1、2017-2018學年度第一學期線性代數試題卷命題：求是學社線性代數命題研究組填空題1、排列的逆序數等于4，排列的逆序數等于 2、設A=，而n2為整數，則= 3、 設4階方陣的伴隨矩陣為，若，則= 4、 4、向量組，線性無關，則滿足的關系是 5、設四階矩陣與相似，矩陣的特征值為則行列式= 選擇題1、 設都是階非零矩陣，且，則和( ) A、必有一個等于 B、一個小于，一個等于 C、都小于 D、一個小于，一個大于2、 若向量組線性無關，線性相關，則（ ） A、必可由線性表示 B、必可由線性表示 C、必可由線性表示 D、必可由線性表示3、 設均為階對稱矩陣，則可能不是對稱矩陣的是（ ） A、 B、

2、C、 D、(為正整數）4、 齊次線性方程組有非零解，則（ ） A、或 B、或 B、或 D、或5、 設有向量組，則該向量組的極大線性無關組是（ ） A、 B、 C、 D、計算題1、計算行列式2、設方程組討論a的取值，使得方程組有唯一解，無解，有無窮多個解。當方程有無窮多個解時，并求出其通解。3、 ，求向量組的一個極大線性無關組與秩，并把其余向量用極大線性無關組線性表示。4、 設A=，P=，,令M=B+2E，求M的特征值與特征向量。5、設A為四階矩陣，A=，又,求矩陣B。證明題設階矩陣的伴隨矩陣為,證明:(1)若,則;（2）2017-2018學年度線性代數試題卷答案填空題1、2、 3、 當時，于是

3、4、 由線性無關的行列式5、 因為 所以特征值相同 的特征值 選擇題：1、 C.當時（都為階方陣）由定理又都為非零矩陣所以均小于2、 C因為線性相關，所以線性相關（部分相關，整體相關）又線性無關所以為的極大無關組則可由線性表示（向量組的任何一個向量都可以由線性無關組表示）3、 C因為為對稱矩陣，所以所以所以是對稱矩陣又所以為對稱矩陣4、B當，時 僅有零解 時 有非零解當，此時 所以5、B設 極大無關組為于是本題中為注（考試時將向量全部轉置為列向量求秩和極大無關組）大題1、解：按最后一列展開 得： 再按第一列展開 得： 再按第一行展開 得： 2、方程組可寫為AX=b，對增廣矩陣(A,b)進行初等

4、行變換得 （1）當a-1且a-3時，R（A）=R(A,b),所以方程組有唯一解 （2）當a=-1，R(A)<R(A,b),無解（3） 當a=3，R(A)=R(A,b)=2<3,有無窮多解(A,b)化為行最簡型，所以X=k3、把化為行最簡型。則向量組的一個最大線性無關組，且4、 =所以A的特征值=1，=7由=1，求解（A-E）=0 A-E=所以=1對應的線性無關的特征向量為 =7，求解（A-E）=0 A-7E=得=7對應的線性無關的特征向量為 由A的特征值 A對應的線性無關的特征向量為，由B=PAP得B的特征值7,7,1，對應的線性無關的特征向量為,則B-2E的特征值為9，9,3，對應的線性無關的特征向量為，5、 ，對于兩邊右乘A，左乘A得,即,整理得,解得B=接下來就是求的逆矩陣咯，由。證明題用反證法（2）此時命題成立。所以校內交流，歡迎轉載！ 歡迎加入河南工大數學