1、全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 一 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽簡(jiǎn)介中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)所舉辦的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，以及小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，都是群眾性的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，是群眾化、普及型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目前，每年有12萬名學(xué)生參加。競(jìng)賽簡(jiǎn)介獎(jiǎng)項(xiàng)名稱：全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽創(chuàng)辦時(shí)間：1984年主辦單位：由各省、市、自治區(qū)聯(lián)合舉辦，輪流做莊競(jìng)賽介紹：同時(shí)，各地都提出了舉行“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的要求。1984年，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)商定，委托天津市數(shù)學(xué)會(huì)舉辦一次初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，有14個(gè)省、市、自治區(qū)參加，當(dāng)時(shí)條件較簡(jiǎn)陋，準(zhǔn)備時(shí)間也較倉(cāng)促，天津數(shù)學(xué)會(huì)在南開大學(xué)數(shù)學(xué)系和天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的大力支持下，極其認(rèn)真負(fù)責(zé)地把這次活動(dòng)搞得很成

2、功，為后來舉辦“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽摸索了很多經(jīng)驗(yàn)。 當(dāng)年11月，在寧波召開的中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)第三次普及工作會(huì)議時(shí)，一致通過了舉辦“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的決定，并詳細(xì)商定了一些具體方法，規(guī)定每年四月的第一個(gè)星期天舉行“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽。會(huì)上湖北省數(shù)學(xué)會(huì)、山西省數(shù)學(xué)會(huì)、黑龍江省數(shù)學(xué)會(huì)分別主動(dòng)承擔(dān)了1985年、1986年、1987年的“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽承辦單位，從此，“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽也形成了制度。“全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽原來不分一試、二試。為了更好地貫徹“在普及的根底上不斷提高的方針，1989年7月，在濟(jì)南召開的“數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題研討會(huì)上，各地的代表商定，初中聯(lián)賽也分兩試進(jìn)行，并對(duì)一、二試各種題型的數(shù)目，以及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)作

3、出明確的規(guī)定，使初中聯(lián)賽的試卷走向標(biāo)準(zhǔn)化。中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)所舉辦的全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，以及小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，都是群眾性的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)，是群眾化、普及型的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，目前，每年有12萬名學(xué)生參加。為了讓更多學(xué)生都能發(fā)揮他們的聰明才智，培養(yǎng)興趣，充分開掘他們學(xué)習(xí)上的潛力，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，我們力求讓試題能夠適合全國(guó)多數(shù)參賽學(xué)生。從1991年起，我們力求降低試題的難度。題目不難，又要有點(diǎn)意思，還要有競(jìng)賽氣氛，要做到是不容易的。所謂“聯(lián)賽，就是各省、市、自治區(qū)聯(lián)合舉辦，輪流做莊，由各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽組織機(jī)構(gòu)具體承辦，大家提供試題。為了更好地標(biāo)準(zhǔn)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容、難度，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)制定

4、了“初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱，以“大綱為準(zhǔn)， 命題堅(jiān)持“群眾化、普及型、不超綱、不超前的原那么。二 競(jìng)賽的意義"全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽"是初中生初中階段最為重要的競(jìng)賽之一，方式較為標(biāo)準(zhǔn)，也是許多高中入學(xué)考察的對(duì)象之一，因此，許多初中生為此而加緊培優(yōu)，從某種意義上講，這種為群眾認(rèn)可的競(jìng)賽提升了中國(guó)初中生的整體數(shù)學(xué)成績(jī)。在北京，全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的獲獎(jiǎng)成績(jī)常常被作為人大附中、四中等重點(diǎn)高中提前錄取的一個(gè)重要參考。三 競(jìng)賽大綱數(shù)學(xué)競(jìng)賽對(duì)于開發(fā)學(xué)生智力，開拓視野，促進(jìn)教學(xué)改革，提高教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。目前我國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽日趨標(biāo)準(zhǔn)化和正規(guī)化，為了使全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)健康、持久地

5、開展，應(yīng)廣闊中學(xué)師生和各級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定?初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱修訂稿?以適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)的需要。本大綱是在國(guó)家教委制定的九年義務(wù)教育制“初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱精神的根底上制定的。?教學(xué)大綱?在教學(xué)目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性。具體作法是：“對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要通過課外活動(dòng)或開設(shè)選修課等多種方式，充分開展他們的數(shù)學(xué)才能，“要重視能力的培養(yǎng)，著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時(shí)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力。四 參賽對(duì)象全國(guó)在校初中生，采取

