1、分類(lèi)號(hào) 密級(jí)本 科 畢 業(yè) 論 文題 目 幾類(lèi)非線性微分方程解的性態(tài)分析 英文題目學(xué)生姓名 院（系） 數(shù)理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào)指導(dǎo)教師 職 稱(chēng)2012年6月摘 要Hopf分支是一種重要?jiǎng)討B(tài)分支，在電路系統(tǒng)、生物模型中具有重要的實(shí)際意義，因此，本文對(duì)三類(lèi)非線性系統(tǒng)進(jìn)行了Hopf分支分析.給出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的參數(shù)范圍.關(guān)鍵詞: 非線性微分方程; Hopf分支; 中心流形定理; 形式級(jí)數(shù)法IABSTRACTThe quality of equilibrium, stability of zero solutions and Hopf bifurcations for some

2、 kinds of nonlinear systems are analyzed in this paper. It is well known that a hyperbolic equilibrium of the linear system is stable and the type of the equilibrium will not change when the linear system turns to nonlinear systems. However, the non-hyperbolic equilibrium is always unstable, it may

3、be changed to another type of equilibrium when the linear system changes to nonlinear systems. So, it is necessary to judge the type of the non-hyperbolic equilibrium for the nonlinear systems. Formal series method is an effective way to judge the type of a non-hyperbolic equilibrium. We analyze the

4、 type of focus for two kinds of nonlinear systems. As we know, the stability of zero solutions for nonlinear systems can be obtained using the stability of zero solutions for the corresponding linear systems. But, it is difficult to obtain the stability of zero solutions for higher dimensional syste

5、ms. The Center manifold theorem provide an effective methods to lower the dimension of systems. We give the stability of zero solutions for two kinds of nonlinear systems by virtue of Center manifold theorem in this paper.Hopf bifurcation is an important moving bifurcation and it is applied to circu

6、itry systems, biological model and etc. The Hopf bifurcation is analyzed for three kinds of nonlinear systems in this paper.This paper is divided into three parts. In the first part the research background, the research significance and our main results are introduced. We provide some basic knowledg

7、e and theorems in the second part. The quality of equilibrium, stability of zero solutions and Hopf bifurcations for some kinds of nonlinear systems are analyzed in the third part, and some diagrams for the trajectories near the equilibrium are drawed by virtue of Matlab. And we give a summary for t

8、his paper in the last part.key words: Nonlinear differential equation; Hopf bifurcation; Center maniflodmethod; Formal series methodII目 錄1 前 言 . 11.1 研究背景 . 11.2 本文的主要工作 . 42 預(yù)備知識(shí) . 52.1 平衡點(diǎn)的分類(lèi) . 52.2 中心流形定理 . 82.3 系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性 . 92.4 Hopf分支 . 103 幾類(lèi)非線性系統(tǒng)的定性與分支分析 . 123.1 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型分析 . 123.2 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的奇

9、點(diǎn)類(lèi)型及零解穩(wěn)定性分析 . 133.3 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的Hopf分支 . 143.4 一類(lèi)三維非線性系統(tǒng)的Hopf分支 . 163.5 一類(lèi)食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及Hopf分支分析 . 184 總 結(jié) . 22致 謝 . 23參考文獻(xiàn) . 24III2012屆本科畢業(yè)論文1 前 言1.1 研究背景隨著科學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步,在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的研究領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了很多新的挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其中動(dòng)力系統(tǒng)解的性態(tài)分析是近年來(lái)研究的熱點(diǎn)之一. 對(duì)于線性系統(tǒng)的研究已經(jīng)存在了大量的結(jié)論,而在實(shí)際中非線性系統(tǒng)往往具有更重要的意義和應(yīng)用前景.對(duì)于動(dòng)力模型解的性態(tài)的分析,通常有三種方法：（1）求出方程的解析解；

10、（2）求方程的數(shù)值解；（3）對(duì)解的性態(tài)進(jìn)行定性分析.事實(shí)上,對(duì)于大部分非線性動(dòng)力模型,不易甚至不能找到解析解,數(shù)值解只是一種近似解,因此在問(wèn)題的研究過(guò)程中,對(duì)解的性態(tài)進(jìn)行定性分析顯示出極大的優(yōu)勢(shì).定性分析即不求解方程而研究時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的漸近性態(tài),其理論包括定性（奇點(diǎn)的類(lèi)型、極限環(huán)的存在性等）、穩(wěn)定性、震動(dòng)性與分支理論,而定性與分支理論又是解的性態(tài)分析中難度較大且占有重要地位的課題.分支理論主要對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng),當(dāng)參數(shù)在臨界點(diǎn)附近發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)在相空間軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化的情況進(jìn)行分析.對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究和發(fā)展已有一個(gè)多世紀(jì),對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的研究,大致經(jīng)歷了以下三個(gè)階段.第一個(gè)階段是從1

11、9世紀(jì)末到20世紀(jì)初,這一階段的主要進(jìn)展是動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論.第二階段是20世紀(jì)前葉,這一階段的主要進(jìn)展是提出了一系列求解非線性振動(dòng)問(wèn)題的定量方法,系統(tǒng)地發(fā)展了各種攝動(dòng)方法和漸近方法.第三階段從20世紀(jì)70年代至今,分支理論及混沌現(xiàn)象的研究成為了非線性微分方程新的研究熱點(diǎn).如今,幾乎每個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都出現(xiàn)了動(dòng)力系統(tǒng)現(xiàn)象,從化學(xué)中的振蕩Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)到電子工程中的混沌Chua電路,從天體力學(xué)中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)到生態(tài)學(xué)中的分岔.尤其在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域,動(dòng)力系統(tǒng)被廣泛的用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分支. 利用數(shù)學(xué)模型研究種群穩(wěn)定性及其他性質(zhì)具有重要的理論和實(shí)際意義,可應(yīng)用于描述、預(yù)測(cè)以至調(diào)

