1、提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51高中高考數學易錯易忘題分類匯總及“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在難，進行中常見的 66 個易錯、易忘典型題目，這些問題也是高的熱點和重點，做到力避偏、怪、剖析并配以近幾年的高題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高確實，乘風另一方面通過作性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高破浪，實現自已的理想報負。例1、設 Ax | x2 - 8x +15 = 0， B = x

2、 | ax -1 = 0 ，若 AB = B ，求實數 a 組成的集合的子集有多少個？B = BB Í A ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易【易錯點分析】此題由條件 A忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a 值產生漏解現象。：集合A 化簡得 A = 3,5，由 AB = B 知 B Í A 故（）當 B = f 時，即方程 ax -1 = 0 無解，此時 a=0 符合已知條件（）當 B ¹ f 時，即方程 ax -1 = 0 的3 或 5，代入得 a = 1 或 1 。35ì1 ü1綜上滿足條件的a 組成的集合為í0,

3、, ý，故其子集共有 2 = 8 個。3î3 5 þ【練 1】已知集合 Ax | x2 + 4x = 0 、 B = x | x2 + 2(a + 1) x + a2 -1 = 0，若 B Í A ，則實數a 的取值范圍是。： a = 1 或 a £ -1。y2例 2、已知( x + 2)2+ = 1,求 x + y 的取值范圍224【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于x 的函數最值求解，但極易忽略 x、y2y 滿足( x + 2)2+ = 1這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。4提分寶解答您學習上的

4、所有難題歡迎關注：tfbao51第 1 頁 共 61 頁【易錯點 2】求解函數值域或單調區間易忽視定義域優先的原則?！局R點歸類點拔】（1）在應用條件 AB Û AB Û 時，要樹立起分類討論的數學思想， 將集合是空集的情況優先進行討論（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語言）和自然語言之間的轉化如： A = ( x, y) | x2 + y2 = 4，B = ( x, y ) | ( x - 3)2 + ( y - 4)2

5、= r 2，其中 r > 0 ,若 AB = f 求r 的取值范圍。將集合所表達的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合A 表示以原點為圓心以 2 的半徑的圓，集合B 表示以（3，4） 為圓心，以r 為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的 等也要注意集合語言的應用?！疽族e點 1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51y2y 2：由于( x + 2)2+= 1得(x+2)2=1-1，-3x-1 從而x2+y2=-3x2-16x-12=4428828+因

6、此當x=-1 時x2+y2 有最小值1, 當x=- 時，x2+y2 有最大值。故x2+y2 的取值范圍是1,283333x2y2= 1 (b > 0) 上變化，則 x+ 2 y 的最大值為【練 2】（05 高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線+b224（）ìb2ìb2+ 4 (0 < b < 4)+ 4 (0 < b < 2)ïïb24+ 4 （D） 2b（A） í 4（B） í 4（C）ïî2b (b ³ 4)ïî2b (b ³ 2)：Aa &#

7、215; 2x -1f ( x) =( x)-1是R 上的奇函數，（1）求 a 的值（2）求的反函數 f例3、1+ 2x【易錯點分析】求解已知函數的反函數時，易忽略求解反函數的定義域即原函數的值域而出錯。f ( x) + f (-x) = 0 （或 f (0) = 0 ）求得 a=1.：（1）利用2x -11+ yf ( x) =+1 ，設 y = f ( x) ,則 2 (1- y) = 1+ y 由于 y ¹ 1 故 2 2x（2）由 a = 1即=，1- yxx1+ y2x -12x +11+ x22x +1f ( x) =Î(-1,1) 所以 f -1 ( x) =

8、 log 1-x (-1 < x < 1)x = log1- y ，而= 1-22f (³ 1) 的反函數是（）³ 1)³ 1)【練 3】（2004理）函數< 1)< 1)A、 y =B、 y =C、 y =D、 y =提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 2 頁 共 61 頁【知識點歸類點拔】（1）在求解函數的反函數時，一定要通過確定原函數的值域即反函數的定義域在反函數的式后表明（若反函數的定義域為R 可省略）。（2）應用 f -1(b) = a Û f (a) = b 可省略求反函數的步驟，直接利用原函數求解