6、自愿與學(xué)校推薦相結(jié)合的方法報(bào)名參加。五 聯(lián)賽題目結(jié)構(gòu)一試 70 分選擇6題，填空4題 每題7分代數(shù) 幾何 數(shù)論 組合一般選填壓軸歸納知識(shí)點(diǎn)：實(shí)數(shù)化簡(jiǎn)；三角形的五心等方面是考察重點(diǎn)。但是其涵蓋知識(shí)體系相對(duì)單一，有時(shí)候，選擇題、填空題還是要用技巧性搞的；舉特殊值；08年的二次根式一題二試 70分第一大題 一元二次方程和二次函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化、根的分布、整數(shù)根問題沖刺獎(jiǎng)項(xiàng)的必對(duì)大題第二大題 幾何綜合題沖刺一等獎(jiǎng)的必對(duì)大題考察點(diǎn)05 、06三線共點(diǎn)、梅涅勞斯、賽瓦、09幾何計(jì)算 四點(diǎn)共圓、07，10 相似三角形.幾何方面應(yīng)該多下功夫，爭(zhēng)取能夠拿下第三大題 二試最后一題25分 以數(shù)論為根底和其他結(jié)合，思路清

7、楚的話簡(jiǎn)單5分能拿下來六 競(jìng)賽題型 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽每年4月舉行，分為一試和二試。成績(jī)公布的時(shí)間各省市不盡相同，北京市公布時(shí)間大約在五月底至六月。 第一試著重根底知識(shí)和根本技能，題型為選擇題6題、填空題4題，共70分。第二試著重分析問題和解決問題的能力，題型為三道解答題，內(nèi)容分為代數(shù)題、幾何題、幾何代數(shù)綜合題或雜題，共70分，兩試合計(jì)共140分。?教學(xué)大綱?中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的要求。除教學(xué)大綱所列內(nèi)容外，本大綱補(bǔ)充列出以下內(nèi)容。這些課外講授的內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精的原那么，處理好普及與提高的關(guān)系，這樣才能加強(qiáng)根底

8、，不斷提高。第一講 實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)一.知識(shí)鏈接:1、實(shí)數(shù)的分類 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)( , 這里、是互質(zhì)的整數(shù)，且)實(shí)數(shù) 負(fù)有理數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù)2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)這一特點(diǎn)，歸納起來有四類：1開方開不盡的數(shù)，如等；2有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡(jiǎn)后含有的數(shù)，如+8等；3有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；4某些三角函數(shù)，如sin60o等3有理數(shù)和無理數(shù)對(duì)加、減、乘、除的封閉的特性： 有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)； 無理數(shù)對(duì)加、減、乘、除不具有封閉性，即兩個(gè)無

9、理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)二經(jīng)典例題【例1】解答以下各選擇題:(1). (99年武漢市選拔賽試題) 設(shè)是一個(gè)無理數(shù)，且a、b滿足abab+1=0，那么b是一個(gè)( ) A小于0的有理數(shù) B大于0的有理數(shù) C小于0的無理數(shù) D大于0的無理數(shù)2.93年河北初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽假設(shè)都是有理數(shù)，那么的值是 .A.二者均為有理數(shù) B.二者均 為無理數(shù)C. 一個(gè)為有理數(shù)，另一個(gè)為無理數(shù) D.以上三種情況均有可能3.(95年湖北初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)今有四個(gè)命題：假設(shè)兩實(shí)數(shù)的和與積都是奇數(shù)，那么這兩數(shù)都是奇數(shù)；假設(shè)兩實(shí)數(shù)的和與積都是偶數(shù)，那么這兩數(shù)都是偶數(shù)；假設(shè)兩實(shí)數(shù)的和與積都是有理數(shù)，這兩數(shù)都是有理數(shù)；假設(shè)兩實(shí)數(shù)的

