1、2004年11月系統工程理論與實踐第11期文章編號:100026788(2004)1120082206具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性條件周少武1,2,章兢1,王耀南1(11湖南大學電氣與信息工程學院,湖南長沙410084;21湖南科技大學信息與電氣工程學院,湖南湘潭411201)摘要:利用Lyapunov函數方法和M2矩陣特性,重點討論了一類具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性,導出了此類系統時滯無關穩定性條件,改進和推廣了現有文獻的結論關鍵詞:大系統;時滯;魯棒穩定性;非線性擾動;不確定性中圖分類號:TP13文獻標識碼:ARobustStabilityC

2、riteriaforInterconnectedLarge2ScaleTime2DelaySystemswithUncertainParametersandNon2linearPerturbationsZHOUShao2wu1,2,ZHANGJing1,WANGYao2nan1(11CollegeofElectrical&InformationEngineering,HunanUniversity,Changsha411084,China;21CollegeofInformation&ElectricalEngineering,HunanUniversityofSciencea

3、ndTechnology,Xiangtan41201,China)Abstract:ByusingthemethodofLyapunovfunctionandtheidentityofM2matrix,wepresentsufficientconditionsfordelay2independentasymptoticstabilityforInterconnectedlarge2scaletime2delay.Somepreviousresultsforasymptoticsystemswithuncertainparametersandnonlinearperturbationsstabi

4、lityandrobuststabilityforlarge2scalesystemswithtime2delayareimproved.Theresultsobtainedinthispaperaremoregeneralthanthoseobtainedinpreviousliterature.Keywords:large2scalesystem;time2delay;robuststability;non2linearperturbation;uncertainty1引言1近年來,在時滯系統的穩定性分析與控制器設計研究領域取得了許多研究成果Mori利用比較原理和矩陣測度給出了具有時滯的線

5、性組合系統的穩定性條件;Hmamed2利用一般化的線性系統模型,通過求解復雜的Lyapunov方程,獲得了一些重要結論;LewisandAnderson3利用Nyquist穩定判據給出了具有時滯的線性系統的時滯無關穩定的充分必要條件;SuhandBien4利用矩陣的嚴格準對角占優方法和基于Lyapunov函數的集合論方法,給出了測試時滯大系統穩定的條件;Chen,XuandShafai5給出了此類系統穩定的充分性條件,這些條件改進了文獻6-8和9中的結論;文獻10通過估計描述此類系統微分方程的近似解,獲得了一些穩定性條件;文獻11利用改進的Razumikhin定理,給出了時滯大系統的時滯無關穩

6、定性準則;文獻12給出了此類系統時滯相關穩定性測試條件;文獻13、14分別討論了具有不確定多時滯系統和具有非線性擾動的多時滯線性系統的魯棒穩定性到目前為止,許多文獻主要研究了簡單線性時滯系統的魯棒穩定性和具有不確定性的時滯系統的魯棒穩定性而關于具有非線性擾動的時滯關聯大系統魯棒穩定性的研究成果很少,本文著重討論一類具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性條件獲得了此類系統的魯棒穩定充分條件,該條件推廣了已有文獻的結論在本文中,;A代表矩陣A的Euclidean范數,A=max代表矩陣A的最大特征值收稿日期:2004201214資助項目:國家自然科學基金(19974062),湖南省自

7、然科學基金(02jjy2095)Tmax(AA);x' 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第11期具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性條件83代表矩陣向量x的Euclidean范數,x=xx;D代表對角矩陣,D=diag(d1,d2,dm)T2主要結論211具有非線性擾動的時滯大系統的魯棒穩定性考慮由m個具有非線性擾動的關聯子系統Si(i=1,2,m)組成的時滯大系統,各關聯子系統Si描述如下Si:xi(t)=Aiixi(t)+fii(xi(t)+mmmijBj=

8、1xj(t-ij)+gj=1ij(Bijxj(t-j),(1)式中,xi(t)R(i=1,2,m,有界的,且滿足下列不等式nin=n)代表各關聯子系統Sii=1的狀態向量;假定系統中的非線性擾動是fii(xi(t)iixi(t),gij(xj(t-j)ijxj(t-j),ii,ij0,)(i,j=1,2,m)用fii、gij分別代表fii(xi(t)和gij(xj(t-j)引理15對任給A,PRn×n;x,yRn,R+若非負定,有xAPy+yPAxxAPAx+TTTTTyPy.T假設每一個矩陣Aii(i=1,2,m)是穩定的,則對于任意給定的正定對稱矩陣Qi(i=1,2,m),存在唯