9、但應注意其自變量和函數值要互換。【易錯點 3】求解函數的反函數易漏掉確定原函數的值域即反函數的定義域。2y2【知識點歸類點拔】事實上我們可以從幾何的角度來理解條件( x + 2) += 1對 x、y 的限制，4顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則-3x-1， -2 £ y £ 2 。此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51：Bf ( x) = 1 - 2x ，函數 y = g ( x) 的圖像與 y =f -1 ( x -1) 的圖象關于直線 y = x 對例 4、已知函數1 + x式為（）稱，則 y = g

10、( x) 的3 - 2x2 - x1 + x1 - x2 + x32 + xA、 g ( x) =B、 g ( x) =C、 g ( x) =D、 g ( x) =xy = g ( x) 與 y =f -1 ( x -1)互為反函數，而認為 y =f -1 ( x -1) 的【易錯點分析】解答本題時1 - 2 ( x -1)1 + ( x -1)3 - 2xf ( x -1) 則 y = g ( x) = f ( x -1) = =反函數是 y =而錯選A。x1 - ( x -1)2 + (-1)1 - 2x1 - x2 - xf ( x) =( x) =( x -1) =-1從而 y = f

11、-1=得 f：由再求1 + x2 + x1 + x2 - x1 + x( x -1)的反函數得 g ( x) =y = f-1。正確：B-1-1【練 4】（2004 高考福建卷）已知函數 y=log2x 的反函數是 y=f (x)，則函數 y= f (1-x)的圖象是（）：Blg (1- x2 )函數 f (x) =例5、的奇偶性。x - 2 - 2lg (1- x2 )x + 2 - 2f ( x) 從【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解： f (-x) =¹提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 3 頁 共 61 頁【易錯點 5】函數的奇偶

12、性忽視函數具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。【知識點分類點拔】函數 y = f -1 ( x -1)與函數 y = f ( x -1) 并不互為反函數，他只是表示 f -1 ( x)中x 用x-1 替代后的反函數值。這是因為由求反函數的過程來看：設 y = f ( x -1) 則 f -1 ( y) = x -1，x = f -1 ( y) + 1再將x、y 互換即得 y = f ( x -1) 的反函數為 y = f -1 ( x) + 1，故 y = f ( x -1) 的反函數不是 y = f -1 ( x -1)，因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。【易錯點 4】求反函數與反函

13、數值錯位提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51f ( x) 為而得出函數非偶函數的錯誤結論。ìï1- x2 > 0即函數的定義域為(-1, 0)(0,1) 定義域關于原點對稱，：由函數的式知x 滿足íïî x - 2¹ ±2lg (1- x2 )f ( x) =f (-x) = - f ( x) 即函數為奇函數。在定義域下易證-x【練 5】下列函數的奇偶性：f () =4 - x2 +x2 - 4 ff：既是奇函數又是偶函數非偶函數非偶函數2 x-21 öf (1 ( x) ，證明1 ( x)

14、 是奇函數且在>-ff例6、÷ 的反函數為函數è22 ø其定義域上是增函數。f -1 ( x) 的表f -1 ( x) 與 f ( x) 具有相同的單調性和奇偶性，【思維分析】可求，再證明。若注意到f ( x) 的單調性和奇偶性即可。只需研究原函數-2-22 x+12 x-12 x+1f (-x) = log=- f ( x) ，故 f ( x) 為奇函數從而 f -1 ( x) 為= log 2 x-1 = -log：222奇函數。又令t = 2x -1 = 1-æ1 öæ 1ö22x +1在 -¥, -和

15、, +¥ 上均為增函數且 y = log t 為增函數，ç2 ÷ç 2÷2x +12èøèøæ1 öæ 1ö( )f -1 ( x) 分別在(0, +¥)和(-¥,0) 上分別為故 f x 在 -¥, -和, +¥ 上分別為增函數。故ç2 ÷ç 2÷èøèø增函數。ex - e- x高考題）已知 f (x) =【練 6】（1）（99，則如下結論正確

