1、第4講 代數綜合 一 一次函數1 正比例函數一定經過_點2 一次函數的性質：（1） 當時，其圖象定經過_象限；時，其圖象定經過_象限（2） 當時，其圖象與軸交于_半軸；當時，其圖象與軸交于_半軸3 一次函數與軸的交點為_，與軸的交點為_ 4 若兩直線與平行，則兩直線的一次項系數_二 二次函數1 二次函數的定義：一般地，形如_（，常數，_）的函數稱為的二次函數，其中為二次函數的_，二次函數的_，二次函數的_2 二次函數的解析式填表：一般式頂點式交點式解析式頂點坐標對稱軸3 二次函數與軸的交點為_和_，軸的交點為_ 4 五點畫圖法：在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖一般我們選取的五點為：_；_；_；

2、_；_三 反比例函數1 反比例函數的性質：當時，函數圖象的兩個分支分別位于_象限；當時，函數圖象的兩個分支分別位于_象限2 如圖，反比例函數圖象上一點向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為_如圖，反比例函數圖象上一點向軸或軸作垂線，并連接原點，所圍成三角形的面積為_四 函數的平移：1 平移口訣“左加右減，上加下減” 2 填表：向左平移個單位向右平移個單位向上平移個單位向下平移個單位（了解）五 函數的對稱：1 對稱口訣“關于誰，誰不變，另外一個變相反，關于原點都要變” 2 填表：關于軸對稱關于軸對稱關于原點對稱（了解）3 關于特殊直線或的對稱的解題步驟：（1） 先用五點畫圖法畫出函數的

3、圖象，再根據題意進行對稱；（2） 求出對稱后的頂點坐標；（3） 若關于對稱，的符號和值都不變；若關于對稱的符號改變，值不變；（4） 根據和對稱后的頂點坐標利用頂點式寫出對稱后的解析式【練1】 （2014年中考）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，（1）求拋物線的表達式及對稱軸；（2）設點關于原點的對稱點為，點是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在，之間的部分為圖象（包含，兩點）若直線與圖象有公共點，結合函數圖象，求點縱坐標的取值范圍【練2】 （2013年中考）在平面直角坐標系中，拋物線（）與軸交于點 ，其對稱軸與軸交于點 。（1）求點，標；（2）設直線與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析

4、式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線的下方，求該拋物線的解析式。【例1】 （2013年東城一模）已知關于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）當為何整數時，原方程的根也是整數【題型總結】整數根問題1 給出參數范圍：通過計算可得是的一次形式即的形式，然后通過已知條件可以求出參數的取值范圍，在取值范圍內取值使方程的根為整數即可；2 分離常數法：通過計算可得是完全平方形式即的形式（假設是一元二次方程中的參數），然后利用求根公式表示出及，并分離常數化簡成分子不含參數的形式，例如表示為或，然后通過分母是分子的因數及負因數求解分母中的參數；3

5、 枚舉法：通過計算可得是的二次形式，但不是完全平方，即的形式，那么設，之后整理成，再利用平方差分解成，由題可得是整數，所以把分解成兩個整數相乘的形式，可得，因為等號左右兩邊對應相等，可將等號左右兩邊分別相加再相等及可求出的值.【例2】 （2013年海淀期末）拋物線與軸交于、兩點，且點在點的左側，與軸交于點，（1） 求這條拋物線的解析式；（2） 若點與點在（1）中的拋物線上，且，. 求的值； 將拋物線在下方的部分沿翻折，拋物線的其它部分保持不變，得到一個新圖象.當這個新圖象與軸恰好只有兩個公共點時，的取值范圍是_.【題型總結】代數式求值消元思想常見的代數式求值的題型為整體代入及降次，解題思想就是

6、用消元的方法減少未知數的個數，并最終消除所有未知數，得到答案1 整體代入：題中給出或能夠根據題意得出一個基本關系式，將此關系式直接代入或變形后代入題中要求的代數式即可2 降次：若題中題中的代數式出現較高的次冪，比如，可將變形為，再將由題中得到基本關系式變形為的形式，代入變形后的代數式即可【例3】 （2014年懷柔一模）在平面直角坐標系中，二次函數的圖象經過和兩點（1）求此二次函數的表達式（2）直接寫出當時，的取值范圍（3）將一次函數的圖象向下平移個單位后，與二次函數圖象交點的橫坐標分別是和，其中，試求的取值范圍【題型總結】函數與不等式問題解題思路：找交點分區域比高低寫結論（注意等號的取舍）要求