12、節(jié)和控制種群的發(fā)展過(guò)程與發(fā)展趨勢(shì).20世紀(jì)70年代后,隨著一門(mén)新的學(xué)科,生物數(shù)學(xué)的產(chǎn)生,動(dòng)力學(xué)方法在生命科學(xué)領(lǐng)域被的大量應(yīng)用在捕食者-食餌模型等方面,并且都有了很大的發(fā)展.Lotka-Volterra的系統(tǒng)是一種比較經(jīng)典的兩種群捕食者-食餌模型,其模型結(jié)構(gòu)為: 1dx=x(a-by),dt （1.1） dy=y(cx-d).dta,b,c,d為常數(shù).對(duì)其加以改進(jìn),提出一類(lèi)更具有一般其中x,y為捕食者和食餌的種群密度，性的系統(tǒng)12012屆本科畢業(yè)論文dx=f(x)-P(x,y),dt （1.2） dy=-cy+Q(x,y).dt徐勝林和肖東梅，在1999年的文5中對(duì)系統(tǒng)（1.2）的一類(lèi)擴(kuò)展的捕食

13、者-食餌系統(tǒng)dxnnm=x(+bx-ax-y),dt dy=y(xn-c),dt進(jìn)行了討論.文章對(duì)系統(tǒng)作了局部和全局分析，局部分析中，主要對(duì)+bc-ac>0情況下出現(xiàn)的3個(gè)平衡點(diǎn)的性態(tài)進(jìn)行了分析；全局分析中證明了在+bc-ac2>0,b2ac時(shí)，系統(tǒng)在第一象限內(nèi)無(wú)極限環(huán)；在+bc-ac2>0,b>2ac時(shí)，系統(tǒng)存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán).Lotka-Volterra的系統(tǒng)雖然應(yīng)用廣泛,但存在這不合理之處. 由于種群關(guān)系的不同,則種群密度關(guān)系將會(huì)有不同類(lèi)型的反應(yīng).能反映一個(gè)種群的密度隨另一種群密度的變化規(guī)律的函數(shù)被稱(chēng)為功能反應(yīng)函數(shù).程榮福和蔡淑云在2002年的文6中,對(duì)具有功能

14、反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)進(jìn)行了分析,11dx=x(1-bx2)-yx2,dt 1dy=y(-d+ex2),dt2討論了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的性態(tài),并證明了極限環(huán)的存在性與唯一性及其全局穩(wěn)定性.功能反應(yīng)函數(shù)主要有兩種形式:食餌依賴(lài)性和比率依賴(lài)性.1965年Holling對(duì)不同的動(dòng)物提出了幾種具有不同的功能反應(yīng)函數(shù)的模型.Hsu、Collings在文獻(xiàn)7,8中分別對(duì)食餌具有Holling、類(lèi)功能反應(yīng)的情形進(jìn)行了討論，對(duì)奇點(diǎn)局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,并證明了局部穩(wěn)定性與全局穩(wěn)定性不等價(jià)的結(jié)論.李義龍和肖東梅在2007年的文9在其基礎(chǔ)上對(duì)具有Holling類(lèi)功能反應(yīng)的系統(tǒng)dx=xg(x)-p(x)y,d

15、t dyy=by(1-),dtq(x)進(jìn)行了局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性不等價(jià)的證明.并且完整討論了系統(tǒng)在全參數(shù)空間內(nèi)的Hopf分支.劉翠桃在文獻(xiàn)10中,對(duì)具有密度制約情況下的Holling類(lèi)功能反應(yīng)的系統(tǒng)22012屆本科畢業(yè)論文xxydx=rx(1-)-,2dtka+x dy=y(x-D),a+x2dt進(jìn)行了定性分析, 文章中給出了系統(tǒng)存在正平衡點(diǎn)的條件為:方程x-x+1=0有正根,并且0<x<k.文章對(duì)存在兩個(gè)正根0<x1<k<x2的情況進(jìn)行分析,給出了系統(tǒng)軌線的全局穩(wěn)定性分析,并證明了當(dāng)>2216,x2>k>k0時(shí),系統(tǒng)在第一象限至少存在一個(gè)極限

16、環(huán). 3在實(shí)際的生態(tài)系統(tǒng)中,存在著收割、投放、砍伐等行為,因此具有脈沖的系統(tǒng)開(kāi)始被廣泛的研究.張偉鵬,朱德明,在文11中對(duì)脈沖非自治比率依賴(lài)性捕食者-食餌系統(tǒng)c(t)xydx=x(t)-a(t)-k(t)x)-,dtm(t)y+x dyf(t)x=y(t)(-d(t)+),m(t)y+xdt利用重合度理論以及先驗(yàn)估計(jì), 得到了系統(tǒng)正周期解的存在性充分性判斷依據(jù)為r1> c,m0<r2<f.其中,1cc(t)dt, f=0f(t)dt, =0mm(t)1n111nr1=ln(1+b1k+h1k)-a(t)dt, r2=d(t)dt-ln(1+b2k+h2k). k=100k=1