16、的是（）2提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 4 頁 共 61 頁【知識點歸類點拔】對于反函數知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數必有反函數。（2）奇函數的反函數也是奇函數且原函數和反函數具有相同的單調性。（3）定義域為非單元素的偶函數不反函數。 （ 4 ）周期函數不反函數（ 5 ）原函數的定義域和值域和反函數的定義域和值域到換。即 f -1(b) = a Û f (a) = b ?！疽族e點 6】易忘原函數和反函數的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖?！局R點歸類點拔】（1）函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在函數的奇

17、偶性時一定要先研究函數的定義域。（2）函數 f ( x) 具有奇偶性，則 f ( x) = f (-x)或 f ( x) = - f (-x) 是對定義域內x 的恒等式。常常利用這一點求解函數中字母參數的值。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51A、 f ( x) 是奇函數且為增函數C、 f ( x) 是偶函數且為增函數：Af ( x)B、是奇函數且為減函數D、 f ( x) 是偶函數且為減函數卷）設 f -1 ( x) 是函數 f ( x) = 1 (ax - a-x ) (a > 1) 的反函數，則使 f -1 ( x) > 1 成立的 x 的（2）（20052

18、a2 -1a2 -1a2 - 1, +¥)B、(-¥,D、(a, +¥)取值范圍為（）A、()C、(, a)2a2a2aa2 -1 .）f ( x) > 1 Û f ( f ( x) > f (1) Û x > f (1) =：A （ a > 1 時， f ( x) 單調增函數，所以-1-12abf ( x) = ax +(a > 0,b > 0) 的單調性并給出證明。例 7、試函數x【易錯點分析】在解答題中證明或函數的單調性必須依據函數的性質解答。特別注意定義f ( x2 )( f ( x1 ) <

19、f ( x2 )中的 x1 , x2 的任意性。以及函數的單調區間必是f ( x1 ) >x1 Î D, x2 Î D函數定義域的子集，要樹立定義域優先的意識。f (-x) = - f ( x) 即函數f ( x) 為奇函數，因此只需f ( x) 在(0, +¥) 上的單調性：由于函數) ax1x2 - bf (- f ( x ) = ( x> x > 0- x- x > 0即可。設 x由于 x，故當 1221212x x 1 2Îæb , + ¥öf ( x ) - f ( x ) > 0 ，

20、此時函數 f ( x) 在æö上增函數，同理可證b ,a+¥ ÷x , x時ç÷ç1212aèøèøæ0,上為減函數。又由于函數為奇函數， 故函數在a ÷çb öæ -öbf ( x) 在 ç,0 為減函數， 在a÷函數èøèøö上分別為增函數，在æ -¥, - b ö 為增函數。綜上所述：函數f ( x) 在æ -&

21、#165;, -b öæ和b ,a+¥ ÷ça ÷ça ÷çèøèøèøæ0,b öæ -öb,0 上分別為減函數.a÷ça ÷ 和çèøèø提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 5 頁 共 61 頁【知識歸類點拔】（1）函數的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。f

22、( x1 ) - f ( x2 )（2）單調性的定義等價于如下形式： f ( x) 在a, b 上是增函數Û> 0 ， f ( x) 在x1 - x2a, b 上是減函數Û f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 ，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數的圖象上任意兩x1 - x2【易錯點 7】證明或函數的單調性要從定義出發，注意步驟的規范性及樹立定義域優先的原則。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao511- xf ( x) = ax +(a > 0) （1）用單調性的定義f ( x) 在【練 7】（1） （濰坊市統考題）函數ax(0,

23、 +¥)上的單調性。（2）設f ( x) 在 0 < x £ 1的最小值為 g (a) ，求 y = g (a) 的式。ì2 - 1 (a ³ 1)æ：（1）函數在, +¥ 為增函數在 0,為減函數。（2） y = g a =öæöï11( )aíç a÷ça ÷èøèøïîa (0 < a < 1)exaaf ( x) =函數在(0, +¥)（2）（2001