9、一的正定對稱矩陣Pi(i=1,2,m)滿足Lyapunov矩陣方程PiAii+ATQi.iiPi=-(2)設U=(uij)m×m,uij=PiBij+ijPi,可得定理1如果不等式U,i=1,2,m.min(Qi)2iiPi+2成立,則系統(1)是魯棒漸近穩定的證明設>0,構造如下Lyapunov函數m(3)V(x)=i=1mi=1xi(t)Pixi(t)+T-itTxi(s)xi(s)ds.(4)dt(1)=-mTTTxi(t)Qixi(t)+fiiPixi(t)+xi(t)Pifii+xj=1TjTT(t-j)BTj)+gTijPixi(t)+xi(t)PiBijxj(t-

10、ijPixi(t)+xi(t)PigijT+xTxi(t-i)xi(t-i)i(t)xi(t)-m-i=1m(min(Qi)+2iiPi)xi(t)+2(PBij=1ij+ijPi)xi(t)xj(t-j)+xi(t)2-xi(t-i)2m=-i=1m2(2xi(t)2-xi(t-i)2min(Qi)-iiPi)xi(t)+zT(t-)Uz(t)+zT(t)UTz(t-)-i=12(2xi(t)2-xi(t-i)2min(Qi)-iiPi)xi(t)+TTTz(t)UUz(t)+z(t-)z(t-)© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc

11、Co., Ltd. All rights reserved.84m系統工程理論與實踐2004年11月=-i=1(2min(Qi)-iiPi-)xi(t).U2-式中,z(t)=(x1(t),x2(t),xm(t)T,z(t-)=(x1(t-),x2(t-),xm(t-T).取=U,可得m2(-22U)xi(t).min(Qi)-iiPi-(1)dti=1顯然,如果條件(5)成立,則存在>0使得dt(1)(5)-xi(t)2.定理1證畢現在考慮由m個具有非線性擾動的關聯子系統Si(i=1,2,m)組成的時滯大系統,各關聯子系統Si描述如下:Si:xi(t)=Aiixi(t)+fii(xi(

12、t)+mmijmmijj=1,ijAijxj(t)+j=1,ijfij(xj(t)(6)+Bj=1mii=1xj(t-j)+gj=1(xj(t-j),i式中,xi(t)R(i=1,2,m,有界的,且滿足下列不等式nin=n)代表各關聯子系統Sfii(xi(t)iixi(t)fij(xj(t)ijxj(t)的狀態向量;假定系統中的非線性擾動是gij(xj(t-j)ijxj(t-j)ii,ij,ij0,)(i,j=1,2,m)用fii、fij和gij分別代表fii(xi(t)、fij(xj(t)和gij(xj(t-j)設R=(rij)m×m,rij=-min(Qi)+ijPi,i=j2P

13、iAij+iiPi,ijU=(uij)m×m,uij=PiBij+ijPi.推論1系統(6)是魯棒漸近穩定的,如果-(R+UI)是M2矩陣證明設di>0(i=1,2,m),>0構造如下Lyapunov函數mV(x)=di=1ixi(t)Pixi(t)+T-itTxi(s)xi(s)ds.(7)dtm(6)=-i=1mTTTxi(t)Qixi(t)+fiiPixi(t)+xi(t)Pifii+j=1,ijmTTTTxTj(t)AijPixi(t)+xi(t)PiAijxj(t)+fijPixi(t)+xi(t)Pifijxj=1TjTT(t-)BTj)+gTijPixi(t

14、)+xi(t)PiBijxj(t-ijPixi(t)+xi(t)PigijT+xTxi(t-i)xi(t-i)i(t)xi(t)-m2di(-min(Qi)+2iiPi)xi(t)im+j=1,ij2(PAiij+ijPi)xi(t)xj(t)© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第11期m具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性條件85+2(PBij=1ij+ijPi)xi(t)xj(t-j)+xi(t)2-xi(t-i)2=DzT(t)RTz(t)+zT(t)R