10、和與積都是無理數(shù)，這兩數(shù)都是無理數(shù).其中正確命題的個(gè)數(shù)為 .A. 0 B. 1 C. 2 D.3.( 9 9年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽) 有以下三個(gè)命題：假設(shè)是不相等的無理數(shù)，那么是無理數(shù)；假設(shè)是不相等的無理數(shù)，那么是無理數(shù)；假設(shè)是不相等的無理數(shù)，那么是無理數(shù)。其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ).A0； B1； C2； D3。【例2】(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 假設(shè)a、b滿足=7，那么S的取值范圍是 【例3】a 、b是有理數(shù)，且，求a、b的值 【例4】 解答以下兩題：(1) (南昌市競(jìng)賽題)a、b為有理數(shù)，x，y分別表示的整數(shù)局部和小數(shù)局部，且滿足axy+by21，求a+b的值(2) (江蘇省競(jìng)賽題)設(shè)x為一實(shí)

11、數(shù)，x表示不大于x的最大整數(shù)，求滿足77.66x=77.66x+1的整數(shù)x的值注： 設(shè)x為一實(shí)數(shù)，那么x表示不大于x的最大整數(shù)，x又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)局部，有以下根本性質(zhì)：(1)x1<xx ； (2)假設(shè)y< x，那么yx； (3)假設(shè)x為實(shí)數(shù)，a為整數(shù)，那么x+a= x+ a【例5】( 第十三屆“希望杯試題) 在等式中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：(1)當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；(2) 當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是無理數(shù) 三經(jīng)典練習(xí)1x、y是實(shí)數(shù)， ，假設(shè)，那么a= 2. (2002年全國(guó)初中聯(lián)賽題) 一個(gè)數(shù)的平方根是和，那么這個(gè)數(shù)是 3方

12、程的解是 4(濟(jì)南市中考題) 請(qǐng)你觀察思考以下計(jì)算過程：112121，；同樣1112=12321，；由此猜想 5(江西省中考題)如圖，數(shù)軸上表示1、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C，那么點(diǎn)C所表示的數(shù)是( )A B C D6( “希望杯邀請(qǐng)賽試題) x是實(shí)數(shù)， 那么的值是( ) A B C D無法確定的7( “希望杯邀請(qǐng)賽試題) 代數(shù)式的最小值是( ) A0 B C1 D不存在的8(山西省中考題) 假設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足，求2b+a1的值9(煙臺(tái)市中考題) 細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題，；，；，； (1)請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律； (2)推算出A10

13、的長(zhǎng)； (3)求出Sl2+S22+S32+S210的值 10實(shí)數(shù) a、b、c滿足，那么a(b+c)= 11( “希望杯邀請(qǐng)賽試題) 設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程，那么,xy的值是 12(黃岡市競(jìng)賽題) 正數(shù)a、b有以下命題： 假設(shè)a=1，b1，那么； 假設(shè)，那么； 假設(shè)a2，b=3，那么； 假設(shè)a=1，b=5，那么 根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，假設(shè)a=6，b=7，那么 13. (重慶市競(jìng)賽題) ：，那么代數(shù)式的值為( )A B C D14(“五羊杯邀請(qǐng)賽試題) 設(shè)x表示最接近x的整數(shù)(xn+0.5，n為整數(shù))，那么+的值為( ) A5151 B5150 C5050 D504915.

14、 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 設(shè)a<b<0，那么的值為( ) A B C D316.假設(shè)a、b、c為兩兩不等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)17. (安徽省中考題) 某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質(zhì)量，當(dāng)把鐵塊放在天平左盤中時(shí)，稱得它的質(zhì)量為300克，當(dāng)把鐵塊放在天平的右盤中時(shí)，稱得它的質(zhì)量為900克，求這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量 18(泰州市中考題) 閱讀下面材料，并解答以下問題： 在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)研究過兩種情況： a和b，求N，這是乘方運(yùn)算， b和N，求a，這是開方運(yùn)算 現(xiàn)在我們研究第三種情況；a和N，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算 定義：如果ab=N (a>0，a1，N

15、>0)，那么b叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN 例如：因?yàn)?3=8，所以log28=3；因?yàn)?-3=，所以log2=3 (1)根據(jù)定義計(jì)算: log3 81= ； log33= ； log3l= ； 如果logx 16=4，那么x= (2)設(shè)ax=M，ayN，那么logaM=x；logaNy(a>0，a1，N>0，M，N均為正數(shù))用logAM，logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)oga，并說明理由 第二講 二次根式的運(yùn)算一.知識(shí)鏈接1.二次根式的定義和運(yùn)算法那么式子 (0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以以下運(yùn)算法那么為根底 (1) (0)； (2) ()； (