17、由于時(shí)滯問(wèn)題的普遍存在,一些具有時(shí)滯的系統(tǒng)產(chǎn)生,對(duì)種群生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及Hopf分支的研究被大量進(jìn)行.Canan Celik 在文12中對(duì)比率依賴(lài)性系統(tǒng)dN(t)=r1N(t)-P(t)N(t),dt dP(t)P(t-)=P(t)(r2-),N(t)dt分析了時(shí)滯對(duì)模型穩(wěn)定性的影響.選取時(shí)滯作為分支參數(shù),利用分支定理得出Hopf分支,又確定了Hopf分支的方向和周期解的穩(wěn)定性，并進(jìn)行了數(shù)值模擬.廖云洞與李波在文13中對(duì)離散的具有Holling型的系統(tǒng)32012屆本科畢業(yè)論文K-x(n)x(n+1)=x(n)+rx(n)-x(n)y(n),1+cx(n) y(n+1)=y(n)+y(n)(-r

18、+x(n)-ry(n),12利用中心流形定理和映射的分岔理論，對(duì)系統(tǒng)被周期分岔的存在性與穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.對(duì)于微分方程的研究，通常著重于系統(tǒng)的定性與穩(wěn)定性分析.對(duì)于線性系統(tǒng)的研究，研究比較簡(jiǎn)單，且已經(jīng)存在了大量的比較好的結(jié)論，但是在非線性系統(tǒng)中，非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的性態(tài)存在較大影響.尤其當(dāng)微分方程中含有參數(shù)時(shí)，隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可能會(huì)有較大的變化，出現(xiàn)分支現(xiàn)象.分支理論是針對(duì)依賴(lài)于參數(shù)的系統(tǒng)，研究當(dāng)參數(shù)在某一臨界值附近作微小變化時(shí)，其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生本質(zhì)變化的情況.以上均說(shuō)明,對(duì)非線性微分方程解的定性、穩(wěn)定性及分支分析有著重要的應(yīng)用背景.因此,本文對(duì)幾類(lèi)非線性微分方程解的定性、穩(wěn)定性及Hop

19、f分支進(jìn)行了分析.1.2 本文的主要工作Hopf分支是一種重要?jiǎng)討B(tài)分支，在電路系統(tǒng)、生物模型中具有重要的實(shí)際意義，因此，本文對(duì)三類(lèi)非線性系統(tǒng)進(jìn)行了Hopf分支分析.給出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的參數(shù)范圍.42012屆本科畢業(yè)論文2 預(yù)備知識(shí)本章主要只就論文要用到的基本知識(shí)進(jìn)行介紹，具體內(nèi)容及定理的詳細(xì)證明可參看文獻(xiàn)3,4.設(shè)微分方程dx=f(t,x),dt（1）f在G內(nèi)連續(xù)，記為fC(G)； x(t0)=x0,tR,xRn. （2.1） n定理2.1 對(duì)于方程（2.1）若f(t,x)在開(kāi)區(qū)域GRR中滿(mǎn)足：0（2）f關(guān)于x滿(mǎn)足局部Lipschitz條件，即對(duì)于點(diǎn)P(t,x)G0，存在 00G0=(

20、t,x)|t-t0a,x-x0bG和依賴(lài)于P0點(diǎn)的常數(shù)LP0，使得對(duì)任意(t,x),(t,x)G0，有不等式 12f(t,x1)-f(t,x2)LP0x1-x2 （2.2） 成立，其中表示歐式范數(shù).則（2.1）存在可延拓到(-,+)上的唯一解.2.1 平衡點(diǎn)的分類(lèi)考慮自治系統(tǒng)dx=f(x)，fC(GRn,Rn). （2.3） dt定義2.1 若點(diǎn)xG，使得f(x)0，則稱(chēng)x=x為系統(tǒng)（2.3）的常點(diǎn)；若x*G，使得f(x)=0，則稱(chēng)x=x*為系統(tǒng)（2.3）的奇點(diǎn)，奇點(diǎn)也稱(chēng)為平衡點(diǎn).若x*為系統(tǒng)（2.3）的奇點(diǎn)，則x(t)=x必為系統(tǒng)的解.這個(gè)解是平行于時(shí)間t軸的直線，它在相空間的投影就是奇點(diǎn)x

21、*.定理2.2 （1）設(shè)x為自治系統(tǒng)（2.3）的奇點(diǎn)，若limx(t,t0,x)=x，xx，則t*0*0*=+或=-；*（2）若limx(t,t0,x)=x或limx(t,t0,x)=x，則f(x)=0. t+t-0*0*該定理表明任何軌線在有限時(shí)間內(nèi)都不能達(dá)到奇點(diǎn)，只能在無(wú)限時(shí)刻趨于奇點(diǎn).并且，軌線在無(wú)限時(shí)刻所進(jìn)入的點(diǎn)必然是奇點(diǎn).考慮線性系統(tǒng)下軌線在相平面的分布，根據(jù)奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的分布情況將奇點(diǎn)分為不同的類(lèi)型.考慮線性系統(tǒng)52012屆本科畢業(yè)論文dx=ax+by，dt （2.4） dy=cx+dy.dt令X= ，A=xyab，若A0，則系統(tǒng)（2.4）有唯一奇點(diǎn)O(0,0).為了研究軌線cd