15、z(t)+zT(t-)Uz(t)+zT(t)UTz(t-)+(zT(t)z(t)-zT(t-)z(t-)DzT(t)RTz(t)+zT(t)Rz(t)+TTz(t)z(t)-z(t-)z(t-)TTTz(t)UUz(t)+z(t-)z(t-)+=DzT(t)RTz(t)+zT(t)Rz(t)+U2+zT(t)z(t).取=U,可得dt(6)zT(t)(R+UI)TDz(t)+zT(t)D(R+UI)z(t).(8)推論1證畢212具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性現在考慮由m個具有不確定性和非線性擾動的關聯子系統Si(i=1,2,m)組成的時滯大系統,各關聯子系統Si描述如下

16、:Si:xi(t)=(Amiim+Aii)xi(t)+fii(xi(t)+mmijj=1,ijij(Aij+Aij)xj(t)+j=1,ijfij(xj(t)(9)+ni(Bj=1+Bij)xj(t-j)+migj=1(xj(t-j).i式中,xi(t)R(i=1,2,m,n=n)代表各關聯子系統Si=1的狀態向量;假定系統中的不確定性參數和非線性擾動是有界的,且滿足下列不等式Aiiii,!ijij,Bijij,fii(xi(t)iixi(t),fij(xj(t)ijxj(t),gij(xj(t-j)ijxj(t-j),ii,ij,ij,ii,ij,ij0,)(i,j=1,2,m)設R=(ri

17、j)m×m,rij=-(min(Qi)+ii+ii)Pi,i=j2PiAij+(ij+ij)Pi,ijU=(uij)m×m,uij=PiBij+(ij+ij)Pi.定理2系統(9)是魯棒漸近穩定的,如果-(R+UI)是M2矩陣證明設di>0(i=1,2,m),>0構造如下Lyapunov函數mV(x)=i=1dixi(t)Pixi(t)+T-itTxi(s)xi(s)ds.(10)iidtmm(9)=-i=1TTTTTxi(t)Qixi(t)+xi(t)AiiPi+PiAiixi(t)+fiiPixi(t)+xi(t)Pif+j=1,ijmxTj(t)(ATjT

18、ijT+ATij)Pixi(t)+xi(t)Pi(AijT+Aij)xj(t)+fTijPixi(t)+xi(t)Pifijxj=1(t-)(BTijT+BTij)Pixi(t)+xi(t)Pi(BijT+Bij)xj(t-j)+gTijPixi(t)+xi(t)PigijT+xTxi(t-i)xi(t-i)i(t)xi(t)-© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.86m系統工程理論與實踐2004年11月2di(-min(Qi)+2(ii+ii)Pi)xi(t)im+j=1,i

19、jm2(PAiiijij+(ij+ij)Pi)xi(t)xj(t)2(PBj=1+(ij+ij)Pi)xi(t)xj(t-j)+xi(t)2-xi(t-i)2=DzT(t)RTz(t)+zT(t)Rz(t)+zT(t-)Uz(t)+zT(t)UTz(t-)+(zT(t)z(t)-zT(t-)z(t-)DzT(t)RTz(t)+zT(t)Rz(t)+TTz(t)z(t)-z(t-)z(t-)TTTz(t)UUz(t)+z(t-)z(t-)+=DzT(t)RTz(t)+zT(t)Rz(t)+U2+zT(t)z(t).取=U,可得dt定理2證畢(9)zT(t)(R+UI)TDz(t)+zT(t)D(

20、R+UI)z(t).(11)3實例考慮如下具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統(為便于和已有文獻的結果比較,計算實例中沒有考慮gij和fij(ij).(B11+B11)x1(t-1)+(B12+B12)x2(t-2)x1(t)=(A11+A11)x1(t)+(Bx2(t)=(Ax3(t)=(A2213+B13)x3(t-3)+f+B23)x3(t-3)+f+B32)x2(t-2)+f11111111111(x1(t);21+A22)x2(t)+(B22+B22)x2(t-2)+(B2322+B21)x1(t-1)+B31)x1(t-1)+(B33(x2(t);31+A33)x3(t)+(B

