1、直線與圓的方程的應用【學習目標】1能利用直線與圓的方程解決有關的幾何問題；2能利用直線與圓的方程解決有關的實際問題；3進一步體會、感悟坐標法在解決有關問題時的作用【要點梳理】要點一、用直線與圓的方程解決實際問題的步驟1從實際問題中提煉幾何圖形；2建立直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面問題轉化為代數問題；3通過代數運算，解決代數問題；4將結果“翻譯”成幾何結論并作答要點二、用坐標方法解決幾何問題的“三步曲”用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓；然后對坐標和方程進行代數運算；最后再把代數運算結果“翻譯”成相應的幾何結論.這就是用坐標法解決平面幾何

2、問題的“三步曲”.第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.要點詮釋：坐標法的實質就是借助于點的坐標，運用解析工具(即有關公式)將平面圖形的若干性質翻譯成若干數量關系.在這里，代數是工具、是方法，這是笛卡兒解析幾何的精髓所在.要點三、用坐標法解決幾何問題時應注意以下幾點1建立直角坐標系時不能隨便，應在利于解題的原則下建立適當的直角坐標系；2在實際問題中，有些量具有一定的條件，轉化成代數問題時要注意范圍；3最后要把代數結果轉化成幾何結論【典型例題】類型一：直線

3、與圓的方程的實際應用例1有一種大型商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品運回來，每公里的運費A地是B地的兩倍，若A、B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低，那么不同地點的居民應如何選擇購買此商品的地點？【答案】圓C內的居民應在A地購物同理可推得圓C外的居民應在B地購物圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物【解析】以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，如下圖所示設A（5，0），則B（5，0）在坐標平面內任取一點P（x，y），設從A地運貨到P地的運費為2a元km，則從B地運貨到P地的運費為a元km若P地居民選擇在

4、A地購買此商品，則，整理得即點P在圓的內部也就是說，圓C內的居民應在A地購物同理可推得圓C外的居民應在B地購物圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物【總結升華】利用直線與圓的方程解決實際問題的程序是：（1）認真審題，明確題意；（2）建立直角坐標系，用坐標表示點，用方程表示曲線，從而在實際問題中建立直線與圓的方程的模型；（3）利用直線與圓的方程的有關知識求解問題；（4）把代數結果還原為對實際問題的解釋在實際問題中，遇到直線與圓的問題，利用坐標法比用平面幾何及純三角的方法解決有時要簡捷些，其關鍵在于建立適當的直角坐標系建立適當的直角坐標系應遵循三點：（1）若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐

5、標軸；（2）常選特殊點作為直角坐標系的原點；（3）盡量使已知點位于坐標軸上建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程要想學會建立適當的直角坐標系，必須靠平時經驗的積累舉一反三：【變式1】 如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需要用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）.【答案】3.86m【解析】建立坐標系如圖所示.圓心的坐標是(0，)，圓的半徑是，那么圓的方程是：因為P(0,4)、B(10,0)都在圓上，所以解得，.所以圓的方程為把代入圓的方程得，所以,即支柱的高度約為3.86m.【變式2】某市氣象臺測得今年第三號臺風中心在其正東300

6、km處，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移動.據測定，距臺風中心250 km的圓形區域內部都將受到臺風影響，請你推算該市受臺風影響的起始時間與持續時間.(精確到分鐘)【答案】90分鐘 10 h【解析】利用坐標法來求解.如圖，不妨先建立直角坐標系xOy，其中圓A的半徑為250 km，過B(300，0)作傾斜角為150°的直線交圓于點C、D，則該市受臺風影響的起始與終結時間分別為C開始至D結束，然后利用圓的有關知識進行求解.以該市所在位置A為原點，正東方向為x軸的正方向建立直角坐標系，開始時臺風中心在B(300，0)處，臺風中心沿傾斜角為150°方向的直線移動

7、，其軌跡方程為y=(x-300)(x300).該市受臺風影響時，臺風中心在圓x2+y2=2502內，設射線與圓交于C、D，則CA=AD=250，臺風中心到達C點時，開始影響該市，中心移至D點時，影響結束，作AHCD于H，則AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD=200，BC=-200，則該市受臺風影響的起始時間t1=1.5(h)，即約90分鐘后臺風影響該市，臺風影響的持續時間t2=10(h)，即臺風對該市的影響持續時間為10 h.【總結升華】應用問題首先要搞清題意，最好是畫圖分析，運用坐標法求解，首先要建立適當的坐標系，設出點的坐標.還要搞清里面敘述的術語的含

8、義.構造圓的方程進行解題(如求函數的最值問題)時，必須充分聯想其幾何意義，也就是由數思形.如方程y=1+表示以(0，1)為圓心，1為半徑的上半圓，表示原點與曲線f(x，y)=0上動點連線的斜率.類型二：直線與圓的方程在平面幾何中的應用例2AB為圓的定直徑，CD為直徑，自D作AB的垂線DE，延長ED到P，使|PD|=|AB|，求證：直線CP必過一定點 【答案】直線CP過定點（0，r） 【解析】建立適當的直角坐標系，得到直線CP的方程，然后探討其過定點，此時要聯想證明曲線過定點的方法 證明：以線段AB所在的直線為x軸，以AB中點為原點，建立直角坐標系，如下圖設圓的方程為x2+y2=r2，直徑AB位

