1、第三講 數陣圖一、知識點：一些數按照一定的規則，填在某一特定圖形的規定位置上，這種圖形，我們稱它為“數陣圖”，數陣圖的種類繁多，絢麗多彩，這里只向大家介紹三種數陣圖，即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖。在解答這類問題時，要善于確定所求的和與關鍵數字間的關系式，用試驗的方法，找到相等的和與關鍵數字：要會對基本解中的數進行適當調整，得到其他的解，從而培養自己的觀察能力，思維的靈活性和嚴密性。二、典例剖析：例（1） 將16分別填在圖中,使每條邊上的三個內的數的和都等于9. 分析： 因為 123456 = 21 ，而每條邊上的三個數的和為9，則三條邊上的和為 9×3 = 27 ， 2

2、721 = 6 ， 這個 6 就是由于三個頂點都被重復算了一次。所以三個頂點的和為 6 ，在 1-6中，只能選1、2、3 填入三個頂點中，再將4、5、6填入另外的三個圈即可。解： . . . .1624531534262615343 351624342615243156 . . .練一練：把18個數分別填入中,使每條邊上三個數的和相等.18372465答案: 例（2 ）把17填入下圖中,使每條線段上三個內的數的和相等.分析： 中心圓填入的數設為x，x參與3條線的連加，設每條線數字和都為S.由題意：1+2+3+7+2x=3S 即28+2x=3S或28+2x0（mod 3）借用同余工具，是在兩個未

3、知數的不定方程中先縮小x應該取值的范圍.在mod3情況下，只要試探x0，1，2三個值，很輕松地解出：x1（mod3），回復到x取值范圍為1，2，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出關鍵在求S（公共和）及x（參與相加次數最多的圓中值）.6173452解： . . . 56243177241536練一練：把111填入圖中,使每條線上三個數的和相等.1116392105847 答案: 例（3）把20以內的質數分別填入下圖的一個中，使得圖中用箭頭連接起來的四個數之和都相等。分析 ：由上圖看出，三組數都包括左、右兩端的數，所

4、以每組數的中間兩數之和必然相等。20以內共有2，3，5，7，11，13，17，19八個質數，兩兩之和相等的有 5197171113 解：于是得到下圖的填法。練一練：將18個數分別填入圖中,使每個圓圈上五個數和分別為20,21,22.答案: 824713568612475326831457. . .例（4）在右圖的六個內各填入一個質數（可取相同的質數），使它們的和等于20，而且每個三角形（共5個）頂點上的數字之和都相等。 分析：因為大三角形的三個頂點與中間倒三角形的三個頂點正好是圖中的六個，又因為每個三角形頂點上的數字之和相等，所以每個三角形頂點上的數字之和為20÷210。10分為三個

5、質數之和只能是235，由此得到右圖的填法。解： 練一練：把19,填入下圖中,使每條線段三個數和及四個頂點的和也相等.369452718答案: 例（5）將九個數填入右圖的空格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都相等，則一定有證明：設中心數為d。由上講例4知每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于3d。由此計算出第一行中間的數為2db，右下角的數為2d-c（見下圖）。根據第一行和第三列都可以求出上圖中處的數由此得到3d-c-（2d-b）3d-a-（2d-c），3d-c-2db3d-a-2dc，dcbdac， 2cab， 值得注意的是，這個結論對于a和b并沒有什么限制，可以是自然數，也可

6、以是分數、小數；可以相同，也可以不同。練一練：在下頁右上圖的空格中填入七個自然數，使得每一行、每一列及每一條對角線上的三個數之和都等于90。 答案: 例（6）在右圖所示立方體的八個頂點上標出19中的八個，使得每個面上四個頂點所標數字之和都等于k，并且k不能被未標出的數整除。分析：設未被標出的數為a，則被標出的八個數之和為129-a45-a。由于每個頂點都屬于三個面，所以六個面的所有頂點數字之和為6k3×（45-a），2k45-a。2k是偶數，45a也應是偶數，所以a必為奇數。若a1，則k22；若a3，則k21；若a5，則k20；若a7，則k19；若a9，則k18。因為k不能被a整除，

7、所以只有a7，k19符合條件。由于每個面上四個頂點上的數字之和等于19，所以與9在一個面上的另外三個頂點數之和應等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三個數之和等于10的有三組：10136145235，解： 將這三組數填入9所在的三個面上，可得下圖的填法。練一練：把112這十二個數,填入下圖中的12個內,使每條線段上四個數的和相等,兩個同心圓上的數的和也相等.112581037624911答案： 模擬測試（ 3 ）1、把18這8個數,分別填入圖中的方格內(每個數必須用一次),使“十一”三筆中每三個方格內數的和都相等.2、把19個數分別填入中,使每條邊上四個數的和相等.3、把110填入圖中,

8、使五條邊上三個內的數的和相等.4、把49填入下圖中,使每條線上三個數的和相等,都是18.5、將19這九個數分別填入圖中內,使每條線段三個數相等.6、 把18這8個數填入下圖,使每邊上的加、減、乘、除成立.-÷×=+=7、把09填入10個小三角形中,使每4個小三角形組成的大三角形的和相等.8、圖有五個圓,它們相交相互分成9個區域,現在兩個區域里已經填上10與6，請在另外七個區域里分別填進2.3.4七個數,使每圓內的和都等于15.1069、把18,填入圖中,使每條線及正方形四個頂點上的數的和相等.10、在下圖中的幾個圈內各填一個數,使每一條直線上的三個數中,當中的數是兩邊兩個數

9、的平均數,現在已經填好兩個數,那么( ).17131、把116這16個數,填入圖中的16個內,使五個正方形的四個頂點上內數的和相等.2、將1-12這十二個數分別填入圖中的十二個小圓圈里,使每條直線上的四個小圓圈中的數字之和26.3、將110這十個數分別填入下圖中的十個內,使每條線段上四個內數的和相等,每個三角形三個頂點上內數的和也相等.4、把111這11個數分別填入如下圖11個內,使每條虛線上三個內數的和相等,一共有幾種不同的和?5、 把116填入下圖中,使每條邊上4個數的和相等,兩個八邊形上8個數的和也相等.模擬測試（ 3 ） 解答1、38246571 2、295381746392751846 a b 658110273943、 4. 6759484713829565、 6、56-÷32×4=87+=1 7、8170942