24、）設 a > 0 且+ 為R 上的偶函數。（1）求a 的值（2）試ex上的單調性并給出證明。：（1） a = 1 （2）函數在(0, +¥)上為增函數（證明略）f (ax3 + 3x2 - x +1上是減函數，求a 的取值范圍。例 8、（2004高考卷）已知函數【易錯點分析】 f ¢( x) < 0(x Î(a,b) 是f ( x) 在(a,b) 內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程f ( x) = -x3 在R 上遞減，但 f ¢( x) = -3x2 £ 0 。中易誤作是充要條件，如f ¢( x) = 3ax2 +

25、6x -1 （ 1 ）當 f ¢( x) < 0 時， f ( x)：求函數的導數 是減函數， 則ìa < 0f ¢(3ax2 + 6x -1 < 0( x Î R)a < -3 。（ 2 ） 當 a = -3 時 ，íD< 0故îæ1 ö38f (-3x3 + 3x2 - x +1 = -3ç x -+此時函數也在R 上是減函數。（3）當 a > -3 時，÷è3 ø9f ¢( x) > 0 ，所以當 a > -3

26、時，函數 f ( x) 不是減函數，綜上，所求在 R 上一個區間在其上有a的取值范圍是(-¥, -3 。提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 6 頁 共 61 頁【知識歸類點拔】若函數 f ( x) 可導，其導數與函數的單調性的關系現以增函數為例來說明： f ¢(x) > 0【易錯點 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。點(x1, f ( x1 ),(x2 , f ( x2 )連線的斜率都大于（小于）零。b（3） f ( x) = ax +(a > 0,b > 0) 是一種重要的函數模

27、型，要引起重視并注意應用。但注意本題中不x能說 f ( x) 在æ -¥, - b öæb ,ö 上為增函數，在æ 0,b öæ - bö 上為減函數,在敘ça ÷ça +¥ ÷ça ÷ça ,0÷èøèøèøèø述函數的單調區間時不能在多個單調區間之間添加符號“”和“或”，提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51【練 8】

28、（1）（2003 新課程）函數 y = x2 + bx + c (x Î(0, +¥)是是單調函數的充要條件是（）A、b ³ 0B、b £ 0 C、b > 0 D、b < 0：A212f ( x) = k在(1, 2) 上遞減，在(2, +¥)x -x - kx + 2x +2432（2）是否這樣的K 值，使函數3上遞增？： k = 1 。（提示據題意結合函數的連續性知f ¢(2) = 0 ，但 f ¢(2) = 0 是函數在(1, 2) 上遞減，2在(2, +¥) 上遞增的必要條件，不一定是充分條件因

29、此由 f ¢(2) = 0 求出K 值后要檢驗。）11例 9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2 的最小值。ab11錯解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+112ab1ab11+4=8(a+)2+(b+)2 的最小ab ·+44aba 2b2ab值是 81【易錯點分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是 a=b=,第21二次等號成立的條件 ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8 不是最小值。ab提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 7 頁 共

30、61 頁【易錯點 9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內。與 f (x) 為增函數的關系: f ¢(x) > 0 能推出 f (x) 為增函數，但反之不一定。如函數 f (x) = x3 在(-¥,+¥) 上單調遞增， 但 f ¢(x) ³ 0 ， f ¢(x) > 0 是 f (x) 為增函數的充分不必要條件。f ¢(x) ¹ 0 時， f ¢(x) > 0 與 f (x) 為增函數的關系: 若將 f ¢(x

31、) = 0 的根作為分界點， 因為規定f ¢(x) ¹ 0 ，即摳去了分界點，此時 f (x) 為增函數，就一定有 f ¢(x) > 0 。當 f ¢(x) ¹ 0 時，f ¢(x) > 0 是 f (x) 為增函數的充分必要條件。 f ¢(x) ³ 0 與 f (x) 為增函數的關系: f (x) 為增函數，一定可以推出 f ¢(x) ³ 0 ，但反之不一定，因為 f ¢(x) ³ 0 ，即為 f ¢(x) > 0 或 f ¢(x) =

32、 0 。當函數在某個區間內恒有 f ¢(x) = 0 ，則 f (x) 為，函數不具有單調性。 f ¢(x) ³ 0 是 f (x) 為增函數的必要不充分條件。函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，要把握好以上三個關系，用導數好函數的單調性。因此新為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。 因此本題在第一步后再對 a = -3 和 a > -3 進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的