9、于x軸上，動直徑為CD 令C（x0，y0），則D（x0，y0）， P（x0，y02r） 直線CP的方程為 即 (y0+r)x(y+r)x0=0 直線CP過直線：x=0，y+r=0的交點（0，r），即直線CP過定點（0，r） 【總結升華】利用直線與方程解決平面幾何問題時，要充分利用圓的方程、直線和圓的位置關系、圓與圓的位置關系等有關知識，正確使用坐標方法，使實際問題轉化為代數問題，然后通過代數運算解決代數問題，最后解釋代數運算結果的實際含義 舉一反三： 【變式1】如圖，在圓O上任取C點為圓心，作一圓與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓D交于E、F，求證：EF平分CD證明：令圓O方程為x2+y2=1

10、 EF與CD相交于H，令C（x1，y1），則可得圓C的方程(xx1)+(yy1)2=y12，即x2+y22x1x2y1y+x12=0 得2x1x+2y1y1x12=0 式就是直線EF的方程，設CD的中點為H，其坐標為，將H代入式，得即H在EF上，EF平分CD類型三：直線與圓的方程在代數中的應用例3已知實數x、y滿足x2+y2+4x+3=0，求的最大值與最小值 【答案】 【解析】（1）如圖所示，設M（x，y），則點M在圓O：(x+2)2+y2=1上 令Q（1，2），則設，即kxyk+2=0過Q作圓O1的兩條切線QA、QB，則直線QM夾在兩切線QA、QB之間，kAQkQMkQB又由O1到直線kxy

11、k+2=0的距離為1，得，即的最大值為，最小值為 【總結升華】本例中利用圖形的形象直觀性，使代數問題得以簡捷地解決，如何由“數”聯想到“形”呢？關鍵是抓住“數”中的某些結構特征，聯想到解析幾何中的某些方程、公式，從而挖掘出“數”的幾何意義，實現“數”向“形”的轉化本例中由方程聯想得到圓，由等聯想到斜率公式 由此可知，利用直線與圓的方程解決代數問題的關鍵是由某些代數式的結構特征聯想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關知識并結合圖形的形象直觀性來分析解決問題，也就是數形結合思想方法的靈活運用涉及與圓有關的最值問題，可借助圖形性質利用數形結合求解，一般地：（1）形如形式的最值問題，可轉

12、化為動直線斜率的最值問題；（2）形如t=ax+by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；（3）形如d=(xa)2+(yb)2形式的最值問題，可轉化為到定點P（a，b）距離的平方的最值問題舉一反三： 【變式1】設函數和，已知當x4，0時，恒有，求實數a的取值范圍 【答案】【解析】因為，所以，即，分別畫出和的草圖，利用數形結合法，當直線與半圓相切時取到最大值，由圓心到直線的距離為2，求出，即得答案【變式2】已知點A（3，0），B（0，3），若點P在圓上運動，則PAB面積的最小值為_【答案】【解析】圓的標準方程為，圓心C（1，0），半徑r=1，當過P的直線和AB平行時，PAB的面積最小，A（

13、3，0），B（0，3），AB的方程為，即xy+3=0，此時圓心C到直線AB的距離，則PAB的邊長，AB邊上的高，則PAB面積，故答案為：類型四：直線與圓的方程的綜合應用例4已知圓C關于y軸對稱，圓心在x軸上方，且經過點，被x軸分成兩段弧長之比為12，求圓C的標準方程【思路點撥】設圓心C（0，a），a0，由題意可得圓被x軸截得的弦對的圓心角為，故有，求得a=1，可得半徑CP的值，從而求得圓的方程【答案】【解析】設圓心C（0，a），a0，則半徑為CA，根據圓被x軸分成兩段弧長之比為12，可得圓被x軸截得的弦對的圓心角為，故有，解得a=1，半徑，故圓的方程為舉一反三： 【變式1】已知圓x2+y2+x

14、6y+m=0與直線x+2y3=0相交于P、Q兩點，點O為坐標原點，若OPOQ，求m的值【答案】3【解析】 由得代入，化簡得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，設的坐標分別為，由可得： = = =0解得：例5已知：以點（tR，t0）為圓心的圓與x軸交于點O，與y軸交于點O，B，其中O為原點（1）當t=2時，求圓C的方程；（2）求證：OAB的面積為定值；（3）設直線y=2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程【思路點撥】（1）當t=2時，圓心為C（2，1），即可得出圓C的方程；（2）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可；（3）設MN的中點為H，則CHMN，根據C、H、O三點共線，KMN=2，由直線OC的斜率，求得t的值，可得所求的圓C的方程【答案】（1）(x2)2+(y1)2=5；（2）定值為4；（3）(x2)2+(y1)2=5【解析】（1）當t=2時，圓心為C（2，1），圓C的方程為(x2)2+(y1)2=5；（2）由題設知，圓C的方程為，化簡得當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；當x=0時，y=0或，則，為定值（3）OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設M