、的學習態度.重點：掌握勾股定理以及逆定理的應用難點：應用勾股定理以及逆定理 考點一、已知兩邊求第三邊1. 在直角二角形中，若兩直角邊的長分別為lcm, 2cm ,則斜邊長為 2. 已知直角二角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長是 .3. 在數軸上作岀表 TFVH）的點.4. 已知，如圖在 A ABC中，AB=BC=CA=2cm, AD 是邊BC上的高.求AD的長；A ABC的面積.考點二、利用列方程求線段的長1. 如圖，鐵路上 A, B兩點相距 25km, C, D為兩村莊，DAXAB 于A, CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,現在要在鐵路 AB上建一個土特產品收購站E,使得C

28、, D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？。人2. 如圖，某學校（A點）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點）的距離 為500米，現要在公路上建一個小商店（C點），使之與該校 A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離.考點三、判別一個三角形是否是直角三角形131. 分別以下列四組數為一個三角形的邊長：（1）3、4、5（2） 5、 12、（3）8、 15、1（4） 4、 5、 6,其中能夠成直角三角形的有 考點四、靈活變通1. 在Rt AABC中，a, b, c分別是三條邊，ZB=90° ,已知 滬6, b二10,則邊長c二2.直角三角形中，以直角邊

29、為邊長的兩個正方形的面積為7cm2, 8cm2,則以斜邊為邊長的正方形的面積為 cm.3. 如圖一個圓柱，底圓周長 6cm,高4cm,只螞蟻沿外壁爬行，要從 A點爬到B點，則最少要爬行cm4. 如圖：帶陰影部分的半圓的面積是5取3）/B5.都是3,高是8的長方體紙箱的 A點沿紙箱 爬到B點，那么它所爬彳丁的最短路線的長是只螞蟻從長、寬/I /rLf6. 若一個三角形的周長 12cm,邊長為3cm,其他兩邊之差為這個三角形是 ?7.高6米，長10米的樓梯表面鋪地毯，則該地毯的長度至少是 米考點五、能力提升1. 已知：如圖，ZXABC中，AB>AC, AD 是BC邊上的高.cm,則如圖：在一個iJ I求證：AB 2-AC 2=BC (BD-DC).2. 如圖，四邊形 ABCD中，F為DC的中點，E為BC上一點，ACE丄