22、dY=T-1ATY由A的特征根的不同情況，方dt在奇點(diǎn)O的鄰域內(nèi)的性質(zhì)，需要將系統(tǒng)（2.4）化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型.由線性代數(shù)知識(shí)知存在設(shè)線性變換X=TY,可將系統(tǒng)（2.4）化成Jordan標(biāo)準(zhǔn)型程的奇點(diǎn)可能出現(xiàn)四種類(lèi)型：結(jié)點(diǎn)型，鞍點(diǎn)型，焦點(diǎn)型，中心型.對(duì)于奇點(diǎn)的穩(wěn)定或不穩(wěn)定,是對(duì)其鄰域內(nèi)軌線的穩(wěn)定性,也稱(chēng)為軌道穩(wěn)定.也就是說(shuō)其鄰域內(nèi)的一切軌線在時(shí)間t+時(shí),一切軌線都趨于奇點(diǎn).因此,軌道穩(wěn)定的奇點(diǎn)實(shí)際上等價(jià)與Liapunov意義下的漸近穩(wěn)定的零解.非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的分類(lèi)對(duì)平面非線性系統(tǒng)，分離線性項(xiàng)后為dx=ax+by+X(x,y),dt（2.5） dy=cx+dy+Y(x,y).dt其中X,Y

23、=o(r)，連續(xù)可微，r=.定理2.3 設(shè)系統(tǒng)（2.5）中的X,Y滿(mǎn)足（i）在奇點(diǎn)O(0,0)的鄰域內(nèi)有有連續(xù)的一階偏Y(x,y)=o(r)，r=導(dǎo)數(shù)；（ii）X(x,y)=o(r)，則如果O是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)（2.4）1+的焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)或鞍點(diǎn)，那么O也是非線性系統(tǒng)（2.5）的同類(lèi)型奇點(diǎn). 定理2.4 若將定理2.3中條件（ii）加強(qiáng)為X(x,y)=o(r線性系統(tǒng)（2.5）的同類(lèi)型奇點(diǎn).定理2.5 若O(0,0)是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心，則O(0,0)可能是非線性系統(tǒng)的中心、焦點(diǎn)或中心焦點(diǎn)；當(dāng)X與Y在O(0,0)鄰域內(nèi)解析，則不可能是中心焦點(diǎn).定義2.2（細(xì)焦點(diǎn)） 若非線性系統(tǒng)的焦點(diǎn)是對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心

24、點(diǎn)，則此焦點(diǎn)稱(chēng)為該非線性系統(tǒng)的細(xì)焦點(diǎn).定理2.6 對(duì)于非線性系統(tǒng)（2.5），其中X與Y在O(0,0)鄰域內(nèi)解析，且O(0,0)為對(duì)6 )，Y(x,y)=o(r1+)，其中為任意小的正數(shù).那么當(dāng)O是對(duì)于線性系統(tǒng)（2.4）的臨界或退化結(jié)點(diǎn)時(shí)，那么O也是非2012屆本科畢業(yè)論文于線性系統(tǒng)的中心，若在其鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心點(diǎn)，否則必為細(xì)焦點(diǎn).可以通過(guò)形式級(jí)數(shù)法判定中心或焦點(diǎn)，下面對(duì)首次積分F(x,y)=c用形式級(jí)數(shù)法進(jìn)行尋求.將非線性系統(tǒng)展開(kāi)為dxdt=y+Xi(x,y),i=2 （2.6） dy=-x+Y(x,y).ii=2dt將F(x,y)=c展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)形式F(x,

25、y)=Fi(x,y)=x+y+Fi(x,y), （2.7） 22i=2i=3其中Xi(x,y) ，Yi(x,y)，F(xiàn)i(x,y)為x,y的i次齊次多項(xiàng)式.對(duì)于非線性系統(tǒng)的解代入（2.6），將有F(x(t),y(t)=c，也就有性系統(tǒng)的解對(duì)t求導(dǎo)，則各齊次多項(xiàng)式均為零.可以得到 dF=0.將F沿非線dt-yFiF+xi=Hi(x,y), （2.8） xy其中Hi(x,y)為已知的i次齊次多項(xiàng)式.作極坐標(biāo)變換Fi(rcos,rsin)=rii(),Hi(rcos,rsin)=ri(),i則i()為已知的周期為2的函數(shù)，i()為待求的周期為2的函數(shù). 由于ridi()FiFFFF=-rsini+rc

26、osi=-yi+xi，故可以得到dxyxydi()=i().能否求出2周期的函數(shù)i()需要對(duì)i()進(jìn)行考察. d傅立葉展開(kāi)i()=c0+(ancosn+bnsinn)，c0=n=11220i()d.可以看出，若c0=0，則可以求得Fi，從而進(jìn)一步求Fi+1.若c00，則不能求得周期函數(shù)i()，O為細(xì)焦點(diǎn).令d()=()-c0,fi(x,y)=ri(), d返回直角坐標(biāo)系,取F*(x,y)=x2+y2+F3(x,y)+ +fi(x,y),72012屆本科畢業(yè)論文idF*222=c0(x+y)+o(ri)，則F*(x,y)在O鄰域內(nèi)正定，并根據(jù)Liapunov穩(wěn)定可以得到dt性判定定理，當(dāng)c0&l

27、t;0時(shí)負(fù)定，零解漸近穩(wěn)定，O為穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)c0>0時(shí)，零解不穩(wěn)定，O為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).i=m時(shí)c00，定義2.3（細(xì)焦點(diǎn)的階數(shù)） 若對(duì)一切i<m時(shí)c0=0，則令m=2(k+1)，則O為k階細(xì)焦點(diǎn).2.2 中心流形定理由于高維空間的復(fù)雜性，對(duì)高維系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究時(shí)有較大的難度，通常需要通過(guò)降低系統(tǒng)維數(shù)的方法進(jìn)行研究.中心流行定理就是一種簡(jiǎn)單而有效的降低維數(shù)的方法，它可以把一個(gè)對(duì)n維系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的性態(tài)研究，簡(jiǎn)化為一個(gè)m維（mn）的中心流形的流的方程進(jìn)行研究.考慮系統(tǒng)dx=Ax+F(x,y),dt （2.9） dy=Bx+G(x,y),dt其中xR,yR，A和B分別是nn和mm階常