16、3) ()； (4) ,(0)2.二次根式有如下重要性質(zhì)： (1)， (2) (0)， (3) ， (4) (5) 同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有理化概念二次根式的運(yùn)算是在有理式(整式、分式)運(yùn)算的根底上開展起來的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等二.經(jīng)典例題【例1】(重慶競(jìng)賽題) ，那么= 【例2】(武漢選拔賽試題) 化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果為 A B C D 【例3】計(jì)算： 1； 2； 3； (4) 【例4】解答以下各題:(1) (北京競(jìng)賽題) 化

17、簡(jiǎn)； (2) (“希望杯試題) 計(jì)算 (3) (湖北“英才杯競(jìng)賽題) 計(jì)算 【例5】(山東競(jìng)賽題) ，求的值三.經(jīng)典練習(xí)1(四川競(jìng)賽題) 如果，那么= 2(成都中考題) ，那么的值為 3(天津選拔賽試題) 計(jì)算= 4(淄博中考題) 假設(shè) ab0，那么等式成立的條件是 5(徐州中考題) 如果式子 化簡(jiǎn)的結(jié)果為，那么x的取值范圍是( ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx >0 6如果式子 根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為 A B C D7，那么的值為( ) A B C D8，那么的值等于 A B C D3 9計(jì)算以下各題： (1)； 2(北京數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) ；3 ；4(“希望杯試題) 10(

18、1)與的小數(shù)局局部別是a和b，求ab3a+4b+8的值； (2)設(shè)，n為自然數(shù)，如果成立，求n11(T1杯全國(guó)初中聯(lián)賽題) ，那么= 12. (北京競(jìng)賽題) 假設(shè)有理數(shù)x、y、z滿足，那么= 13.設(shè)，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，那么= 14. (北京競(jìng)賽題) 正數(shù)m、n滿足，那么= 15. (全國(guó)初中聯(lián)賽題) 化簡(jiǎn)等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 16(武漢市選拔賽試題) 假設(shè)，那么等于( ) A B C1 D117計(jì)算以下各題：1“希望杯競(jìng)賽題 ； 2山東競(jìng)賽題 ； 3四川賽題 ； (4)； (5) (新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 18“祖沖之杯邀請(qǐng)賽試題(1)求證 ； (2)

19、計(jì)算 19(上海競(jìng)賽題 )(1)定義，求的值；(2)設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使，求y的最大值 第三講 勾股定理及其應(yīng)用一.知識(shí)鏈接1、勾股定理: 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。如果勾股數(shù)a、b、c滿足a, b, c=1,那么a、b、c叫做根本勾股數(shù)組。性質(zhì)1.如果a、b、c是一組勾股數(shù)，那么ka、kb、kc(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)。性質(zhì)2.假設(shè)a、b、c是一個(gè)根本勾股數(shù)組，那么a、b、c不能同是奇數(shù)，也不能同是偶數(shù)，c不能為

20、偶數(shù)。性質(zhì)3.不定方程的根本勾股數(shù)組解a、b、c且a是偶數(shù)的公式為其中 m和n中一奇一偶。羅士琳法那么性質(zhì)4.如果k是大于1的奇數(shù)，那么k， ，是一組勾股數(shù)性質(zhì)5. 如果k是大于2的偶數(shù)，那么k， ，是一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：6,8,103,4,55, ，12，,139,12,157,24,259,40,41規(guī)律：1短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當(dāng)a為奇數(shù)且ab時(shí)，如果b+c=a2那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如 3, 4, 5,5,12，,137,24,259,40,412大于2的任意偶數(shù)，2n(n1)都可構(gòu)成一組勾股數(shù)分別是：2n,n2

21、-1,n2+1 。如：6,8,108,15,17等。4、常見題型應(yīng)用：1任意兩條邊的長(zhǎng)度，求第三邊/斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積2任意一條的邊長(zhǎng)以及另外兩條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，求各邊的長(zhǎng)度/斜邊上的高線/周長(zhǎng)/面積3判定三角形形狀： a2 +b2c2銳角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2鈍角直角三角形判定方法：.找最長(zhǎng)邊； .比較長(zhǎng)邊的平方與另兩條較短邊的平方和之間的大小關(guān)系；.確定形狀 4構(gòu)建直角三角形解題二.經(jīng)典例題【例1】(山東省中考題) 2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的?勾股圓方圖?，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如

