1、精選優質文檔-傾情為你奉上運用大學數學思想巧解高考題摘要：高考數學試題中的一些難理解的問題往往讓同學們花費很多時間。傳統的作法，學生討論的過程比較復雜，甚至許多同學不知從何入手。本文結合大學數學對洛必達法則解高考導數問題、行列式知識解高考數列問題、柯西不等式解高考中最值問題進行了解析。通過引入大學中一些簡單知識得到新的方法，簡化解題過程，幫助同學們提高解題技巧，讓同學們在高考中增加很多優勢。關鍵詞：高考數學 大學數學思想 洛必達法則 行列式 柯西不等式引言：近年來，高考數學試題經常與大學數學思想有機接軌，運用大學數學知識解一些高考題反而會很簡單且容易被同學們接受.不管高中數學還是大學數學，其思

2、想、方法一直主導著對本學科的學習效果。大學數學中的一些思想能將高中的一些復雜問題轉化為簡單，理想的問題。因此了解和掌握一些大學數學思想方法可以使學生在解決高中問題的實際運用中更加得心應手，同時也有助于學生思維能力的拓寬和解題技巧的提高。下面，筆者就中學巧妙運用大學數學思想解題舉幾個例子。一.洛必達法則巧解高考題近年來，導數問題中的求參數取值范圍成為許多數學高考試卷的壓軸題中一類重點考查題型。對于這種題目，很多同學會想到分離參數方法。但在高中范圍內，用分離參數的方法解這類題經常需要復雜的討論，學生理解與應用起來常常會遇到很多困難。而利用大學數學知識中的洛必達法則來解決這一問題往往會輕松很多。洛必

3、達法則設函數 f（ x） 、g（ x） 滿足：（1）limxaf（x）=limxag（x）=0；（2）在u0（a）內，f（x）和g（x）都存在，且g（x）0；（3）limxaf（x）g（x）=a（a可為實數，也可以是±）則limxaf（x）g（x）=limxaf（x）g（x）=a。例： （ 2011 年全國新課標理） 已知函數曲線 y = f（ x） 在點1，f（ 1） 處的切線方程為 x +2y -3 =0。（ ） 求 a、b 的值；（ ） 如果當 x >0，且 x1 時，f（ x） >lnxx-1+kx，求 k 的取值范圍。注：原解在解答第（ ii） 題時方法比較困難

4、，現用洛必達法則進行如下解析：解： （ ii） 由題設可得，當 x > 0，x1 時，k 0，x1） ，則g （ x） = 2·（x2+1）lnx-x2+1（1-x2）2，再令 h （ x ）= （x2+1）lnx-x2+1（ x > 0，x1），則h （ x ）= 2xlnx+1x-x，h（x）=2lnx+1-1x2，易知h（x）=2lnx+1-1x2在（0，+）上為增函數，且 h（1） = 0，故當 x（ 0，1） 時，h （ x ）0。所以h（x）在（ 0，1） 上為減函數，在（ 1，+ ）上為增函數，故h（x） >h（1）=0，所以 h （ x ）在（ 1，

5、+ ） 上為增函數。因為 h（1） = 0，所以當 x（ 0，1） 時，h （ x ）0，所以當 x（ 0，1） 時，g（x） 0，所以 g （ x ）在（ 0，1） 上為減函數，在（ 1，+ ）上為增函數，因為由洛必達法則知limx1g（x）=2limx1xlnx1-x2+1=2limx11+lnx-2x+1=2×（-12）+1=0即 k0，得k 的取值范圍（ - ，0。通過對題目的分析，同學們容易想到用分離變量的方法，即分離參數 k，再求導分離出的函數 g（ x） =2xlnx1-x2+1，進而分析其單調性和極值。然而，這時對于“當 x =1 時，函數 g（ x） 沒有意義”環節