7、畫圖要精準，用數形結合的方式來分析，尋找到臨界點，計算即可【例4】 （2013年豐臺一模）二次函數，其頂點坐標為（1）函數的解析式；（2）函數的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合新圖象回答：當直線與這個新圖象有兩個公共點時，求的取值范圍【題型總結】一次函數與二次函數的公共點問題本題型經常會涉及一次函數與二次函數相切的問題，相切時聯立兩函數得一元二次方程，利用二次方程的求出參數的值1 直線可平移：已知一次函數的值，可先畫出的圖像，然后向上及向下平移進行分析2 直線繞某點旋轉：已知一次函數的值或與之間存在一定的數量關系，先找出一次函數一定經過的定點（或已

8、知一次函數經過一個定點），比如，過定點畫直線，并繞著定點旋轉進行分析3 二次函數關于水平線翻折：二次函數的一部分關于水平線翻折，其余部分保持不變，需要畫出變換后的圖象再進行分析【例5】 （2014年石景山一模）已知關于的方程有兩個實數根，且為非負整數（1）求的值；（2）將拋物線：向右平移個單位，再向上平移個單位得到拋物線，若拋物線過點和點，求拋物線的表達式；（3）將拋物線繞點旋轉得到拋物線，若拋物線與直線有兩個交點且交點在其對稱軸兩側，求的取值范圍 【題型總結】函數的幾何變換1 平移口訣“左加右減，上加下減” 2 對稱口訣“關于誰誰不變，關于原點都要變” 3 關于特殊直線或的對稱，只要求出對稱

9、后的頂點坐標及判斷的符號是否發生改變，利用頂點式寫出解析式即可4 旋轉：函數的旋轉一般只考旋轉，在旋轉過程中不變，因此求出旋轉后的頂點坐標及判斷的符號是否發生改變，利用頂點式寫出解析式即可【例6】 （2014年密云一模）已知拋物線 （1）若，求該拋物線與軸的交點坐標；（2）若，證明拋物線與x軸有兩個交點；（3）若， 且拋物線在 區間上的最小值是，求的值.【題型總結】二次函數的最值含參數的二次函數求最值的問題主要是考查分類討論的思想，注意分類的情況要全面，解題思路都圍繞著對稱軸與自變量的取值范圍進行分類討論 1 “動軸定區間”型的二次函數最值2 “動區間定軸”型的二次函數最值3 “動軸動區間”型

10、的二次函數最值【例7】 （2015年海淀期末）在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象經過點，（1）求代數式的值；（2）若二次函數的圖象經過點，求代數式的值；（3）若反比例函數的圖象與二次函數的圖象只有一個交點，且該交點在直線的下方，結合函數圖象，求的取值范圍【題型總結】反比例函數問題1 反比例函數與一次函數或二次函數交點的問題2 反比例函數的幾何意義的問題 【練1】 （2014年朝陽一模）已知關于的一元二次方程（1） 如果該方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍（2） 在（1）的條件下，關于的二次函數的圖像與軸交點的橫坐標都是整數，且時，求的整數值【練2】 （2013年西城一模）已知關于的一元二

11、次方程（1）求證：無論為任何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）拋物線與軸的一個交點的橫坐標為，其中，將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位，得到拋物線求拋物線的解析式；（3）點和都在(2)中拋物線上，且、兩點不重合，求代數式的值【練3】 （2013年海淀一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，點的坐標為（1）求點坐標；（2）直線經過點 求直線和拋物線的解析式； 點在拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為將拋物線在直線上方的部分沿直線翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新圖象請結合圖象回答：當圖象與直線只有兩個公共點時，的取值范圍是_【練4】 （2011年中考）在平面直角坐標系中，

12、二次函數的圖象與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點（1）求點的坐標；（2）當時，求的值；（3）已知一次函數，點是軸上的一個動點，在（2）的條件下，過點垂直于軸的直線交這個一次函數的圖象于點，交二次函數的圖象于點若只有當時，點位于點的上方，求這個一次函數的解析式【練5】 （2013年平谷一模）已知關于的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情況；（2）設為整數，方程的兩個根都大于且小于，當方程的兩個根均為有理數時，求的值【練6】 （2014年昌平一模）如圖，已知二次函數的圖象經過點，點（1）求二次函數的表達式；（2）若反比例函數（）的圖象與二次函數的圖象在第一象限內交于點，落在兩個相鄰的正整數之間，請你直接寫出這兩個相鄰的正整數；（3）若反比例函數（，）的圖象與二次函數的圖象在第一象限內交于點，且，試求實數的取值范圍1 常見的整數根問題分為給出參數范圍，分離常數法，枚舉法；2 代數式求值的思想是消元，常見題型是整體代入及