22、下列圖)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么(a+b)2的值為( ) A13 B 19 C25 D169 例1圖 例2圖 例3圖【例2】(重慶市中考題) 如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊DCE，B、E在CD的同側(cè)，假設(shè)AB=，那么BE= 【例3】(“祖沖之杯邀請(qǐng)賽試題) 如圖，P為ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC2PB， ABC45°，APC60°，那么ACB的度數(shù)= 【例4】 如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設(shè)ACb，BCa，AB=c，

23、CD=h求證：1 ；2 ；3 以、為邊的三角形，是直角三角形【例5】.1 90年全國(guó)初中聯(lián)賽試題中，邊有100個(gè)不同的點(diǎn)，記· ( 1，2，100) 那么 = 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖297年全國(guó)初中聯(lián)賽試題如圖：A=B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，那么APPB等于 A12 B13 C14 D153(第七屆希望杯初二試題).如圖,P是等邊三角形ABC中的一個(gè)點(diǎn),PA=2,PB= ,PC=4,那么三角形ABC的邊長(zhǎng)為 三.經(jīng)典練習(xí)1(山西省中考題). 如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°

24、，把ACD沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，那么BC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 第1題圖 第2題圖 第3題圖2如上圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP'重合，假設(shè)AP3，那么PP的長(zhǎng)等于 3(武漢市選拔賽試題)如上圖，AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，那么AD= 4.如以下列圖在四邊形ABCD中，A=60°，B=D90°，BC=2，CD=3，那么AB=( ) A4 B5 C2 D 第4題圖 第5題圖5(北京市競(jìng)賽題如上圖)在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線

25、段是( ) ACD，EF，GH BAB，CD，EF CAB，CD，GH DAB，EF，GH6(湖北省預(yù)賽試題)如以下列圖，在ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，那么BC的長(zhǎng)為 第6題圖 第7題圖 第8題圖7(天津市競(jìng)賽題)如上圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，那么能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( )A B C D 8如上圖，RtABC中，ACB90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，那么CF與GB的大小關(guān)系是( ) A CF>GB B CFGB CGF<GB D無法確定9(“祖沖之杯邀請(qǐng)賽試題)在銳角

26、ABC中，某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是( )A2<c<4 B2< c3 C 2< c D.< c 10(武漢市選拔賽試題)ABC三邊BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c，這三邊的高依次為、，假設(shè)，那么這個(gè)三角形為( )A等邊三角形 B等腰非直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形11如圖，在RtABC中，A=90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DEDF，求證：12如圖，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，假設(shè)BE=12，CF=5，求DEF的面積13如圖，在ABC中，AB=AC，(

27、1)假設(shè)P是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BP×CP=AB2一AP2；(2)假設(shè)P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎? 假設(shè)成立，請(qǐng)證明，假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由；(3)假設(shè)P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論14(河南省競(jìng)賽題)如圖，ACB=90°，AD是CAB的平分線，BC=4，CD=，求AC的長(zhǎng) 15(煙臺(tái)市中考題) (1)四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形假設(shè)大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小

28、正方形的面積(2)現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm寬為2的紙片，如圖乙，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)) 16(北京市競(jìng)賽題)如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2第四講 位置與坐標(biāo)一.知識(shí)鏈接1.平面直角坐標(biāo)系及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào):在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系y軸縱軸x軸橫軸原點(diǎn)Oxy12345-4-3-2-131425-2-4-1-3第一象限第二象限第三象限第四象限注意:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。(,)(,)(,)(,

29、)2. 點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)等對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的特征：.關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為； .關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為；.關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為； 關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為；.關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為； .關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。3.點(diǎn)到坐標(biāo)軸、原點(diǎn)和直線的距離：1到x軸的距離等于； 2到y(tǒng)軸的距離等于； 3到原點(diǎn)的距離等于； 4到直線的距離是.4.兩點(diǎn)間的距離公式: 兩點(diǎn)，那么 .特別地，.假設(shè)ABX軸,那么; .假設(shè)ABY軸,那么.5. 分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，假設(shè)點(diǎn)分線段為,那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式特別地，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為中點(diǎn)坐標(biāo)公式.6.三角形重心坐標(biāo)公式: ABC三頂點(diǎn)坐標(biāo)為,那么ABC的重心坐標(biāo)為:.7.坐標(biāo)變化與圖形變