28、數(shù)矩陣，且A的所有特征值都具有零實(shí)部，B的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部.F和G分別是從Rn+mnm到R和R的映射，滿(mǎn)足 nmF(0,0)=0,DF(0,0)=0, （2.10） G(0,0)=0,DG(0,0)=0.nm定義2.4（中心流形） 設(shè)集合M=(x,h(x)h:RR是系統(tǒng)（2.9）的不變流形，且滿(mǎn)足h(0)=0,Dh(0)=0，則稱(chēng)M是系統(tǒng)（2.9）的中心流形.定理2.7 設(shè)A的所有特征值均具有零實(shí)部，B的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，F(xiàn)(x,y)和G(x,y)是Ck（k2）上的函數(shù)，且滿(mǎn)足條件（2.10），則系統(tǒng)（2.9）存在一個(gè)局部中心流形y=h(x)(x<)，h(x)C.當(dāng)系統(tǒng)存在中

29、心流形y=h(x)時(shí)，則中心流形上的解滿(mǎn)足 kdx=Ax+F(x,h(x), （2.11） dt系統(tǒng)（2.11）比（2.9）降低了m維.定理2.8 當(dāng)定理2.7的條件滿(mǎn)足時(shí)，系統(tǒng)（2.11）與（2.9）的零解有相同的穩(wěn)定性.對(duì)系統(tǒng)（2.9）初值足夠小的解(x(t),y(t)，必存在系統(tǒng)（2.9）的一個(gè)解u(t)，當(dāng)t時(shí)，x(t)=u(t)+O(e-rt), （2.12） -rty(t)=h(u(t)+O(e),82012屆本科畢業(yè)論文其中r僅依賴(lài)與矩陣B的正常數(shù).該定理說(shuō)明了系統(tǒng)（2.9）與降維后的系統(tǒng)（2.11）的零解有相同穩(wěn)定性，并且對(duì)于原系統(tǒng)零點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的任意一個(gè)解可以找到中心流形上的一個(gè)

30、解，使它們指數(shù)級(jí)漸近.（1） 驗(yàn)證滿(mǎn)足中心流形存在條件（定理2.7），存在局部中心流形y=h(x)； （2） 將y=h(x)的代入系統(tǒng)（2.9）進(jìn)行降維，得到Bh(x)+G(x,h(x)=Dh(x)(Ax+F(x,h(x)；（3） 確定h(x)的低次項(xiàng)系數(shù)，得到h(x)的近似表達(dá)式；（4） 將y=h(x)代入系統(tǒng)dx=Ax+F(x,h(x)，討論其平衡點(diǎn)穩(wěn)定性. dt2.3系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性設(shè)方程（2.1）滿(mǎn)足解的存在唯一定理的條件，且其解x(t)=x(t,t0,x0)的存在區(qū)間為(-,+)，f(t,x)還滿(mǎn)足條件f(t,0)=0. （2.13） 即（2.1）存在零解x(t)=0.0定義2.5

31、若對(duì)任意給定的>0，都能找到=(,t0)，使得當(dāng)x<時(shí)，（2.1）的解滿(mǎn)足則稱(chēng)（2.1）的零解是穩(wěn)定的，否則稱(chēng)其零解是不穩(wěn)定的. x(t,t0,x0)<,tt0, （2.14）0定義2.6 設(shè)U為包含原點(diǎn)的開(kāi)區(qū)域，若對(duì)任意xU和任意給定的>0，總有T=T(,t0,x0)，使得當(dāng)tt0+T時(shí)，x(t,t0,x0)<成立，則稱(chēng)（2.1）的零解是吸引的.定義2.7 若（2.1）的零解是穩(wěn)定的，又是吸引的，則稱(chēng)其零解是漸近穩(wěn)定的. 為了研究自治系統(tǒng)dx=f(x),f(0)=0, （2.15） dt零解x(t)=(x1(t),x2(t), xn(t)T的穩(wěn)定性，考察隨時(shí)間變

32、化時(shí)V(x(t)的變化情況.V(x(t)沿著系統(tǒng)（2.15）的軌線的全導(dǎo)數(shù)為dV(x(t)Vdx1Vdx2Vdxn V(x)=+ +.dtx1dtx2dtxndt定理2.9（Liapunov穩(wěn)定性定理） 若有正定函數(shù)V(x)，使得在原點(diǎn)鄰域內(nèi)沿著系統(tǒng)(x)是半負(fù)定的，則系統(tǒng)（2.15）的零解是穩(wěn)定的；且使得V (x)負(fù)（2.15）的軌線的全導(dǎo)數(shù)V定時(shí)，系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.定理2.10 對(duì)常系數(shù)線性系統(tǒng)92012屆本科畢業(yè)論文dx=Ax, （2.16） dt其中xRn，A為實(shí)矩陣.系統(tǒng)（2.16）的零解，有(1) 若A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，則其零解漸近穩(wěn)定；(2) 若A的所有特征值有非正實(shí)