33、錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao511111112：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4ababa 2b2a 2b2a + b111111)2=得：1-2ab1-=,且=(1-2ab)(1+)+4 由 ab(16，1+17a 2b2a 2b2a 2b2242212511125原式×17+4=(當且僅當 a=b=時，等號成立)(a+)2+(b+)2 的最小值是。222ab2【練 9】（97卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽車從甲地勻速行駛到

34、乙地，速度不得超過 c km/h ,已知汽車每小時的成本（以元為）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（km/h）的平方成正比，比例系數為 b;固定部分為 a 元。（1）（2）把全程成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；為了使全程成本最小，汽車應以多大速度行駛？為:（1）y =(bv + a)(0 < v £ c)（2）使全程sabab2成本最小，當c 時，行駛速度 v=；va當c 時，行駛速度 v=c。b例 10、是否實數a 使函數 f ( x) = loga在2, 4 上是增函數？若ax2 -x明理由。求出a 的值，若不，說【易錯點分析

35、】本題主要考查對數函數的單調性及復合函數的單調性函數的真數大于零這個限制條件而導致a 的范圍擴大。方法，在解題過程中易忽略對數f ( x) 是由f ( x) = ax2 - x 和 y = log f( x) 復合而成的，根據復合函數的單調性的a：函數方法（1）當 a>1 時，若使 f ( x) = loga在2, 4 上是增函數，則f ( x) = ax - x 在2, 4 上是增函ax2 -x2ì1£ 2ïax2 -x 在2, 4 上是增a>1。（2）當 a<1 時若使 f ( x) = log數且大于零。故有 2aíaï

36、îf (2) = 4a - 2 > 0ì1³ 4ï( )函數，則f x = ax - x 在 2, 4 上是減函數且大于零。 2a2í不等式組無解。綜上ïîf (4) = 16a - 4 > 0所述實數 a>1 使得函數 f ( x) = loga在2, 4 上是增函數ax2 -x提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 8 頁 共 61 頁【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數的單調性如：一次函數的單調性取決于一次項系數的符號，二次函數的單調性決定于二次項系數的符號及對稱軸的位置，指數函數、

37、對數函數的單調性決定于其底數的范圍（大于 1 還是小于 1），特別在解決涉及指、對復合函數的單調性問題時要樹立分類討論的數學思想（對數型函數還要注意定義域的限制）?！疽族e點 10】在涉及指對型函數的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函數的真數的限制條件?！局R歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內。提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51【練 10】（1）（三月分統考變式題）設 a > 0 ，且 a ¹ 1試求函數

38、y = loga 4 + 3x - x 的的單調區2間。æ3 ùé 3öæ3 ù：當 0 < a < 1，函數在 -1,上單調遞減在,4 上單調遞增當 a > 1 函數在 -1,上單調ç÷ç2 úê 22 úèûëøèûé 3ö遞增在,4 上單調遞減。÷êë 2ø(x3 - ax) (a > 0, a ¹ 1) 在區間(-

39、1 , 0) 內單調遞增，則 a 的）若函數 f ( x) = log（2）（2005 高考a21399C、( , +¥) 4取值范圍是（）A、 ,1)4B、 ,1)4D、(1, )4：B.（記 g ( x) = x3 - ax ，則 g '( x) = 3x2 - a 當 a > 1 時，要使得 f ( x) 是增函數，則需有 g ' ( x) > 0æ 1 ö23.排除C、D 當 0 < a < 1 時，要使 f ( x) 是函數，則需有 g ' ( x) < 0 恒a < 3 -=.4恒成立，所以&

40、#231;÷2èøæ 1 ö23成立，所以a > 3ç - 2 ÷= .排除A）4èø例 11、已知sin x + sin y = 1 求sin y - cos2 x 的最大值3【易錯點分析】此題學生都能通過條件sin x + sin y =將問題轉化為關于sin x 的函數，進而利用換3元的思想令t = sin x 將問題變為關于 t 的二次函數最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，111：由已知條件有 sin y =- sin x 且 sin y =- sin x Î-1