30、化的規(guī)律：坐標(biāo) x ， y 的變化 圖形的變化 或 被橫向或縱向拉長(zhǎng)壓縮為原來的 a倍， 放大縮小為原來的 a倍 或 關(guān)于 y 軸或 x 軸對(duì)稱 ， 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱或沿 x 軸或 y 軸平移 a個(gè)單位， 沿 x 軸平移 a個(gè)單位，再沿 y 軸平移 a個(gè)單位二.經(jīng)典例題例1. 解答以下各題：第1題圖2021年綿陽市中考如圖，把“QQ笑臉放在直角坐標(biāo)系中，左眼A的坐標(biāo)是-2，3，嘴唇C點(diǎn)的坐標(biāo)為-1，1，那么將此“QQ笑臉向右平移3個(gè)單位后，右眼B的坐標(biāo)是 。 第2題圖 第2題圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A10

31、，1，A21，1，A31，0，A42，0，那么點(diǎn)A4n+1n為自然數(shù)的坐標(biāo)為 用n表示. 如圖，動(dòng)點(diǎn)P從0，3出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第2021次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為A1，4B5，0C6，4D8，3 第3題圖 第4題圖.在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)且規(guī)定，正方形的內(nèi)部不包含邊界上的點(diǎn)觀察如下列圖的中心在原點(diǎn)、一邊平行于x軸的正方形：邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的正方形內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)，那么邊長(zhǎng)為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為     A64

32、 B49  C36 D25 例2. 解答以下競(jìng)賽試題：.(第二十三屆“希望杯) 如以下列圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是0，0，4，0，3，-2，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，那么第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在 A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限FEMGDACB 第題圖.2021年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組) 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，M點(diǎn)為CD邊上的中點(diǎn)，假設(shè)M點(diǎn)是A點(diǎn)關(guān)于線段EF的對(duì)稱點(diǎn)，那么等于 A、 B、 C、2 D、(第二十四屆“希望杯)點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上，那么和的大小關(guān)系是 A B C D不能確定的.(四川省競(jìng)賽題) 假設(shè)關(guān)于的方程組的解為

33、坐標(biāo)的點(diǎn)在第二象限，那么符合條件的實(shí)數(shù)m的范圍是 .A. B. C. D. (澳洲數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 設(shè)平面直角坐標(biāo)系的軸以1cm作為長(zhǎng)度單位，PQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(0，3),Q(4,0),R(k,5),其中0<k<4,假設(shè)該三角形的面積為8，那么k的值是 A. 1 B. C. 2 D. 6全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 在直角坐標(biāo)系中，x軸上的動(dòng)點(diǎn)M(x,0)到定點(diǎn)P(5，5),Q(2，1)的距離分別為MP和MQ,那么當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 例3. (2021年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽.(如圖，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上找點(diǎn)，使得為等腰三角形，點(diǎn)坐標(biāo)。例4 . 2021

34、年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組) 如圖，直角梯形OABC的A點(diǎn)在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，交AC于D點(diǎn)，且，求D點(diǎn)的坐標(biāo)。yQxOPACBD三.經(jīng)典練習(xí)1. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2，1)所在的象限是 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)跳動(dòng)到(0，1)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動(dòng)即(0，0)(0，1) (1，1) 1，0，且每秒跳動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)跳蚤所在位置的坐標(biāo)是 A(4，O)B.(5，0) C(0，5) D(5，5) 第2題圖  第3題圖ABCOyx3. 如圖，把RtABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中C

35、AB=90°，BC=5，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為1，0、4，0，將ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x6上時(shí)，線段BC掃過的面積為 A4 B8 C16 D4. 如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，假設(shè)點(diǎn)在軸上，且是等腰三角形，那么點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是 A2，0 B4，0 C，0 D3，0 第5題圖1234-112xyA0第4題圖 5. 在直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、AnBnCnCn1按如下列圖的方式放置，其中點(diǎn)A1、A2、A3、An均在一次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)C1、C2、C3、Cn均在x軸上。假設(shè)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為1，1，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為3，2，那么點(diǎn)An的坐標(biāo)為