33、部，且有零實(shí)部的特征值僅對(duì)應(yīng)單重初等因子，則其零解穩(wěn)定；(3) 若A有正實(shí)部的特征值，或者有對(duì)應(yīng)多重初等因子的零實(shí)部特征值，則其零解穩(wěn)定.定理2.11 非線性系統(tǒng)dx=Ax+f(t,x),f(t,0)=0, （2.17） dt若f(t,x)連續(xù)，關(guān)于x滿(mǎn)足Lipschitz條件，且對(duì)t一致的有l(wèi)imx0f(t,x)x=0, （2.18）則當(dāng)A沒(méi)有零實(shí)部特征值時(shí)，（2.17）與（2.16）的零解有相同的穩(wěn)定性.2.4 Hopf分支對(duì)平面微分方程組dx=P(x,y,),dt (2.19) dy=Q(x,y,),dt其中P(x,y,),Q(x,y,)為解析函數(shù),且滿(mǎn)足(1) P(0,0,)=0，Q(

34、0,0,)=0；P(0,0,)x(2) A()=Q(0,0,)xP(0,0,)y有一對(duì)復(fù)特征值()+i()，(0)=0，Q(0,0,)y'(0)>0，(0)>0.定理2.12 設(shè)條件(1),(2)成立,且當(dāng)=0時(shí),(0,0)是系統(tǒng)(2.19)的漸進(jìn)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的奇點(diǎn),則當(dāng)>0(<0),充分小時(shí),系統(tǒng)(2.19)在(0,0)的鄰域內(nèi)必有極限環(huán). 102012屆本科畢業(yè)論文定理2.13 對(duì)于系統(tǒng)dx=F(x,),xR3, （2.20） dtF(x,)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，F(xiàn)(0,)=0，A()=DF(0,)有特征值()±i()和()，且(0)=0，(0)&g

35、t;0，(0)<0，'(0)>0，則有以下結(jié)論：（1） 若系統(tǒng)（2.20）的原點(diǎn)當(dāng)=0時(shí)是穩(wěn)定而不漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)的解在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的某一曲面上全是閉軌；（2） 若系統(tǒng)（2.20）的原點(diǎn)當(dāng)=0時(shí)是漸近穩(wěn)定（不穩(wěn)定）的平衡點(diǎn)時(shí)，則對(duì)充分小的>0（<0），系統(tǒng)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)有漸近穩(wěn)定的閉軌.112012屆本科畢業(yè)論文3 幾類(lèi)非線性系統(tǒng)的定性與分支分析本章主要對(duì)非線性系統(tǒng)dX=f(X,),dt進(jìn)行定性與分支分析. XRn,Rm. （3.1）3.1 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型分析由于非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生較大影響,因此對(duì)下列非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析.當(dāng)非線性系統(tǒng)（3.1）

36、yf(X,)= , （3.2） 2a(1-x)y-x時(shí),進(jìn)行定性與分支分析.x此時(shí), n=2,m=1,X= ,=a.分離非線性項(xiàng),系統(tǒng)變?yōu)閥f1dX01= X+ f, （3.3） dt-1a2其中,f1=0,f2=-ax2y為非線性項(xiàng).顯然,非線性項(xiàng)滿(mǎn)足定理2.4的條件.顯然, O(0,0)為系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn).01對(duì)系統(tǒng)（3.3）的線性化系統(tǒng)進(jìn)行分析，則A=，有特征值=-1a根據(jù)a的不同取值，線性化系統(tǒng)奇點(diǎn)O的類(lèi)型及其鄰域內(nèi)軌線分布將會(huì)發(fā)生變化.（1） 當(dāng)a>2時(shí)，有兩個(gè)實(shí)特征根. 若a>2，則1>2>0，奇點(diǎn)O為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)；若a<-2，則1<2<0，

37、奇點(diǎn)O為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);（2） 當(dāng)a=2時(shí)，有兩個(gè)相等實(shí)根，奇點(diǎn)O為臨界或退化結(jié)點(diǎn);（3） 當(dāng)0<a<2時(shí)，有兩個(gè)復(fù)特征根且實(shí)部不為零.當(dāng)0<a<2時(shí)，特征根有正實(shí)部，奇點(diǎn)O為不穩(wěn)定的焦點(diǎn);當(dāng)-2<a<0時(shí)，特征根有負(fù)實(shí)部，奇點(diǎn)O為穩(wěn)定的焦點(diǎn);（4） 當(dāng)a=0時(shí)，有兩個(gè)實(shí)部為零的復(fù)特征根.系統(tǒng)（3.3）為線性系統(tǒng)，奇點(diǎn)O為中心.圖3.1為系統(tǒng)(3.3)在a取幾種不同的值時(shí),奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的軌線分布圖.122012屆本科畢業(yè)論文圖3.1 a=2,0,-1,-2時(shí)奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的軌線分布圖3.2 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)類(lèi)型及零解穩(wěn)定性分析中心流形是在非線性系統(tǒng)的定性及分支討論中

38、降維處理經(jīng)常使用的一種方法.利用中心流形定理對(duì)下列非線性系統(tǒng)進(jìn)行討論.對(duì)非線性系統(tǒng)(3.1),當(dāng)x-x3+xyf(X,)= （3.4） 22-y+y-x時(shí),進(jìn)行定性與分支分析.此時(shí), n=2,m=1,X= ,=.分離非線性項(xiàng),系統(tǒng)變?yōu)?xydX0= Xdt0-1f+ 1, （3.5）f2其中, f1=-x3+xy,f2=-x2+y2為非線性項(xiàng).顯然,非線性項(xiàng)滿(mǎn)足定理2.4的條件,則對(duì)于雙曲奇點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類(lèi)型相同.O(0,0)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn).0對(duì)系統(tǒng)（3.5）的線性化系統(tǒng)進(jìn)行分析，則A=，有特征值1=,2=-1.根0-1據(jù)的不同取值，線性化系統(tǒng)奇點(diǎn)O的類(lèi)型及其鄰域內(nèi)軌線分布將會(huì)發(fā)生

