1、T 檢驗(yàn) F 檢驗(yàn)及公式（一） t 檢驗(yàn)當(dāng)總體呈正態(tài)分布，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，而且樣本容量n <30，那么這時(shí)一切可能的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t 分布。t 檢驗(yàn)是用 t 分布理論來(lái)推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。 t 檢驗(yàn)分為單總體 t 檢驗(yàn)和雙總體 t 檢驗(yàn)。1. 單總體 t 檢驗(yàn)單總體 t 檢驗(yàn)是檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與一已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。當(dāng)總體分布是正態(tài)分布，如總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知且樣本容量 n <30，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈 t 分布。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：Xt。Xn1如果樣本是屬于大樣本（n >30）也可寫成：Xt

2、。Xn在這里， t 為樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量；X 為樣本平均數(shù)；為總體平均數(shù)；X 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差；n 為樣本容量。例：某校二年級(jí)學(xué)生期中英語(yǔ)考試成績(jī)，其平均分?jǐn)?shù)為73 分，標(biāo)準(zhǔn)差為 17分，期末考試后，隨機(jī)抽取 20 人的英語(yǔ)成績(jī)，其平均分?jǐn)?shù)為 79.2 分。問(wèn)二年級(jí)學(xué)生的英語(yǔ)成績(jī)是否有顯著性進(jìn)步？檢驗(yàn)步驟如下：第一步建立原假設(shè) H 0 =73第二步計(jì)算 t 值X79.273t171.63Xn119第三步判斷因?yàn)椋?0.05為 顯著 性 水 平 ， dfn 1 19 ， 查 t 值 表 ， 臨 界 值t (19)0.05 2.093 ，而樣本離差的 t1.63 小與臨界值 2.09

3、3 。所以，接受原假設(shè)，即進(jìn)步不顯著。2. 雙總體 t 檢驗(yàn)雙總體 t 檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)與其各自所代表的總體的差異是否顯著。雙總體 t 檢驗(yàn)又分為兩種情況，一是相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)，用于檢驗(yàn)匹配而成的兩組被試獲得的數(shù)據(jù)或同組被試在不同條件下所獲得的數(shù)據(jù)的差異性，這兩種情況組成的樣本即為相關(guān)樣本。 二是獨(dú)立樣本平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。各實(shí)驗(yàn)處理組之間毫無(wú)相關(guān)存在， 即為獨(dú)立樣本。 該檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)兩組非相關(guān)樣本被試所獲得的數(shù)據(jù)的差異性。現(xiàn)以相關(guān)檢驗(yàn)為例， 說(shuō)明檢驗(yàn)方法。 因?yàn)楠?dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)完全類似，只不過(guò) r0 。相關(guān)樣本的 t 檢驗(yàn)公式為：tX1X2。222X1X2

4、X1X 2n1在這里， X1， X 2分別為兩樣本平均數(shù)；X21 ，X22 分別為兩樣本方差；為相關(guān)樣本的相關(guān)系數(shù)。例：在小學(xué)三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取 10 名學(xué)生，在學(xué)期初和學(xué)期末分別進(jìn)行了兩次推理能力測(cè)驗(yàn)，成績(jī)分別為 79.5 和 72 分，標(biāo)準(zhǔn)差分別為 9.124,9.940 。問(wèn)兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否有顯著地差異？檢驗(yàn)步驟為：第一步建立原假設(shè) H0 1= 2第二步計(jì)算 t 值tX1X2222X1X2X1X 2n179.571=9.12429.940220.704 9.124 9.940101=3.459 。第三步判斷根據(jù)自由度 dfn 1 9 ，查 t 值表 t (9)0.052.262 ， t

5、(9) 0.01 3.250 。由于實(shí)際計(jì)算出來(lái)的 t =3.495>3.250=t(9) 0.01，則 P，故拒絕原假設(shè)。0.01結(jié)論為：兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)有及其顯著地差異。由以上可以看出， 對(duì)平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)比較復(fù)雜，究竟使用 Z 檢驗(yàn)還是使用 t 檢驗(yàn)必須根據(jù)具體情況而定，為了便于掌握各種情況下的Z 檢驗(yàn)或 t 檢驗(yàn)，我們用以下一覽表圖示加以說(shuō)明。X已知時(shí)，用 Zn單總體X(dfn 1)未知時(shí)，用 tSn在這里， S 表示總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量，它與樣本標(biāo)準(zhǔn)差X 的關(guān)系是：SnXn 11 ，2 已知且是獨(dú)立樣本時(shí)，用X1X 22212n1n2是獨(dú)立大樣本時(shí)，用ZX1X 222X1X2n1

6、n2雙總體1，2未知是獨(dú)立小樣本時(shí)， 用tX1X 21)S22 ( 1( n1 1)S12(n21 )n1n2 2n1n2( dfn1 n2 2)是相關(guān)樣本時(shí)，用 tX1X 2S12S222rS1S2n(dfn1)以上對(duì)平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)的理論前提是假設(shè)兩個(gè)總體的方差是相同的，至少?zèng)]有顯著性差異。 對(duì)兩個(gè)總體的方差是否有顯著性差異所進(jìn)行的檢驗(yàn)稱為方差齊性檢驗(yàn)，即必須進(jìn)行F 檢驗(yàn)。（二） F 檢驗(yàn)F 檢驗(yàn)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher 提出的，主要通過(guò)比較兩組數(shù)據(jù)的方差S2 ，以確定他們的精密度是否有顯著性差異。至于兩組數(shù)據(jù)之間是否存在系統(tǒng)誤差，則在進(jìn)行 F 檢驗(yàn)并確定它們的精密度沒(méi)有顯著性差異之后，再進(jìn)行 t 檢驗(yàn)。F 檢驗(yàn)又叫方差齊性檢驗(yàn)。從兩研究總體中隨機(jī)抽取樣本，要對(duì)這兩個(gè)樣本進(jìn)行比較的時(shí)候， 首先要判斷兩總體方差是否相同， 即方差齊性。 若兩總體方差相等，則直接用 t 檢驗(yàn)，若不等，可采用 t' 檢驗(yàn)或變量變換或秩和檢驗(yàn)等方法。其中要判斷兩總體方差是否相等， 就可以用 F 檢驗(yàn)。 簡(jiǎn)單的說(shuō)就是 檢驗(yàn)兩個(gè)樣本的 方差是否有顯著性差異這是選擇何種T 檢驗(yàn)（等方差雙樣本檢驗(yàn)，異方差雙樣本檢驗(yàn)）的前提條件。F 檢驗(yàn)公式如下：S1 2F=S2 2S2(X 1-X2)2n-1樣本標(biāo)