21、33+B33)x3(t-3)+(B3233+(B(x3(t).-51A11=,B11=2-62A22=,B22=1-72A33=,B33=1-2,),Aij,Bij(i,j=1,3):,B,B,B12=,B,B,B13=21233132取Qi=2I,可得Pi如下P1=,P2=,P3=.11<113237,22<112246,33<110230,(11+22+33)<113677特別地不考慮fii,由定理2,可得.11<117530,22<115688,33<113440我們的結果和相關文獻的結果比較見表1© 1995-2005 Tsinghu

22、a Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第11期具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統的魯棒穩定性條件87表1比較結果表明本文的結果優于已有文獻的結論評論1文獻1給出與系統(9)相似的系統(未考慮非線性擾動)是否漸近穩定的條件是N×N檢測矩陣Mij=(mij),其中,-(Ai)-Aii,i=jmij=-Aij,ij表111本文結果文獻10結果文獻16結果文獻9結果<1.7530<1.4418<0.3117<0.633622<1.5688<1.4434<0.5833<0

23、.670033<1.3440<0.7993<0.3117<1.5886是否為一M矩陣這要求系統矩陣必須在一般意義下是穩定的,即要求(Ai)<0,而本文結果沒有此約束評論2文獻4利用比較原理,得出了與系統(9)相似的系統(未考慮非線性擾動)漸近穩定的條件是N×N測試矩陣L=(lij),其中-2M(Pi)m(Pi)2Aii,i=j2-Aij,ijm(Pi)是否為一對角元素為正的嚴格準對角占優矩陣(等價于一M矩陣)其結論比文獻11更保守本文結論不要求M矩陣是嚴格準對角占優矩陣評論3文獻10改進了文獻1,4,11的結論,但未考慮系統可能存在的各種非線性擾動,本文

24、結論lij=推廣了已有文獻的結論,能用于測試具有非線性擾動的時滯大系統的穩定性,具有更好的工程應用價值4結論利用Lyapunov方法和M2矩陣特性,導出了一類具有不確定性和非線性擾動的時滯關聯大系統時滯無關魯棒穩定條件,給出了測試此類系統穩定性的簡單方法本文的結論改進和推廣了已有文獻的結論,具有更廣泛的工程應用背景關于此類系統的鎮定問題,我們將在以后的論文中進行討論研究參考文獻:1MoriT,FukumaN,KuwaharaM.SimplestabilitycriteriaforsingleandcompositelinearSystemwithtimedelaysJ.IntJContr,19

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26、J.IEEETransonAutomatContr,1982,27:256-258.5ChenJ,XuD,ShafaiB.OnsufficientconditionsforstabilityindependentofdelayJ.Contr,1995,40:1675-1680.6BrierleySD,ChiassonJN,LeeFB,ZakSH.OnstabilityindependentofdelayforlinearsystemJ.IEEETransonAutomatContr,1982,27:252-254.7HaleJK,InfanteEF,TsenFSP.Stabilityinlin

27、eardelayequationsJ.JMathAnalAppl,1985,105:533-535.8HamamedA.Onthestabilityoftime2delaysystems:NewresultsJ.IntJContr,1986,43:455-462.9SchoenGM,GeeringHPA.Noteonrobustnessboundsforlarge2scaletime2delaysystemsJ.SystemsSci,1995,26:2441-2444.10張志飛,章兢.具有時變時滯的線性大系統的穩定性J.控制與決策,2001,16(2):155-158.ZhangZ,Zhan

28、gJ.Stabilityconditionsoflinearlarge2scalesystemswithtime2varyingdelayJ.ControlandDecision,2001,16(2):155-158.11XuB,LuiY.Animprovedrazumikhin2typetheoremanditsapplicationJ.IEEETransonAutomatContr,1994,39:839-842.IEEETransonAutomat(下轉第105頁)© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All

29、rights reserved.第11期參考文獻:易逝商品最優廣告投入與訂貨策略的博弈分析105InternationalJournalofProductionEconomics,2003,86:93-105.2PetruzziNC,MDada.Pricingandthenewsvendorproblem:AreviewwithextensionsJ.OperationsResearch,1999,47(2):183-194.ManagementScience,1998,44:276-283.4KhoujiaM.TheNewsboyproblemunderprogressivemultiple

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