39、變化.當(dāng)>0時(shí)，A有正特征根，奇點(diǎn)O為鞍點(diǎn)，系統(tǒng)的零解不穩(wěn)定；當(dāng)<0時(shí)，A的所以特征根均為負(fù)值，奇點(diǎn)O為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定. 故,對(duì)于非線性系統(tǒng), 當(dāng)>0時(shí)，奇點(diǎn)O為鞍點(diǎn);當(dāng)<0時(shí)，奇點(diǎn)O為穩(wěn)定的焦點(diǎn).132012屆本科畢業(yè)論文當(dāng)=0時(shí)，A有一個(gè)零特征根和一個(gè)負(fù)特征根，此時(shí)，中心流形存在條件成立.故系統(tǒng)存在局部中心流形y=h(x)，由于h(0)=0，h'(0)=0，可以將其展開(kāi)為y=h(x)=a2x2+a3x3+a4x4+ ，代入到dhdx=-h+h2-x2，有 dxdt23422(3a3x2+4a4x3)-x3+x(a2x2+a3x3+a4x4)+

40、O(x9)=-(a2x+a3x+a4x)+(a2x+a3x+a4x)-x.比較二、三、四次項(xiàng)的系數(shù)有 2340=-a2-1, -a3=0,22a2(a2-1)=-a4+a2.a2=-1, 即 a3=0,a=-3,4故，得到y(tǒng)=h(x)=-x-3x+O(x).將其代入系統(tǒng)（3.4）的第一式，有 245dx=-x3+xydt=-x3+x(-x3-3x4)+O(x6) （3.6）=-2x3-3x5+O(x6).由于x>0時(shí), dx<0,所以（3.6）的零解穩(wěn)定，所以知道系統(tǒng)（3.4）的零解也穩(wěn)定. dt3.3 一類(lèi)非線性系統(tǒng)的Hopf分支Hopf分支是一種重要的動(dòng)態(tài)分支，是當(dāng)系統(tǒng)中的參數(shù)

41、在臨界值處變化時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)的現(xiàn)象。對(duì)非線性系統(tǒng)（3.1），當(dāng)22222ax-y+bx(x+y)+cx(x+y) （3.7） f(x,)= 22222 x+ay+by(x+y)+cy(x+y) 時(shí)的情況，進(jìn)行定性與分支分析.ax 此時(shí), n=2,m=3,X= ,= b.顯然, O(0,0)為系統(tǒng)的奇點(diǎn).y c為了對(duì)參數(shù)變化時(shí)平衡點(diǎn)處的情況進(jìn)行分析，做極坐標(biāo)變換導(dǎo)，14x=rcos，對(duì)時(shí)間t求y=rsin2012屆本科畢業(yè)論文dxdrd=cos-rsin=arcos-rsin+br3cos+cr5cossin (3.8) dtdtdtrdydrd=sin+rcos=rcos+arsin+br

42、3sin+cr5sinsin (3.9) dtdtdtr分別進(jìn)行(3.8)cos+(3.9)sin，(3.8)(-sin)+(3.9)cos可以得到dr35=ar+br+crsin，dtr (3.10) d=1.dt對(duì)參數(shù)c分兩種情況就行討論.(1) 當(dāng)c=0時(shí),若a=0,b=0,有若a=0,b0,有dr=0,此時(shí)平衡點(diǎn)O(0,0)為系統(tǒng)的中心,系統(tǒng)零解穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定; dtdr=br3, dtdr>0,平衡點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn),系統(tǒng)零解不穩(wěn)定; 當(dāng)b>0,dt當(dāng)b<0,有dr<0,平衡點(diǎn)O(0,0)為穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn),系統(tǒng)零解穩(wěn)定. dt若a0,b=0,有dr=a

43、r, dtdr>0,平衡點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn),系統(tǒng)零解不穩(wěn)定; 當(dāng)a>0,dt當(dāng)a<0,有dr<0,平衡點(diǎn)O(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn),系統(tǒng)零解穩(wěn)定. dtdrdr>0,此時(shí)>0，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定; 若a>0,b>0,有dtdt若a>0,b<0,此時(shí)系統(tǒng)有閉軌r=r0=當(dāng)r>r0時(shí)，又 dr<0，t+時(shí)，系統(tǒng)的軌線趨向于r=r0; dtdr>0，t+時(shí)，系統(tǒng)的軌線趨向于r=r0; dt當(dāng)0<r<r0時(shí)，因此,系統(tǒng)有唯一的閉軌,即極限環(huán),且極限環(huán)穩(wěn)定.若a<0,b<0,有統(tǒng)零解穩(wěn)定;若a<0

44、,b>0，此時(shí)系統(tǒng)有閉軌r=r0=dr<0，所有的解都趨于平衡點(diǎn)O(0,0)，平衡點(diǎn)O(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn),系dt152012屆本科畢業(yè)論文當(dāng)r>r0時(shí)，dr>0，t+時(shí)，r+; dtdr<0，t+時(shí)，r0; dt當(dāng)0<r<r0時(shí)，因此,系統(tǒng)有唯一的閉軌,即極限環(huán),且極限環(huán)不穩(wěn)定.圖3.2給出了c=0時(shí)的雙參數(shù)分支圖.(2) 當(dāng)c0時(shí),若a=0,b=0,有現(xiàn);若a=0,b0,有dr1dr=cr5sin,當(dāng)r=,(n=1,2,3, ), =0,有一系列的閉軌出dtdtrndr=br3+o(r3),當(dāng)b>0時(shí),平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn),零解不穩(wěn)定;當(dāng)dt