41、,1 （結合 sin x Î-1,1 ）得33- 2 £ sin x £ 1 3sin y - cos2 x = 1 - sin x3= sin2 x - sin x - 2 令3- cos2 x， 而=æ2ö2 æ2ö2t = sin x -£t £ 1t - t -£ t £ 1根據二次函數配方得： 當 t = -即32ç÷3 ç÷則原式=è3øè3ø24sin x = - 式取得最大值。93【練 11

42、】（1）（高考變式題）設 a>0，000 求 f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a 2 的最大值和提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 9 頁 共 61 頁【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是，“思想”是深化，提高數學素質的就是提高 學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”，解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化

43、，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的 變量，可以把分散的條件起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論起來?；蛘咦優槭煜さ?形式，把復雜的計算和推證簡化。【易錯點 11】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51最小值。ì122ï 2 (0 < a <)12：f(x)的最小值為2a 2 2 a 2 ，最大值為íï- 2a 2 + 2122a -(a ³)ïî22x >ax 3 的是(4,b)，則 a，b。（2）不等式2x = t

44、原不等式變為關于t 的一元二次不等式的為(2, b )）： a = 1 , b = 36 （提示8且 a = 1, a= 1 s例 12、（2005 高考北京卷）數列a 前ns。（1）求 a , a , a 的值及數列nn1n+1n2343an 的通項公式?！疽族e點分析】此題在應用 sn 與 an 的關系時誤認為 an = sn - sn-1 對于任意 n 值的情況的驗證。易得出數列an 為等比數列的錯誤結論。立，忽略了對 n=1141627113sn-1 (n ³ 2)： 易 求 得 a2 =, a3 =, a4 =。由 a1 = 1, an+1 =sn得 an =故393a- a

45、 = 1 s - 1 s= 1 a= 4 an ³ 2= 1，a = 1 故該數列從第(n ³ 2) 得 a()又 an+1nnn-1nn+1n1233333ì1(n = 1)ï= í1 æ 4 ö二項開始為等比數列故 ann-2。(n ³ 2)ï3 ç 3 ÷èøî理）已知數列an 滿足 a1+ (n -1) an-1 (n ³ 2)= 1, an = a1 + 2a2 + 3a3 +【練 12】（2004則數列an 的通 。ì1(n

46、 = 1)= ï：（將條件右端視為數列na 的前n-1利用公式法解答即可） aí n!(n ³ 2)nnïî 2提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 10 頁 共 61 頁【易錯點 13】利用函數知識求解數列的最大n最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從 1 開始）ìïs1 (n = 1)【知識點歸類點拔】對于數列 an 與 sn 之間有如： an = í利用兩者之間的關系ïîsn - sn-1 (n ³ 2)可以已知 sn 求 an 。但注意只有在當 a1

47、 適合 an = sn - sn-1 (n ³ 2)時兩者才可以合并否則要寫分段函數的形式?！疽族e點 12】已知 Sn 求 an 時, 易忽略n的情況提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51例 13、等差數列an 的首項 a1 > 0 ，前nsn ，當l ¹ m 時， sm = sl 。問n 為sn 最大?【易錯點分析】等差數列的前 n是關于 n 的二次函數，可將問題轉化為求解關于 n 的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件。()n n -12d =n + a - d ö n 此函數是以 n 為變量的二次函

48、0;df (n) = na+2：由題意知 s =ç 12 ÷n12èøf (l ) = f (m) 得當數，因為 a1 > 0 ，當 l ¹ m 時， sm = sl 故 d < 0 即此二次函數開口，故由x = l + m 時f ( x) 取得最大值，但由于 n Î N + ，故若l + m 為偶數，當 n = l + m 時， s 最大。n22當l + m 為奇數時，當 n = l + m ± 1 時 s 最大。n2高考題）設an 是等差數列， sn 是前n，且 s5 < s6 ， s6 = s7 &g

49、t; s8 ，則下列【練 13】（2001結論錯誤的是（）A、 d < 0 B、 a7 = 0 C、 s9 > s5 D、 s6 和 s7 均為 sn 的最大值。：C（提示利用二次函數的知識得等差數列前n關于n 的二次函數的對稱軸再結合單調性解答）例 14、已知關于的方程 x2 - 3x + a = 0 和 x2 - 3x + b = 0 的四個根組成首3 的等差數列，求4a + b 的值。【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的何排列的。如3：不妨設是方程 x2 - 3x + a = 0 的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數列的性

