1、論文題目：線性微分方程的穩定性及其應用 院 系： 數學科學學院 專 業： 數學與應用數學 姓 名： 劉英波 學 號： 02211063 指導教師： 云文在 完成時間： 2006 年6月3日 線性微分方程的穩定性及其應用劉英波包頭師范學院數學系摘要：Lyapunov意義下的幾種穩定性定義；線性系統的所有解具有相同的穩性；線性系統的穩定性與吸引性等價；線性微分方程的穩定性定理；Lyapunov穩定性定理及其在線性系統穩定性分析中的應用。關鍵詞：線性微分方程 穩定性引言穩定性的概念，最早來源于力學。李雅譜諾夫（Lyapunov）是第一位給出運動穩定性數學定義的人，并提出了解決穩定性問題的方法，從而奠

2、定了現代穩定性理論的基礎。線性系統有著廣泛的實際背景，各種實例，俯拾即得；同時，又是非線性系統化的重要源泉。由于線性系統成立迭加原理，從而使解集構成線性空間，并 且通解可以通過Cauchy矩陣來表達，使穩定性理論有許多深刻的結果和特殊的方法。穩定性、吸引性的定義考慮線性微分方程組 記,為含原點的空間的n維開子集。在中連續，簡記為, 分別為的定義域和值域。設方程 的Cauchy問題的解唯一，記,。設是的未受擾動的解，是的任意一個被擾動的解，作變換，則式化為 故式的解對應著式的平凡解。因此只研究式的平凡解的穩定性就夠了。設保證式的解的整體存在的唯一性，對任意的t,當且僅當,時，是式的平凡解。以表示

3、式滿足初始值的解，設在上有定義。定義：若，當時，對一切，有，稱方程的解是穩定的；反之，稱方程的解是不穩定的，即。定義：若，當，對一切，有，稱方程的解是一致穩定的。定義：若，當，時，有，即，稱方程 的解是吸引的；若上述的T僅依賴于，不依賴于，即，稱方程的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依賴于，不依賴于，即：。定義：稱方程的解分別是漸近穩定，等度漸近穩定，擬一致漸近穩定的，若：1）它是穩定的；2）它分別為吸引、等度吸引、一致吸引的。定義：稱方程的解是一致漸近穩定的，若它是一致穩定的和一致吸引的，且式的所有解是一致有界的（即,當對一切成立）。例1 試判斷線性方程組的穩定性解 通解為

4、，或，(與無關),當時，就有，故平凡解一致穩定。但故平凡解不是吸引的，從而不是漸近穩定的。非齊次與齊次方程組穩定性的關系考慮n維變系數非齊次線性方程組 及對應的齊次方程組 其中,。若x,y是式的解，則也是式的解；若x,y分別是式的解，則x-y也是式的解。式的n個線性無關的解就構成式的解空間的基。設是式的基解矩陣，則為式的標準基解矩陣，又稱為 Cauchy矩陣。定義：若方程組的所有解具有某種穩定性，則稱方程組具有這種穩定性。定理:，方程組具有某種穩定性,當且僅當式的解具有相同的穩定性。推論:方程組具有某種穩定性，當且僅當的某一個解具有同一種穩定性。推論:具有某種穩定性，當且僅當方程組具有同一種穩

5、定性，當且僅當方程組的零解具有同一種穩定性。例2 線性控制系統的一般形式為其中為n維向量，為向量輸入函數,為輸出函數，均為相應維數的連續函數矩陣。我們只研究對應的齊次系統的零解的穩定性。齊次方程組穩定性的幾個等價定理定理:方程組的平凡解穩定(一致穩定)的充要條件是它的Cauchy矩陣(有界(一致有界)。定理：方程組的平凡解漸近穩定的充要條件是它的平凡解是吸引的。證 充分性 若式的平凡解吸引，則，使當使時，取，便得到Cauchy矩陣的第k列，故有界，從而有界。由定理知式的平凡解穩定，故充分性結論成立。必要性顯然成立。推論:方程組的平凡解一致漸近穩定等價于平凡解一致吸引，且一致有界。定理:方程組的

6、平凡解漸近穩定(一致漸近穩定)的充要條件是的Cauchy矩陣。,且一致有界。證 充分性 因為且一致有界),故存在正常數，使得。由定理知式的平凡解穩定(一致穩定）,又由知式的平凡解吸引(一致吸引)。必要性 仿上面定理的證明蘊涵，且一致有界蘊涵，且一致有界，從而結論成立。線性微分方程的穩定性定理考慮齊次線性方程組 當是n階常數矩陣時，它的任一解均可表為形如的線性組合，這里為方程組的系數矩陣的特征方程的根，為零或正整數。定理：設齊次線性方程組的矩陣為常矩陣，則1）零解是穩定的，當且僅當矩陣的全部特征根的實部是非正的，并且那些實部為零的特征根所對應的若爾當塊都是一階的；2）零解是漸近穩定的，當且僅當矩

7、陣的全部特征根都有負的實部；3）零解是不穩定的，當且僅當矩陣的特征根中至少有一個實部為正或者至少有一個實部為零，且它所對應的若爾當塊都是高于一階的。定理：對于一元n次常系數代數方程 其中，做行列式，當時，則式的所有根均有負實部的充要條件是的一切主子式都大于零。例3 判斷方程組的零解的穩定性解：方程組的系數矩陣為，則特征方程為 因為，所以根據定理知式的所有根具有負實部，因此其零解是漸近穩定的。Lyapunov第二法Lyapunov定義了一個函數，稱為Lyapunov函數。這個函數應用更廣泛。實際上，任一純量函數只要滿足Lyapunov穩定性定理的假設條件，都可作為Lyapunov函數。Lyapu

8、nov函數與和t有關，用或者來表示Lyapunov函數。如果在Lyapunov函數中不含t,則用或表示，對時間的全導數用表示。1、 純量函數的正定性如果對所有在域W中的非零狀態，有，且在處有，則在域W內的純量函數稱為正定函數。如果函數由一個定常的正定函數作為下限，即存在一個正定函數，使得, 對所有, 對所有則稱函數在域W內是正定的。2、純量函數的負定性 如果是正定函數，則純量函數-稱為負定函數。3、純量函數的正半定形如果純量函數除了原點以及某些狀態等于零外，在域W內的所有狀態都是正定的，則稱為正半定純量函數。4、純量函數的負半定性如果 -是正半定函數，則純量函數稱為負半定函數。5、純量函數的不

9、定性如果在域W內，不論域W多么小，既可為正值，也可為負值時，則純量函數稱為不定的純量函數。李雅普諾夫穩定性定理 設系統狀態方程為，其平衡狀態滿足,不失一般性，把狀態空間原點作為平衡狀態，并設系統在原點鄰域存在對的連續的一階偏導數。定理：若正定，負定；則原點是漸近穩定的。定理：若正定，負半定，且在非零狀態不恒為零，則原點是漸近穩定的。定理：若正定，負半定，且在非零狀態恒為零，則原點是李雅普諾夫意義下穩定的。定理：若正定，正定，則原點是不穩定的。例4 試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性。 ，解 令,得知原點是惟一的平衡狀態。選,則,當時,；當時，故不定，不能對穩定性作出判斷，應重選。選 ，則考慮狀態方程后得，對于非零狀態（如，）存在，對于其余非零狀態，故負半定。根據定理，原點是漸近穩定的。參考文獻：1常微分方程（第二版）王高雄 周之銘 周思銘 王壽林編 高等教育出版社2常微分方程教程（第二版）丁