45、b<0時(shí),平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn),零解穩(wěn)定;若a0,有dr=ar+o(r),當(dāng)a>0時(shí),平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn),零解不穩(wěn)定;當(dāng)a<0時(shí),平衡dt點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn),零解穩(wěn)定.圖3.2 c=0時(shí)系統(tǒng)的雙參數(shù)分支圖3.4 一類(lèi)三維非線性系統(tǒng)的Hopf分支當(dāng)非線性系統(tǒng)(-1)x-y-axz f(x,)= x+(-1)y-ayz， （3.11）-z+x2+y2-2xyz162012屆本科畢業(yè)論文對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性與分支分析.x 此時(shí), n=3,m=2,X=y,= .分離非線性項(xiàng),系統(tǒng)變?yōu)?a z0f1-1-1dX f2 , （3.12） = 1-10X+ dt f0-103其中,f1=-axz,f

46、2=-axy,f3=x2+y2-2xyz為非線性項(xiàng).顯然,非線性項(xiàng)滿(mǎn)足定理2.4的條件,則對(duì)于雙曲奇點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類(lèi)型相同.且O(0,0,0)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn),對(duì)于線性化系統(tǒng)矩陣為0-1-1， A=1-100-10且A的特征值1=-1,2,3=-1±i. 當(dāng)<1時(shí)，特征值實(shí)部都小于零，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)>1時(shí)，存在特征值實(shí)部大于零，平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.則非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)O(0,0,0)也分別為穩(wěn)定的焦點(diǎn)和不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).當(dāng)=1時(shí)顯然滿(mǎn)足中心流形存在條件，故設(shè)存在中心流形z=h(x,y)=h20x2+h11xy+h02y2+O(r3), （3.13）其中r=

47、將（3.13）代入hdxhdy+=-h+x2+y2-2xyh，有 xdtydt(2h20x+h11y)(-y+ah20x3+ah11x2y+ah02xy2)+(h11x+2h02y)(x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3)+O(r5)=-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy(h20x2+h11xy+h02y2).h11=-h20+122比較x、y及xy的系數(shù)，得到-h11=-h02+1，解得h02=h20=1，h11=0.故-2h+2h=h200211有中心流形z=h(x,y)=x2+y2+O(r3)，將其代入系統(tǒng)（3.12）的第一、二式，有dx=-y-ax(x2

48、+y2)-aO(r4),dt （3.14） dy=x-ay(x2+y2)-aO(r4). dt由于系統(tǒng)（3.12）與系統(tǒng)（3.14）的零解穩(wěn)定性相同，故對(duì)（3.14）的零解進(jìn)行穩(wěn)定性分析即可.172012屆本科畢業(yè)論文0-1 在零點(diǎn)處的線性化矩陣A=，有特征值為=±i. 10當(dāng)a=0時(shí)，平衡點(diǎn)O(0,0)為中心，（3.14）零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.當(dāng)a0時(shí)，取Liapunov函數(shù)V(x,y)=統(tǒng)（3.14）的解求全導(dǎo)數(shù)得到dV2222222=x(-y-ax(x+y)+y(x-ay(x+y)=-a(x+y).dtdV<0，零解漸近穩(wěn)定，O(0,0)故根據(jù)Liapunov穩(wěn)定性判

49、定定理，可以知道，當(dāng)a>0時(shí)dt為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)12(x+y2)，顯然V(x,y)是正定函數(shù)，沿系2dV>0，零解不穩(wěn)定，O(0,0)為不穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn). dt3.5 一類(lèi)食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及Hopf分支分析這一部分將對(duì)一類(lèi)正平衡點(diǎn)平移到原點(diǎn)后的兩種群非線性食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及Hopf分支情況進(jìn)行討論.平移后，系統(tǒng)有xy-y+x+ 1+x+y, (3.15) f(X,)= xy 2x+y+y+ 1+x+y此時(shí), n=2,m=2,X= ,= xy.分離非線性項(xiàng)，系統(tǒng)變?yōu)?f1dX-1= X+ ， （3.16） dt1f2xyxy,f2=y2+其中，f

50、1=為非線性項(xiàng). 1+x+y1+x+y顯然，非線性項(xiàng)滿(mǎn)足定理2.4的條件，則對(duì)于雙曲奇點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類(lèi)型相同.O(0,0)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn).-1對(duì)系統(tǒng)（3.16）的線性化系統(tǒng)進(jìn)行分析，則A=2=±i.,得到A的特征值1，1當(dāng)<0時(shí)，特征值實(shí)部都小于零，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)>0時(shí)，特征值實(shí)部都大于零，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；182012屆本科畢業(yè)論文當(dāng)=0時(shí)，做變換d=dt,則系統(tǒng)變?yōu)?1+x+ydx2=(-y)(1+x+y)+xy=-y-y+(-1)xy,d（3.16） dy=(x+y2)(1+x+y)+xy=x+x2+y2+(+1)xy+xy2+y3.d用形式級(jí)數(shù)法對(duì)O(0,0)進(jìn)行判斷.令F(x,y)=x2+y2+F3(x,y)+F4(x,y)+ ，沿系統(tǒng)（3.7）的解求全導(dǎo)數(shù)得到FFdF=(2x+3+4+ )-y-y2+(-1)xydtxx F3F4