36、6. 對(duì)點(diǎn)x，y 的一次操作變換記為P1x，y ，定義其變換法那么如下：P1x，y =，；規(guī)定為大于1的整數(shù)如P11，2 =3，P21，2 = P1P11，2 =P3，=2，4，P31，2 = P1P21，2 = P12，4=6，那么P20211，= .A0,21005 B0,-21005 C0,-21006 D0,21006 7.如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，2點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，BD=BE=1沿直線DE將BDE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為A1，2 B2，1 C2，2 D3，1 第7題圖 8.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在軸、軸正

37、半軸上，B點(diǎn)坐標(biāo)為3，2，OB與AC交于點(diǎn)P，D、E、F、G分別是線段OP、AP、BP、CP的中點(diǎn)，那么四邊形DEFG的周長(zhǎng)為 .9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個(gè)橫縱坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“方向排列，如1，0，2，02，1，1，11，22，2，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第2021個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 .10題 9 題10. 如圖10，在直角坐標(biāo)系中，第一次將OAB變換成OA1B1，第二次將OA1B1變換成OA2B2，第三次將OA2B2變換成OA3B3，A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)觀察每次變換前后的三

38、角形有何變化，按照變換規(guī)律，第五次變換后得到的三角形A5的坐標(biāo)是_，B5的坐標(biāo)是_;的重心坐標(biāo)是_；的面積是_。11. 1對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P. 點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，對(duì)線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段AB，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B如圖1，假設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是 ；假設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是2，那么點(diǎn)B表示的數(shù)是 ；線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E與點(diǎn)E重合，那么點(diǎn)E表示的數(shù)是 ； 2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱

39、坐標(biāo)都乘以同一種實(shí)數(shù)a，將得到的點(diǎn)先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位m0,n0，得到正方形ABCD及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B。正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F與點(diǎn)F重合，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。12.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫 、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的整點(diǎn)，記內(nèi)部不包括邊界的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ；當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為正整數(shù)時(shí)， 用含的代數(shù)式表示 第12題圖 第13題圖13. 【閱讀】在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)Px1，y1、Qx2，y2為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，【運(yùn)用】1如圖，矩形ONEF的對(duì)角線交于點(diǎn)M，ON、

40、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為4，3，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為_；2在直角坐標(biāo)系中，有A-1，2，B3，1，C1，4三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C1假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，2，請(qǐng)你在給出的坐標(biāo)系中畫出ABC.設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為D，那么=_;(2)假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,b(ab0),那么ABC的形狀為_.15.如圖.平面直角坐標(biāo)系中，ABC為等邊三角形，其中點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為3，1、3，3、3+，2)，現(xiàn)以為對(duì)稱點(diǎn)作ABC的對(duì)稱圖形，得A1B1C1，再以軸為對(duì)稱軸作A

41、1B1C1的對(duì)稱圖形，得A2B2C21分別寫出A1B1C1 和A2B2C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 2A1B1C1 和A2B2C2重心之間的距離。 第五講 一次函數(shù)及其應(yīng)用一.知識(shí)鏈接1.形如的函數(shù), 稱y是x的一次函數(shù). 特別地，當(dāng)時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).2.一次函數(shù)的圖象是一條直線, k反映了直線對(duì)于x軸正方向的傾斜程度，故稱k為直線的斜率。b是直線和y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為直線的截距。假設(shè)是直線上的兩點(diǎn)，那么。2. 直線與直線的位置關(guān)系相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解。特別地。平行，且之間的距離是：。重合.3.一次函數(shù)式確實(shí)定：一次函數(shù)確實(shí)定需要兩個(gè)獨(dú)立的條件，根據(jù)條件的不同，選擇不同的形式確定函數(shù)表達(dá)

42、式。直線方程說明名稱y=kx+bk斜率 b縱截距斜截式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上點(diǎn)，k斜率點(diǎn)斜式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)點(diǎn)兩點(diǎn)式+=1a直線的橫截距 ； b直線的縱截距截距式4.幾類直線系方程：由一個(gè)條件確定一次函數(shù)，那么只能確定一個(gè)直線系方程，如果再根據(jù)其他條件那么可確定直線方程。和直線平行的直線為. (為待定參數(shù))和直線垂直的直線為.(為待定參數(shù))過兩條直線和直線交點(diǎn)的直線為： (為待定參數(shù))過定點(diǎn)的直線為. (為待定參數(shù))5.一次函數(shù)圖象的變換1沿x軸向左或右平移a個(gè)單位，那么 (a>0)；2沿y軸向上下平移h個(gè)單位，那么 (h>0).3關(guān)于x軸對(duì)