6、，很大一部分同學不知如何分析。但如果在之前對其講解用洛必達法則知識來解答此類問題，將會讓同學們在高考數學中節省很多時間并容易得到正確答案。二.行列式知識巧解高考題雖然行列式知識是大學數學高等代數中的內容，但其的一些思想和知識能夠作為高中數學的重要工具讓同學們更加便捷的解決高考難題。現在，對于用行列式知識解高考題中的數列問題做以下解析。如運用知識：若ak，al，an是等差數列an第k，l，n項，則bk，bl，bn 也是等差數列bn的第k，l，n項的充分必要條件是akbk1albl1anbn1=0。例 （2010 年山東理科高考卷 18 題）已知等差數列an滿足：a3=7，a5+a7=26。 an

7、的前n項和為sn。（1）求an及sn；（2）令bn=1a2n -1（nn*），求數列bn的前n 項和tn。解：由題目易得2a6=a5+a7=26，所以a6=13。（1）由定理 1 得nan1=39+6an+7n-13n-3an-42=0整理得an=2n+1。由通項知當 n=1 時，a1=3，所以由定理 3 得n22sn-3nn=0。第 3 列的1倍加到第 1 列，第 3 列的 （3 ）倍加到第 2 列，得n2-n2sn-6nn=0，24n2-n2sn-6n=0，sn=n2+2n。整理得：sn=n2+2n。（2） bn = 1a2n -1 = 1（2n + 1）2-1 = 14n2 + 4n，b

8、1=18，b2=124。由上面所給行列式知識得，n22tn-18nn=0，將第 3 列的 1倍加至第 1 列，將第 3 行的-18倍加至第 2 列得，0011-1121n2-n2tn-14nn=0，1-112n2-n2tn-14n=0，即：2tn-14n+112（n2-n）=0，tn=-124n2+16n通過對上題的解析可以看出，用行列式知識來求解等差數列問題就可以輕而易舉的擺脫中學數學傳統做法中對數列首項和公差的依賴。同時，這一知識對等比數列問題同樣適用。行列式知識在解決高中數學問題中的應用還有很多，在這里不再一一列舉。三.柯西不等式巧解高考題靈活的應用高等數學中的柯西不等式可以使高中數學中

9、比較難解答的問題迎刃而解。不管是求函數的最值問題、還是證明不等式或者解幾何問題，柯西不等式都可以運用到其中并簡化問題。柯西不等式：（n維形式）對于任意的實數a1，a2，a3···an與b1，b2，b3，···，bn，有（a21 + a22 + ··· + a2n ）（b21 + b22 + b2n ）（a1 b1 + a2 b2 + ··· + an bn ）2。當且僅當a1b1=a2b2=···=anbn時等號成立。（當bk=0時，認為ak=0

10、，1kn）。例：（2008 年全國高考（ii）卷（理）如圖設橢圓中心在坐標原點， a（ 2，0）b（0，1） 是它的兩個頂點，直線 y = kx （ k>0）與 ab 相交于點d，與橢圓相交于e、f 兩點。（1） 若ab= 6df，求k 的值。（2）求四邊形 aebf 面積的最大值.解：由已知，頂點a （2， 0） b（0，1）易得橢圓方程 x24+y2=1，直線 ab 方程 x+ 2 y2=0。記點 e與點 f到直線 ab 的距離分別為d1與d2，e（x0，y0），f（-x0，-y0）則d1=x0+2y0-25 ？ ？，d2=x0+2y0+25從而四邊形 aebf 的面積s四邊形abc

11、d=12ab·（d1+d2）=x0+2y0-2+x0+2y0+22考慮到點e（x0，y0）在橢圓x24+y2=1上，即x20 4 + y20 = 1，由柯西不等式得x0+2y0=2·x02+2·y022 + 22·x20 4 + y20 = 22則x0+2y0-22，22由絕對值的幾何意義，故當x0+2y0=±22時，s四邊形aebf=x0+2y0-2+x0+2y0+22取到最大值22。數學在高考答題中是一門時間緊迫的學科，因為壓軸題解題過程的復雜性，使得大部分同學在壓軸題中失去很多分數。而大學數學思想能將高中數學問題簡單化、理性化。所以，適當的掌握一些與