50、質知方程4x2 - 3x + a = 0 的另一根是此等差數列的第四項，而方程 x2 - 3x + b = 0 的兩根是等差數列的中間兩3 5 7 9273531項，根據等差數列知識此等差數列為： ,故 a =, b =從而 a + b =。4 4, 4 416168提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 11 頁 共 61 頁【知識點歸類點拔】等差數列和等比數列的性質是數列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數列an ，若 n + m = p + q ，則 an + am = ap + aq ；【易錯點 14】解答數列問題時沒有結

51、合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣?！局R點歸類點拔】數列的通項公式及前 n公式都可視為定義域為正整數集或其子集（從 1 開始）上的函數，因此在解題過程中要樹立函數思想及觀點應用函數知識解決問題。特別的等差數列的前 n公式是關于n 的二次函數且沒有項，反之滿足形如 sn = an + bn 所對應的數列也必然是等差數列的前2snæs ön。此時由= an + b 知數列中的點ç n, n ÷ 是同一直線上，這也是一個很重要的結論。此外形如nèn ø前nsn = ca - c 所對應的數列必比數列的前n。n提分寶，解

52、答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51）已知方程 x2 - 2x + m = 0 和 x2 - 2x + n = 0 的四個根組成一個首項【練 14】（2003理131238為的等差數列，則 m - n=（） A、1 B、C、D、44：C例 15、數列an 中， a1 = 1 ， a2 = 2 ，數列an × an+1 是公比為 q （ q > 0 ）的等比數列。（I）求使 an an+1 + an+1an+2> an+2 an+3 成立的 q 的取值范圍；（II）求數列an 的前 2n 項的和 S 2n 【易錯點分析】對于等比數列的前 n易忽略公比 q=1 的特殊

53、情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發研究條件數列an × an+1 是公比為 q （ q > 0 ）的等比數列得到數列奇數偶數項成等比數列而找不到解題口。使思維受阻。解：（I）數列an × an+1 是公比為 q 的等比數列， an+1an+2= an an+1q ，an+2 an+3= anan+1q ，2由 an an+1 + an+1an+2 > an+2 an+3 得 an an+1 + an an+1q > an an+1q2Þ 1 +2 ，即- 1 < 0 （ q > 0 ），0 < q < 1 +52

54、（II）由數列a × a 是公比為 q 的等比數列，得 an+1an+2= q Þ an+2= q ，這表明數列a 的nn+1na aan n+1n所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是 q ，又 a1 = 1 ， a2 = 2 ，當 q ¹ 1 時，= a1 + a2 + a3 + a4 +L + a2n-1 + a2nS2n= (a1 + a2 + a3 +L+ an ) + (a2 + a4 + a6 +L+ a2n )a (1 - qn )a (1 - qn )3(1 - qn )= 1+ 2=，當 q = 1 時，1 - q1 - q1

55、- q= a1 + a2 + a3 + a4 +L+ a2n-1 + a2nS2n= (a1 + a2 + a3 +L+ an ) + (a2 + a4 + a6 +L+ a2n )提分寶解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51第 12 頁 共 61 頁【易錯點 15】用等比數列求和公式求和時，易忽略公比的情況對于等比數列an ，若 n + m = u + v ，則 an × am = au × av ；若數列an 是等比數列， Sn 是其前 n項的和， k Î N * ，那么 Sk ， S 2k - Sk ， S3k - S2k 成等比數列；若數列an 是等差數列， Sn 是其前 n項的和， k Î N * ，那么 S ， S- S ， S- S成等差數列等性質要熟練和靈活應用。k2kk3k2k提分寶，解答您學習上的所有難題歡迎關注：tfbao51= (1 + 1 + 1 +L+ 1) + (2 + 2 + 2 +L+ 2) = 3n 【練 15】（2005 高考卷一第一問）設等比數列an 的公比為q，前 n圍。：